Паскаль / shenn / Шень / G13

ѓ« ў  13. Љ®­вҐЄбв­®-бў®Ў®¤­лҐ Ја ¬¬ вЁЄЁ.

13.1. Љ®­вҐЄбв­®-бў®Ў®¤­лҐ Ја ¬¬ вЁЄЁ. ЋЎйЁ©  «Ј®аЁв¬ а §-
Ў®а .

—в®Ўл ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм в®, зв® ­ §лў ов Є®­вҐЄбв­®-бў®Ў®¤­®©
Ја ¬¬ вЁЄ®© (Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄ®©), ­ ¤®:
( ) гЄ § вм Є®­Ґз­®Ґ ¬­®¦Ґбвў® A, ­ §лў Ґ¬®Ґ  «д ўЁв®¬; ҐЈ®
н«Ґ¬Ґ­вл ­ §лў ов бЁ¬ў®« ¬Ё; Є®­Ґз­лҐ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ бЁ¬ў®-
«®ў ­ §лў ов б«®ў ¬Ё (ў ¤ ­­®¬  «д ўЁвҐ);
(Ў) а §¤Ґ«Ёвм ўбҐ бЁ¬ў®«л  «д ўЁв  A ­  ¤ўҐ ЈагЇЇл: вҐа¬Ё-
­ «м­лҐ ("®Є®­з вҐ«м­лҐ") Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «м­лҐ ("Їа®¬Ґ¦гв®з­лҐ");
(ў) ўлЎа вм б।Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«®ў ®¤Ё­, ­ §лў Ґ¬л©
­ з «м­л¬;
(Ј) гЄ § вм Є®­Ґз­®Ґ зЁб«® Їа ўЁ« Ја ¬¬ вЁЄЁ, Є ¦¤®Ґ Ё§ Є®-
в®але ¤®«¦­® Ё¬Ґвм ўЁ¤
K -> X
Ј¤Ґ K - ­ҐЄ®в®ал© ­ҐвҐа¬Ё­ «м­л© бЁ¬ў®«,   X - б«®ў® (ў ­ҐЈ® ¬®-
Јг⠢室Ёвм Ё вҐа¬Ё­ «м­лҐ, Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «м­лҐ бЁ¬ў®«л).

Џгбвм дЁЄбЁа®ў ­  Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄ  (¬л з бв® Ўг¤Ґ¬ ®ЇгбЄ вм
ЇаЁбв ўЄг "Љ‘-", в Є Є Є ¤агЈЁе Ја ¬¬ вЁЄ г ­ б ­Ґ Ўг¤Ґв). ‚лў®-
¤®¬ ў нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ ­ §лў Ґвбп Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм б«®ў X[0],
X[1],..., X[n], ў Є®в®а®© X[0] б®бв®Ёв Ё§ ®¤­®Ј® бЁ¬ў®« , Ё нв®в
бЁ¬ў®« - ­ з «м­л©,   X[i+1] Ї®«гз Ґвбп Ё§ X[i] § ¬Ґ­®© ­ҐЄ®в®-
а®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «м­®Ј® бЁ¬ў®«  K ­  б«®ў® X Ї® ®¤­®¬г Ё§ Їа ўЁ«
Ја ¬¬ вЁЄЁ. ‘«®ў®, б®бв ў«Ґ­­®Ґ Ё§ вҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«®ў, ­ §л-
ў Ґвбп ўлў®¤Ё¬л¬, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв ўлў®¤, Є®в®ал© Ё¬ Є®­з Ґвбп.
Њ­®¦Ґбвў® ўбҐе ўлў®¤Ё¬ле б«®ў (Ё§ вҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«®ў) ­ §лў -
Ґвбп п§лЄ®¬, Ї®а®¦¤ Ґ¬л¬ ¤ ­­®© Ја ¬¬ вЁЄ®©.
‚ нв®© Ё б«Ґ¤гойЁе Ј« ў е ¬л Ўг¤Ґ¬ 室Ёвм ў®ЄагЈ ¤  ®Є®«®
в Є®Ј® ў®Їа®б : ¤ ­  Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄ ; Ї®бва®Ёвм  «Ј®аЁв¬, Є®в®ал©
Ї® «оЎ®¬г б«®ўг Їа®ўҐапҐв, ўлў®¤Ё¬® «Ё ®­® ў нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ.

ЏаЁ¬Ґа 1. Ђ«д ўЁв:

( ) [ ] E

(зҐвлॠвҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«  Ё ®¤Ё­ ­ҐвҐа¬Ё­ «м­л© бЁ¬ў®« E).
Ќ з «м­л© бЁ¬ў®«: e.
Џа ўЁ« :
E -> (E)
E -> [E]
E -> EE
E ->

(ў Ї®б«Ґ¤­Ґ¬ Їа ўЁ«Ґ бЇа ў  бв®Ёв Їгб⮥ б«®ў®).

ЏаЁ¬Ґал ўлў®¤Ё¬ле б«®ў:

(Їгб⮥ б«®ў®)
()
([])
()[([])]
[()[]()[]]

ЏаЁ¬Ґал ­Ґўлў®¤Ё¬ле б«®ў:

(
)(
(]
([)]

ќв  Ја ¬¬ вЁЄ  ўбваҐз « бм ў а §¤Ґ«Ґ 00 (Ј¤Ґ ўлў®¤Ё¬®бвм ў ­Ґ©
Їа®ўҐап« бм б Ї®¬®ймо б⥪ ).

ЏаЁ¬Ґа 2. „агЈ п Ја ¬¬ вЁЄ , Ї®а®¦¤ ой п в®в ¦Ґ п§лЄ:

Ђ«д ўЁв: ( ) [ ] T E

Џа ўЁ« :
E ->
E -> TE
T -> (E)
T -> [E]

Ќ з «м­л¬ бЁ¬ў®«®¬ ў® ўбҐе ЇаЁў®¤Ё¬ле ¤ «ҐҐ ЇаЁ¬Ґа е Ўг¤Ґ¬ бзЁ-
в вм бЁ¬ў®«, бв®пйЁ© ў «Ґў®© з бвЁ ЇҐаў®Ј® Їа ўЁ«  (ў ¤ ­­®¬
б«гз Ґ нв® бЁ¬ў®« T), ­Ґ ®Ј®ў аЁў п нв®Ј® ®б®Ў®.

„«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «м­®Ј® бЁ¬ў®«  ¬®¦­® а бᬮваҐвм ¬­®-
¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў Ё§ вҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«®ў, Є®в®алҐ Ё§ ­ҐЈ® ўлў®-
¤пвбп ( ­ «®ЈЁз­® ⮬г, Є Є н⮠ᤥ« ­® ¤«п ­ з «м­®Ј® бЁ¬ў®«  ў
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ ўлў®¤Ё¬®бвЁ ў Ја ¬¬ вЁЄҐ). Љ ¦¤®Ґ Їа ўЁ«® Ја ¬¬ вЁЄЁ
¬®¦­® а бб¬ ваЁў вм Є Є бў®©бвў® нвЁе ¬­®¦Ґбвў. Џ®Є ¦Ґ¬ нв® ­ 
ЇаЁ¬ҐаҐ в®«мЄ® зв® ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© Ја ¬¬ вЁЄЁ. Џгбвм SetT Ё SetE -
¬­®¦Ґбвў  б«®ў (Ё§ бЄ®Ў®Є), ўлў®¤Ё¬ле Ё§ ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў T Ё E б®-
®вўҐвб⢥­­®. ’®Ј¤  Їа ўЁ« ¬ Ја ¬¬ вЁЄЁ ᮮ⢥вбвўгов в ЄЁҐ
бў®©бвў :

E -> SetE ᮤҐа¦Ёв Їгб⮥ б«®ў®
E -> TE Ґб«Ё б«®ў® A ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв SetT,
б«®ў® B ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв
SetE, в® б«®ў® AB ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв SetE
T -> [E] Ґб«Ё A ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв
SetE, в® б«®ў® [A] ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв SetT
T -> (E) Ґб«Ё A ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв
SetE, в® б«®ў® (A) ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв SetT

‘д®а¬г«Ёа®ў ­­лҐ бў®©бвў  ¬­®¦Ґбвў SetE, SetT ­Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пов нвЁ
¬­®¦Ґбвў  ®¤­®§­ з­® (­ ЇаЁ¬Ґа, ®­Ё ®бв овбп ўҐа­л¬Ё, Ґб«Ё ў Є -
зҐб⢥ SetE Ё SetT ў§пвм ¬­®¦Ґбвў® ўбҐе б«®ў). Ћ¤­ Є® ¬®¦­® ¤®-
Є § вм, зв® ¬­®¦Ґбвў , § ¤ ў Ґ¬лҐ Ја ¬¬ вЁЄ®©, пў«повбп ¬Ё­Ё-
¬ «м­л¬Ё б।Ё 㤮ў«Ґвў®апойЁе нвЁ¬ гб«®ўЁп¬.

13.1.1. ‘д®а¬г«Ёаг©вҐ в®з­® Ё ¤®Є ¦ЁвҐ нв® г⢥তҐ­ЁҐ ¤«п
Їа®Ё§ў®«м­®© Є®­вҐЄбв­®-бў®Ў®¤­®© Ја ¬¬ вЁЄЁ.

13.1.2. Џ®бвன⥠Ја ¬¬ вЁЄг, ў Є®в®а®© ўлў®¤Ё¬л б«®ў 
( ) 00..0011..11 (зЁб«® ­г«Ґ© а ў­® зЁб«г Ґ¤Ё­Ёж);
(Ў) 00..0011..11 (зЁб«® ­г«Ґ© ў¤ў®Ґ Ў®«миҐ зЁб«  Ґ¤Ё­Ёж);
(ў) 00..0011..11 (зЁб«® ­г«Ґ© Ў®«миҐ зЁб«  Ґ¤Ё­Ёж);
(Ё в®«мЄ® ®­Ё).

13.1.3. „®Є § вм, зв® ­Ґ бгйҐбвўгҐв Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄЁ, ў Є®в®-
а®© Ўл«Ё Ўл ўлў®¤Ё¬л б«®ў  ўЁ¤  00..0011..1122..22, ў Є®в®але
зЁб«  ­г«Ґ©, Ґ¤Ё­Ёж Ё ¤ў®ҐЄ а ў­л, Ё в®«мЄ® ®­Ё.
“Є § ­ЁҐ. „®Є ¦ЁвҐ б«Ґ¤гойго «Ґ¬¬г ® Їа®Ё§ў®«м­®© Љ‘-Ја ¬-
¬ вЁЄҐ: ¤«п «оЎ®Ј® ¤®бв в®з­® ¤«Ё­­®Ј® б«®ў  F, ўлў®¤Ё¬®Ј® ў
нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ, бгйҐбвўгҐв в Є®Ґ ҐЈ® ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ў ўЁ¤Ґ
ABCDE, зв® «оЎ®Ґ б«®ў® ўЁ¤  AB..BCD..DE, Ј¤Ґ B Ё D Ї®ўв®аҐ­л
®¤Ё­ Є®ў®Ґ зЁб«® а §, в Є¦Ґ ўлў®¤Ё¬® ў нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ. (ќв®
¬®¦­® гбв ­®ўЁвм, ­ ©¤п ­ҐвҐа¬Ё­ «м­л© бЁ¬ў®«, ®Є §лў ойЁ©бп
бў®Ё¬ б®Ўб⢥­­л¬ "­ б«Ґ¤­ЁЄ®¬" ў Їа®жҐбᥠўлў®¤ .)

ЌҐвҐа¬Ё­ «м­л© бЁ¬ў®« ¬®¦­® а бб¬ ваЁў вм Є Є "த®ў®Ґ Ё¬п"
¤«п ўлў®¤Ё¬ле Ё§ ­ҐЈ® б«®ў. ‚ б«Ґ¤го饬 ЇаЁ¬ҐаҐ ¤«п ­ Ј«п¤­®бвЁ
ў Є зҐб⢥ ­ҐвҐа¬Ё­ «м­ле бЁ¬ў®«®ў ЁбЇ®«м§®ў ­л да Ј¬Ґ­вл
агббЄЁе б«®ў, § Є«о祭­лҐ ў гЈ«®ўлҐ бЄ®ЎЄЁ. (‘ в®зЄЁ §аҐ­Ёп
Ја ¬¬ вЁЄЁ Є ¦¤®Ґ в Є®Ґ б«®ў® - ®¤Ё­ бЁ¬ў®«!)

ЏаЁ¬Ґа 3. Ђ«д ўЁв:

вҐа¬Ё­ «л: + * ( ) x
­ҐвҐа¬Ё­ «л: <ўла>, <®бвўла>, <б« Ј>, <®бвб« Ј>, <¬­®¦>
Їа ўЁ« :

<ўла> -> <б« Ј> <®бвўла>
<®бвўла> -> + <ўла>
<®бвўла> ->
<б« Ј> -> <¬­®¦> <®бвб« Ј>
<®бвб« Ј> -> * <б« Ј>
<®бвб« Ј> ->
<¬­®¦> -> x
<¬­®¦> -> ( <ўла> )

‘®Ј« б­® нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ, ўла ¦Ґ­ЁҐ (<ўла>) - нв® Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫쭮бвм б« Ј Ґ¬ле (<б« Ј>), а §¤Ґ«Ґ­­ле Ї«об ¬Ё, б« Ј Ґ¬®Ґ -
нв® Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ¬­®¦ЁвҐ«Ґ© (<¬­®¦>), а §¤Ґ«Ґ­­ле §ўҐ§¤®з-
Є ¬Ё (§­ Є ¬Ё г¬­®¦Ґ­Ёп),   ¬­®¦ЁвҐ«м - нв® «ЁЎ® ЎгЄў  x, «ЁЎ®
ўла ¦Ґ­ЁҐ ў бЄ®ЎЄ е.

13.1.4. ЏаЁўҐ¤ЁвҐ ЇаЁ¬Ґа ¤агЈ®© Ја ¬¬ вЁЄЁ, § ¤ о饩 в®в ¦Ґ
п§лЄ.

ЋвўҐв. ‚®в ®¤Ё­ Ё§ ў аЁ ­в®ў:
<ўла> -> <ўла> + <ўла>
<ўла> -> <ўла> * <ўла>
<ўла> -> x
<ўла> -> ( <ўла> )

ќв  Ја ¬¬ вЁЄ  е®вм Ё Їа®йҐ, ­® ў ­ҐЄ®в®але ®в­®иҐ­Ёпе е㦥, ®
祬 ¬л ҐйҐ Ўг¤Ґ¬ Ј®ў®аЁвм.

13.1.5. „ ­  Їа®Ё§ў®«м­ п Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄ . Џ®бва®Ёвм  «Ј®аЁв¬
Їа®ўҐаЄЁ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦­®бвЁ § ¤ ў Ґ¬®¬г Ґ© п§лЄг, а Ў®в ойЁ© Ї®«Ё­®-
¬Ё «м­®Ґ ўаҐ¬п (в.Ґ. зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© ­Ґ ЇаҐў®б室Ёв Ї®«Ё­®¬  ®в
¤«Ё­л Їа®ўҐа塞®Ј® б«®ў ; Ї®«Ё­®¬ ¬®¦Ґв § ўЁбҐвм ®в Ја ¬¬ вЁЄЁ).

ђҐиҐ­ЁҐ. ‡ ¬ҐвЁ¬, зв® вॡ®ў ­ЁҐ Ї®«Ё­®¬Ё «м­®бвЁ ЁбЄ«оз Ґв
ў®§¬®¦­®бвм аҐиҐ­Ёп, ®б­®ў ­­®¬ ­  ЇҐаҐЎ®аҐ ўбҐе ў®§¬®¦­ле ўлў®-
¤®ў. ’Ґ¬ ­Ґ ¬Ґ­ҐҐ Ї®«Ё­®¬Ё «м­л©  «Ј®аЁв¬ бгйҐбвўгҐв. Џ®бЄ®«мЄг
Їа ЄвЁзҐбЄ®Ј® §­ зҐ­Ёп ®­ ­Ґ Ё¬ҐҐв (ЁбЇ®«м§гҐ¬лҐ ­  Їа ЄвЁЄҐ
Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄЁ ®Ў« ¤ ов ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­л¬Ё бў®©бвў ¬Ё, Ї®§ў®«пойЁ¬Ё
бва®Ёвм Ў®«ҐҐ нд䥪⨢­лҐ  «Ј®аЁв¬л), ¬л Ё§«®¦Ё¬ «Ёим ®Ўйго беҐ-
¬г аҐиҐ­Ёп.

(1) Џгбвм ў Ја ¬¬ вЁЄҐ Ґбвм ­ҐвҐа¬Ё­ «л K1,...,Kn. Џ®бва®Ё¬
­®ўго Ја ¬¬ вЁЄг б ­ҐвҐа¬Ё­ « ¬Ё K1',...,Kn' в Є, зв®Ўл ўлЇ®«­п-
«®бм в Є®Ґ бў®©бвў®: Ё§ Ki' ўлў®¤пвбп (ў ­®ў®© Ја ¬¬ вЁЄҐ) ⥠¦Ґ
б«®ў , зв® Ё§ Ki ў бв а®©, §  ЁбЄ«о祭ЁҐ¬ Їгбв®Ј® б«®ў , Є®в®а®Ґ
­Ґ ўлў®¤Ёвбп.
—в®Ўл ўлЇ®«­Ёвм в Є®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ Ја ¬¬ вЁЄЁ, ­ ¤® ўлпб-
­Ёвм, Ё§ Є ЄЁе ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў Ёб室­®© Ја ¬¬ вЁЄЁ ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥
б«®ў®,   § вҐ¬ Є ¦¤®Ґ Їа ўЁ«® § ¬Ґ­Ёвм ­  б®ў®ЄгЇ­®бвм Їа ўЁ«,
Ї®«гз ойЁебп, Ґб«Ё ў Їа ў®© з бвЁ ®ЇгбвЁвм Є ЄЁҐ-«ЁЎ® Ё§ ­ҐвҐа-
¬Ё­ «®ў, Ё§ Є®в®але ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®ў®,   г ®бв «м­ле Ї®бв -
ўЁвм иваЁеЁ. Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ў Ёб室­®© Ја ¬¬ вЁЄҐ Ўл«® Їа ўЁ«®

K -> L M N,

ЇаЁзҐ¬ Ё§ L Ё N ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®ў®,   Ё§ M ­Ґв, в® нв® Їа -
ўЁ«® ­ ¤® § ¬Ґ­Ёвм ­  Їа ўЁ« 

K'-> L'M'N'
K'-> M'N'
K'-> L'M'
K'-> M'

(2) €в Є, ¬л ᢥ«Ё ¤Ґ«® Є Ја ¬¬ вЁЄҐ, Ј¤Ґ ­Ё Ё§ ®¤­®Ј® ­Ґ-
вҐа¬Ё­ «  ­Ґ ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®ў®. ’ҐЇҐам гбва ­Ё¬ "жЁЄ«л" ўЁ-
¤ 
K -> L
L -> M
M -> N
N -> K
(ў Їа ў®© з бвЁ Є ¦¤®Ј® Їа ўЁ«  ®¤Ё­ бЁ¬ў®«, Ё нвЁ бЁ¬ў®«л ®Ўа -
§гов жЁЄ« Їа®Ё§ў®«м­®© ¤«Ё­л): нв® «ҐЈЄ® ᤥ« вм, ®в®¦¤ҐбвўЁў
ўбҐ ўе®¤пйЁҐ ў жЁЄ« ­ҐвҐа¬Ё­ «л.

(3) ’ҐЇҐам Їа®ўҐаЄ  ЇаЁ­ ¤«Ґ¦­®бвЁ Є Є®Ј®-«ЁЎ® б«®ў  п§лЄг,
Ї®а®¦¤Ґ­­®¬г Ја ¬¬ вЁЄ®©, ¬®¦Ґв ўлЇ®«­пвмбп в Є: ¤«п Є ¦¤®Ј®
Ї®¤б«®ў  Їа®ўҐа塞®Ј® б«®ў  Ё ¤«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  ўлпб­пҐ¬,
Ї®а®¦¤ Ґвбп «Ё нв® Ї®¤б«®ў® нвЁ¬ ­ҐвҐа¬Ё­ «®¬. ЏаЁ н⮬ Ї®¤б«®ў 
Їа®ўҐаповбп ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а бв ­Ёп ¤«Ё­,   ­ҐвҐа¬Ё­ «л - ў в Є®¬
Ї®ап¤ЄҐ, зв®Ўл ЇаЁ ­ «ЁзЁЁ Їа ўЁ«  K -> L ­ҐвҐа¬Ё­ « L Їа®ўҐап«-
бп а ­миҐ ­ҐвҐа¬Ё­ «  K. (ќв® ў®§¬®¦­® ў бЁ«г ®вбгвбвўЁп жЁЄ-
«®ў.) Џ®пб­Ё¬ нв®в Їа®жҐбб ­  ЇаЁ¬ҐаҐ.
Џгбвм ў Ја ¬¬ вЁЄҐ Ґбвм Їа ўЁ« 
K -> L
K -> M N L
Ё ¤агЈЁе Їа ўЁ«, ᮤҐа¦ йЁе K ў «Ґў®© з бвЁ, ­Ґв. Њл е®вЁ¬ г§-
­ вм, ўлў®¤Ёвбп «Ё ¤ ­­®Ґ б«®ў® A Ё§ ­ҐвҐа¬Ё­ «  K. ќв® Ўг¤Ґв
в Є ў ®¤­®¬ Ё§ б«гз Ґў: (1) Ґб«Ё A ўлў®¤Ёвбп Ё§ L; (2) Ґб«Ё A
¬®¦­® а §ЎЁвм ­  ­ҐЇгбвлҐ б«®ў  B, C, D, ¤«п Є®в®але B ўлў®¤Ёвбп
Ё§ M, C ўлў®¤Ёвбп Ё§ N,   D ўлў®¤Ёвбп Ё§ L. ‚бп нв  Ё­д®а¬ жЁп
㦥 Ґбвм (б«®ў  B, C, D Є®а®зҐ A,   L а бᬮв७ ¤® K).
‹ҐЈЄ® ўЁ¤Ґвм, зв® зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ© нв®Ј®  «Ј®аЁв¬  Ї®«Ё­®¬Ё-
 «м­®. ‘⥯Ґ­м Ї®«Ё­®¬  § ўЁбЁв ®в зЁб«  ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў ў Їа ўле
з бвпе Їа ўЁ« Ё ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®­Ё¦Ґ­ , Ґб«Ё Ја ¬¬ вЁЄг ЇаҐ®Ўа §®-
ў вм Є д®а¬Ґ, ў Є®в®а®© Їа ў п з бвм Є ¦¤®Ј® Їа ўЁ«  ᮤҐа¦Ёв 1
Ё«Ё 2 ­ҐвҐа¬Ё­ «  (нв® «ҐЈЄ® ᤥ« вм, ўў®¤п ­®ўлҐ ­ҐвҐа¬Ё­ «л:
­ ЇаЁ¬Ґа, Їа ўЁ«® K -> LMK ¬®¦­® § ¬Ґ­Ёвм ­  K -> LN Ё N -> MK,
Ј¤Ґ N - ­®ўл© ­ҐвҐа¬Ё­ «).

13.1.6. ђ бᬮваЁ¬ Ја ¬¬ вЁЄг б Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ ­ҐвҐа¬Ё­ «®¬
K, ­ҐвҐа¬Ё­ « ¬Ё 1, 2, 3 Ё Їа ўЁ« ¬Ё

K -> 0
K -> 1 K
K -> 2 K K
K -> 3 K K K

Љ Є Їа®ўҐаЁвм ўлў®¤Ё¬®бвм б«®ў  ў нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ, зЁв п б«®ў®
б«Ґў  ­ Їа ў®? (—Ёб«® ¤Ґ©бвўЁ© ЇаЁ Їа®з⥭ЁЁ ®¤­®© ЎгЄўл ¤®«¦­®
Ўлвм ®Ја ­ЁзҐ­®.)

ђҐиҐ­ЁҐ. •а ­Ёвбп 楫 п ЇҐаҐ¬Ґ­­ п n, Ё­ў аЁ ­в: б«®ў® ўл-
ў®¤Ё¬® <-> ­ҐЇа®зЁв ­­ п з бвм ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© Є®­Є вҐ­ жЁо
(ᮥ¤Ё­Ґ­ЁҐ) n ўлў®¤Ё¬ле б«®ў.

13.1.7. ’®в ¦Ґ ў®Їа®б ¤«п Ја ¬¬ вЁЄЁ

K -> 0
K -> K 1
K -> K K 2
K -> K K K 3

13.2. ЊҐв®¤ ४габЁў­®Ј® бЇгбЄ .

‚ ®в«ЁзЁҐ ®в  «Ј®аЁв¬  ЇаҐ¤л¤г饣® а §¤Ґ«  (ЇаҐ¤бв ў«по饣®
зЁб⮠⥮аҐвЁзҐбЄЁ© Ё­вҐаҐб),  «Ј®аЁв¬л ­  ®б­®ўҐ ४габЁў­®Ј®
бЇгбЄ  з бв® ЁбЇ®«м§говбп ­  Їа ЄвЁЄҐ. ќв®в ¬Ґв®¤ ЇаЁ¬Ґ­Ё¬, ®¤-
­ Є®, ¤ «ҐЄ® ­Ґ Є® ўбҐ¬ Ја ¬¬ вЁЄ ¬. Њл ®Ўбг¤Ё¬ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬лҐ ®Ј-
а ­ЁзҐ­Ёп Ї®§¤­ҐҐ.
€¤Ґп ¬Ґв®¤  ४габЁў­®Ј® бЇгбЄ  в Є®ў . „«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа-
¬Ё­ «  K ¬л бва®Ё¬ Їа®жҐ¤гаг ReadK, Є®в®а п - ў ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁЁ Є «о-
Ў®¬г ўе®¤­®¬г б«®ўг x - ¤Ґ« Ґв ¤ўҐ ўҐйЁ:
(1) ­ е®¤Ёв ­ ЁЎ®«м襥 ­ з «® z б«®ў  x, Є®в®а®Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм
­ з «®¬ ўлў®¤Ё¬®Ј® Ё§ K б«®ў ;
(2) б®®Ўй Ґв, пў«пҐвбп «Ё ­ ©¤Ґ­­®Ґ б«®ў® z ўлў®¤Ё¬л¬ Ё§ K.

ЏаҐ¦¤Ґ 祬 ®ЇЁблў вм нв®в ¬Ґв®¤ Ў®«ҐҐ Ї®¤а®Ў­®, ¤®Ј®ў®аЁ¬бп
® ⮬, Є Є Їа®жҐ¤гал Ї®«гз ов ᢥ¤Ґ­Ёп ® ўе®¤­®¬ б«®ўҐ Ё Є Є б®-
®Ўй ов ® १г«мв в е бў®Ґ© а Ў®вл. Њл ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґ¬, зв® ЎгЄўл
ўе®¤­®Ј® б«®ў  Ї®бвгЇ ов Є ­Ё¬ Ї® ®¤­®©, в.Ґ. Ё¬ҐҐвбп Ја ­Ёж ,
®в¤Ґ«пой п "Їа®зЁв ­­го" з бвм ®в "­ҐЇа®зЁв ­­®©". Ѓг¤Ґ¬ бзЁ-
в вм, зв® Ґбвм дг­ЄжЁп (ЎҐ§ Ї а ¬Ґва®ў)

Next: Symbol

¤ ой п ЇҐаўл© ­ҐЇа®зЁв ­­л© бЁ¬ў®«. …Ґ §­ зҐ­Ёп¬Ё ¬®Јгв Ўлвм
вҐа¬Ё­ «м­лҐ бЁ¬ў®«л,   в Є¦Ґ бЇҐжЁ «м­л© бЁ¬ў®« EOI (End Of
Input - Є®­Ґж ўе®¤ ), ®§­ з ойЁ©, зв® ўбҐ б«®ў® 㦥 Їа®зЁв ­®.
‚맮ў нв®© дг­ЄжЁЁ, ҐбвҐб⢥­­®, ­Ґ б¤ўЁЈ Ґв Ја ­Ёжл ¬Ґ¦¤г Їа®-
зЁв ­­®© Ё ­ҐЇа®зЁв ­­®© з бвмо - ¤«п нв®Ј® Ґбвм Їа®жҐ¤га  Move,
Є®в®а п б¤ўЁЈ Ґв Ја ­Ёжг ­  ®¤Ё­ бЁ¬ў®«. (Ћ­  ЇаЁ¬Ґ­Ё¬ , Ґб«Ё
Next <> EOI.) Џгбвм, ­ Є®­Ґж, Ё¬ҐҐвбп Ўг«ҐўбЄ п ЇҐаҐ¬Ґ­­ п b.

’ҐЇҐам ¬л ¬®¦Ґ¬ бд®а¬г«Ёа®ў вм ­ иЁ вॡ®ў ­Ёп Є Їа®жҐ¤гаҐ
ReadK. Ћ­Ё б®бв®пв ў б«Ґ¤го饬:
(1) ReadK Їа®зЁвлў Ґв Ё§ ®б⠢襩бп з бвЁ б«®ў  ¬ ЄбЁ-
¬ «м­®Ґ ­ з «® A, пў«по饥бп ­ з «®¬ ­ҐЄ®в®а®Ј® б«®ў , ўлў®¤Ё¬®-
Ј® Ё§ K;
(2) §­ зҐ­ЁҐ b бв ­®ўЁвбп ЁбвЁ­­л¬ Ё«Ё «®¦­л¬ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ
®в в®Ј®, пў«пҐвбп «Ё A ўлў®¤Ё¬л¬ Ё§ K Ё«Ё «Ёим ­Ґўлў®¤Ё¬л¬ ­ з -
«®¬ ўлў®¤Ё¬®Ј® (Ё§ K) б«®ў .

„«п 㤮Ўбвў  ўўҐ¤Ґ¬ в Єго вҐа¬Ё­®«®ЈЁо: ўлў®¤Ё¬®Ґ Ё§ K б«®-
ў® Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм K-б«®ў®¬,   «оЎ®Ґ ­ з «® «оЎ®Ј® ўлў®¤Ё¬®Ј® Ё§
K б«®ў  - K-­ з «®¬. ’ॡ®ў ­Ёп (1) Ё (2) ў¬Ґб⥠Ўг¤Ґ¬ ўла ¦ вм
б«®ў ¬Ё "ReadK Є®а४⭠ ¤«п K".

Ќ з­Ґ¬ б а бᬮв७Ёп з бв­®Ј® б«гз п. Џгбвм Їа ўЁ«®
K -> L M
пў«пҐвбп Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ Їа ўЁ«®¬ Ја ¬¬ вЁЄЁ, ᮤҐа¦ йЁ¬ K ў «Ґў®©
з бвЁ, Їгбвм L, M - ­ҐвҐа¬Ё­ «л Ё ReadL, ReadM - Є®а४в­лҐ (¤«п
­Ёе) Їа®жҐ¤гал.
ђ бᬮваЁ¬ в Єго Їа®жҐ¤гаг:

procedure ReadK;
begin
| ReadL;
| if b then begin
| | ReadM;
| end;
end;

13.2.1. ЏаЁўҐбвЁ ЇаЁ¬Ґа, Є®Ј¤  нв  Їа®жҐ¤га  Ўг¤Ґв ­ҐЄ®а-
४⭮© ¤«п K.
ЋвўҐв. Џгбвм Ё§ L ўлў®¤Ёвбп «оЎ®Ґ б«®ў® ўЁ¤  00..00,   Ё§ M
ўлў®¤Ёвбп «Ёим б«®ў® 01. ’®Ј¤  Ё§ K ўлў®¤Ёвбп б«®ў® 00001, ­®
Їа®жҐ¤га  ReadK нв®Ј® ­Ґ § ¬ҐвЁв.

“Є ¦Ґ¬ ¤®бв в®з­®лҐ гб«®ўЁп Є®а४⭮бвЁ Їа®жҐ¤гал ReadK.
„«п нв®Ј® ­ ¬ Ї®­ ¤®Ўпвбп ­ҐЄ®в®алҐ ®Ў®§­ зҐ­Ёп. Џгбвм дЁЄбЁа®-
ў ­л Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄ  Ё ­ҐЄ®в®ал© ­ҐвҐа¬Ё­ « N нв®© Ја ¬¬ вЁЄЁ.
ђ бᬮваЁ¬ N-б«®ў® A, Є®в®а®Ґ Ё¬ҐҐв б®Ўб⢥­­®Ґ ­ з «® B, в Є¦Ґ
пў«по饥бп N-б«®ў®¬ (Ґб«Ё в ЄЁҐ Ґбвм). „«п «оЎ®© Ї ал в ЄЁе б«®ў
A Ё B а бᬮваЁ¬ вҐа¬Ё­ «м­л© бЁ¬ў®«, Ё¤гйЁ© ў A ­ҐЇ®б।б⢥­­®
§  B. Њ­®¦Ґбвў® ўбҐе в ЄЁе вҐа¬Ё­ «®ў ®Ў®§­ зЁ¬ Џ®б«(N). (…б«Ё
­ЁЄ Є®Ґ N-б«®ў® ­Ґ пў«пҐвбп б®Ўб⢥­­л¬ ­ з «®¬ ¤агЈ®Ј® N-б«®ў ,
в® ¬­®¦Ґбвў® Џ®б«(N) Їгбв®.)

13.2.2. “Є § вм ( ) Џ®б«(E) ¤«п ЇаЁ¬Ґа  1; (Ў) Џ®б«(E) Ё
Џ®б«(T) ¤«п ЇаЁ¬Ґа  2; (ў) Џ®б«(<б« Ј>) Ё Џ®б«(<¬­®¦>) ¤«п ЇаЁ-
¬Ґа  3.
ЋвўҐв. ( ) Џ®б«(e) = { [, ( }. (Ў) Џ®б«(e) = { [, ( };
Џ®б«(t) Їгбв® (­ЁЄ Є®Ґ t-б«®ў® ­Ґ пў«пҐвбп ­ з «®¬ ¤агЈ®Ј®). (ў)
Џ®б«(<б« Ј>) = {*}; Џ®б«(<¬­®¦>) Їгбв®.

Ља®¬Ґ в®Ј®, ¤«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  N ®Ў®§­ зЁ¬ зҐаҐ§ Ќ з(N)
¬­®¦Ґбвў® ўбҐе вҐа¬Ё­ «®ў, пў«пойЁебп ЇҐаўл¬Ё ЎгЄў ¬Ё ­ҐЇгбвле
N-б«®ў. ќв® ®Ў®§­ зҐ­ЁҐ - ў¬ҐбвҐ б ЇаҐ¤л¤гйЁ¬ - Ї®§ў®«Ёв ¤ вм
¤®бв в®з­®Ґ гб«®ўЁҐ Є®а४⭮бвЁ Їа®жҐ¤гал ReadK ў ®ЇЁб ­­®© ўл-
иҐ бЁвг жЁЁ.

13.2.3. „®Є § вм, зв® Ґб«Ё Џ®б« (L) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ Ґвбп б
Ќ з(M) Ё ¬­®¦Ґбвў® ўбҐе M-б«®ў ­ҐЇгбв®, в® ReadK Є®а४⭠.

ђҐиҐ­ЁҐ. ђ бᬮваЁ¬ ¤ў  б«гз п. (1) Џгбвм Ї®б«Ґ ReadL §­ -
祭ЁҐ ЇҐаҐ¬Ґ­­®© b «®¦­®. ‚ н⮬ б«гз Ґ ReadM зЁв Ґв б® ўе®¤ 
¬ ЄбЁ¬ «м­®Ґ M-­ з «® A, ­Ґ пў«по饥бп M-б«®ў®¬. Ћ­® пў«пҐвбп
K-­ з «®¬ (§¤Ґбм ў ¦­®, зв® ¬­®¦Ґбвў® L-б«®ў ­ҐЇгбв®.). Ѓг¤Ґв «Ё
®­® ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ K-­ з «®¬ б।Ё ­ з « ўе®¤ ? …б«Ё ­Ґв, в® A пў-
«пҐвбп ­ з «®¬ б«®ў  BC, Ј¤Ґ B Ґбвм L-б«®ў®, C Ґбвм M-­ з «® Ё
BC - Ў®«ҐҐ ¤«Ё­­®Ґ ­ з «® ўе®¤ , 祬 A. …б«Ё B ¤«Ё­­ҐҐ A, в® A -
­Ґ ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ґ ­ з «® ўе®¤ , пў«по饥бп L-­ з «®¬, зв® Їа®вЁў®-
аҐзЁв Є®а४⭮бвЁ ReadL. …б«Ё B = A, в® A Ўл«® Ўл L-б«®ў®¬,  
нв® ­Ґ в Є. ‡­ зЁв, B Є®а®зҐ A, C ­ҐЇгбв® Ё ЇҐаўл© бЁ¬ў®« б«®ў 
C б«Ґ¤гҐв ў A §  Ї®б«Ґ¤­Ё¬ бЁ¬ў®«®¬ б«®ў  B, в.Ґ. Џ®б«(L) ЇҐаҐ-
ᥪ Ґвбп б Ќ з(M). Џа®вЁў®аҐзЁҐ. €в Є, A ¬ ЄбЁ¬ «м­®. €§ бЄ § ­-
­®Ј® б«Ґ¤гҐв в Є¦Ґ, зв® A ­Ґ пў«пҐвбп K-б«®ў®¬. Љ®а४⭮бвм
Їа®жҐ¤гал ReadK ў н⮬ б«гз Ґ Їа®ўҐаҐ­ .
(2) Џгбвм Ї®б«Ґ ReadL §­ зҐ­ЁҐ ЇҐаҐ¬Ґ­­®© b ЁбвЁ­­®. ’®Ј¤ 
Їа®зЁв ­­®Ґ Їа®жҐ¤га®© ReadK ­ з «® ўе®¤  Ё¬ҐҐв ўЁ¤ AB, Ј¤Ґ A
Ґбвм L-б«®ў®,   B Ґбвм M-­ з «®. ’Ґ¬ б ¬л¬ AB Ґбвм K-­ з «®.
Џа®ўҐаЁ¬ ҐЈ® ¬ ЄбЁ¬ «м­®бвм. Џгбвм C Ґбвм Ў®«м襥 K-­ з «®. ’®Ј-
¤  «ЁЎ® C Ґбвм L-­ з «® (зв® ­Ґў®§¬®¦­®, в Є Є Є A Ўл«® ¬ ЄбЁ-
¬ «м­л¬ L-­ з «®¬), «ЁЎ® C = A'B', Ј¤Ґ A' - L-б«®ў®, B' - M-­ -
з «®. …б«Ё A' Є®а®зҐ A, в® B' ­ҐЇгбв® Ё ­ зЁ­ Ґвбп б бЁ¬ў®« ,
ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ йҐЈ® Ё Ќ з(M), Ё Џ®б«(L), зв® ­Ґў®§¬®¦­®. …б«Ё A'
¤«Ё­­ҐҐ A, в® нв® Їа®вЁў®аҐзЁв ⮬г, зв® A Ўл«® ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬.
€в Є, A' = A. Ќ® ў н⮬ б«гз Ґ B' Ґбвм Їа®¤®«¦Ґ­ЁҐ B, зв® Їа®вЁ-
ў®аҐзЁв Є®а४⭮бвЁ ReadM. €в Є, AB - ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ґ K-­ з «®.
Ћбв Ґвбп Їа®ўҐаЁвм Їа ўЁ«м­®бвм ўл¤ ў Ґ¬®Ј® Їа®жҐ¤га®© ReadK
§­ зҐ­Ёп ЇҐаҐ¬Ґ­­®© b. …б«Ё ®­® ЁбвЁ­­®, в® нв® ®зҐўЁ¤­®. …б«Ё
®­® «®¦­®, в® B ­Ґ Ґбвм M-б«®ў®, Ё ­ ¤® Їа®ўҐаЁвм, зв® AB - ­Ґ
K-б«®ў®. ‚ б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ, Ґб«Ё Ўл ўлЇ®«­п«®бм AB = A'B', Ј¤Ґ A' -
L-б«®ў®, B' - M-б«®ў®, в® A' ­Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм ¤«Ё­­ҐҐ A (ReadL зЁ-
в Ґв ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ґ б«®ў®), A' ­Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм а ў­® A (в®Ј¤  B'
а ў­® B Ё ­Ґ пў«пҐвбп M-б«®ў®¬) Ё A' ­Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм Є®а®зҐ A
(в®Ј¤  ЇҐаўл© бЁ¬ў®« B' ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ё Ќ з(M), Ё Џ®б«(L)). ‡ ¤ з 
аҐиҐ­ .

ЏҐаҐ©¤Ґ¬ ⥯Ґам Є ¤агЈ®¬г з бв­®¬г б«гз о. Џгбвм ў Љ‘-Ја ¬-
¬ вЁЄҐ Ґбвм Їа ўЁ« 
K -> L
K -> M
K -> N
Ё ¤агЈЁе Їа ўЁ« б «Ґў®© з бвмо K ­Ґв.

13.2.4. ‘зЁв п, зв® ReadL, ReadM Ё ReadN Є®а४в­л (¤«п L,
M Ё N) Ё зв® ¬­®¦Ґбвў  Ќ з(L), Ќ з(M) Ё Ќ з(N) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ овбп,
­ ЇЁб вм Їа®жҐ¤гаг, Є®а४в­го ¤«п K.

ђҐиҐ­ЁҐ. ‘奬  Їа®жҐ¤гал в Є®ў :

procedure ReadK;
begin
| if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з(L)) then begin
| | ReadL;
| end else if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з(M)) then begin
| | ReadM;
| end else if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з(N)) then begin
| | ReadN;
| end else begin
| | b := true Ё«Ё false ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в в®Ј®,
| | ўлў®¤Ё¬® «Ё Їгб⮥ б«®ў® Ё§ K Ё«Ё ­Ґв
| end;
end;

„®Є ¦Ґ¬, зв® ReadK Є®а४⭮ ॠ«Ё§гҐв K. …б«Ё Next ­Ґ ЇаЁ­ ¤«Ґ-
¦Ёв ­Ё ®¤­®¬г Ё§ ¬­®¦Ґбвў Ќ з(L), Ќ з(M), Ќ з(N),в® Їгб⮥ б«®ў®
пў«пҐвбп ­ ЁЎ®«миЁ¬ ­ з «®¬ ўе®¤ , пў«пойЁ¬бп K-­ з «®¬. …б«Ё
Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ®¤­®¬г (Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, в®«мЄ® ®¤­®¬г) Ё§
нвЁе ¬­®¦Ґбвў, в® ¬ ЄбЁ¬ «м­®Ґ ­ з «® ўе®¤ , пў«по饥бп K-­ з -
«®¬, ­ҐЇгбв® Ё зЁв Ґвбп ᮮ⢥вбвўго饩 Їа®жҐ¤га®©.

13.2.5. €бЇ®«м§гп бЄ § ­­®Ґ, б®бв ўм⥠Їа®жҐ¤гаг а бЇ®§­ -
ў ­Ёп ўла ¦Ґ­Ё© ¤«п Ја ¬¬ вЁЄЁ (㦥 а бб¬ ваЁў ўиҐ©бп ў ЇаЁ¬ҐаҐ
3):

<ўла> -> <б« Ј> <®бвўла>
<®бвўла> -> + <ўла>
<®бвўла> ->
<б« Ј> -> <¬­®¦> <®бвб« Ј>
<®бвб« Ј> -> * <б« Ј>
<®бвб« Ј> ->
<¬­®¦> -> x
<¬­®¦> -> ( <ўла> )

ђҐиҐ­ЁҐ. ќв  Ја ¬¬ вЁЄ  ­Ґ Ї®«­®бвмо Ї®¤Ї ¤ Ґв Ї®¤ а бᬮв-
७­лҐ з бв­лҐ б«гз Ё: ў Їа ўле з бвпе Ґбвм Є®¬ЎЁ­ жЁЁ вҐа¬Ё­ -
«®ў Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў
+ <ўла>
Ё ЈагЇЇл Ё§ ваҐе бЁ¬ў®«®ў
( <ўла> )
‚ Ја ¬¬ вЁЄҐ Ґбвм в Є¦Ґ ­ҐбЄ®«мЄ® Їа ўЁ« б ®¤­®© «Ґў®© з бвмо Ё
б Їа ўл¬Ё з бвп¬Ё а §­®Ј® த , ­ ЇаЁ¬Ґа
<®бвўла> -> + <ўла>
<®бвўла> ->
ќвЁ ®Ја ­ЁзҐ­Ёп ­Ґ пў«повбп ЇаЁ­жЁЇЁ «м­л¬Ё. ’ Є, Їа ўЁ«® вЁЇ 
K -> L M N
¬®¦­® Ўл«® Ўл § ¬Ґ­Ёвм ­  ¤ў  Їа ўЁ«  K -> LQ Ё Q -> MN, вҐа¬Ё-
­ «м­лҐ бЁ¬ў®«л ў Їа ў®© з бвЁ - ­  ­ҐвҐа¬Ё­ «л (б Ґ¤Ёб⢥­­л¬
Їа ўЁ«®¬ § ¬Ґ­л ­  ᮮ⢥вбвўгойЁҐ вҐа¬Ё­ «л). ЌҐбЄ®«мЄ® Їа ўЁ«
б ®¤­®© «Ґў®© з бвмо Ё а §­®а®¤­л¬Ё Їа ўл¬Ё в Є¦Ґ ¬®¦­® ᢥбвЁ Є
㦥 а §®Ўа ­­®¬г б«гз о: ­ ЇаЁ¬Ґа,

K -> L M N
K -> P Q
K ->

¬®¦­® § ¬Ґ­Ёвм ­  Їа ўЁ« 

K -> K1
K -> K2
K -> K3
K1 -> L M N
K2 -> P Q
K3 ->

Ќ® ¬л ­Ґ Ўг¤Ґ¬ нв®Ј® ¤Ґ« вм -   ба §г ¦Ґ § ЇЁиҐ¬ в®, зв® Ї®«г-
зЁвбп, Ґб«Ё Ї®¤бв ўЁвм ®ЇЁб ­Ёп Їа®жҐ¤га ¤«п ­®ўле вҐа¬Ё­ «м­ле
бЁ¬ў®«®ў ў ¬Ґбв  Ёе ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¤«п Їа ўЁ« 
K -> L M N
нв® ¤ Ґв Їа®жҐ¤гаг

procedure ReadK;
begin
| ReadL;
| if b then begin ReadM; end;
| if b then begin ReadN; end;
end;

„«п ҐҐ Є®а४⭮бвЁ ­ ¤®, зв®Ўл Џ®б«(L) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ «®бм б
Ќ з(MN) (Є®в®а®Ґ а ў­® Ќ з(M), Ґб«Ё Ё§ M ­Ґ ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥
б«®ў®, Ё а ў­® ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­Ёо Ќ з(M) Ё Ќ з(N), Ґб«Ё ўлў®¤Ёвбп),  
в Є¦Ґ зв®Ўл Џ®б«(M) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ «®бм б Ќ з(N).
Ђ­ «®ЈЁз­л¬ ®Ўа §®¬ Їа ўЁ« 
K -> L M N
K -> P Q
K ->
ЇаЁў®¤пв Є Їа®жҐ¤гаҐ

procedure ReadK;
begin
| if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з(LMN)) then begin
| | ReadB;
| | if b then begin ReadM; end;
| | if b then begin ReadN; end;
| end else if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з(PQ)) then begin
| | ReadP;
| | if b then begin ReadQ; end;
| end else begin
| | b := true;
| end;
end;
—Ёв п ЇаЁўҐ¤Ґ­­го ¤ «ҐҐ Їа®Ја ¬¬г, Ї®«Ґ§­® Ё¬Ґвм ў ўЁ¤г б®®в-
ўҐвбвўЁҐ ¬Ґ¦¤г агббЄЁ¬Ё Ё  ­Ј«Ё©бЄЁ¬Ё б«®ў ¬Ё:

‚›ђ ¦Ґ­ЁҐ EXPRession
Ћ‘’ в®Є ‚›ђ ¦Ґ­Ёп REST of EXPRession
‘‹Ђѓ Ґ¬®Ґ ADDitive term
Ћ‘’ в®Є ‘‹Ђѓ Ґ¬®Ј® REST of ADDitive term
ЊЌЋ†ЁвҐ«м MULTiplier

procedure ReadSymb (c: Symbol);
| b := (Next = c);
| if b then begin Move; end;
end;

procedure ReadExpr;
| ReadAdd;
| if b then begin ReadRestExpr; end;
end;

procedure ReadRestExpr;
| if Next = '+' then begin
| | ReadSymb ('+');
| | if b then begin ReadExpr; end;
| end else begin
| | b := true;
| end;
end;

procedure ReadAdd;
| ReadMult;
| if b then begin ReadRestAdd; end;
end;

procedure ReadRestAdd;
| if Next = '*' then begin
| | ReadSymb ('*');
| | if b then begin ReadAdd; end;
| end else begin
| | b := true;
| end;
end;

procedure ReadMult;
| if Next = 'x' then begin
| | ReadSymb ('x');
| end else if Next = '(' then begin
| | ReadSymb ('(');
| | if b then begin ReadExpr; end;
| | if b then begin ReadSymb (')'); end;
| end else begin
| | b := false;
| end;
end;

Ћбв «®бм ®Ўбг¤Ёвм Їа®Ў«Ґ¬л, бўп§ ­­лҐ б ў§ Ё¬­®© ४габЁў­®бвмо
нвЁе Їа®жҐ¤га (®¤­  ЁбЇ®«м§гҐв ¤агЈго Ё ­ ®Ў®а®в). ‚ Ї бЄ «Ґ нв®
¤®ЇгбЄ Ґвбп, в®«мЄ® вॡгҐвбп ¤ вм ЇаҐ¤ў аЁвҐ«м­®Ґ ®ЇЁб ­ЁҐ Їа®-
楤га ("forward"). Љ Є ўбҐЈ¤  ¤«п ४габЁў­ле Їа®жҐ¤га, Ї®¬Ё¬®
¤®Є § вҐ«мбвў  в®Ј®, зв® Є ¦¤ п Їа®жҐ¤га  а Ў®в Ґв Їа ўЁ«м­® ў
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁЁ, зв® ЁбЇ®«м§гҐ¬лҐ ў ­Ґ© ўл§®ўл Їа®жҐ¤га а Ў®в ов
Їа ўЁ«м­®, ­ ¤® ¤®Є § вм ®в¤Ґ«м­®, зв® а Ў®в  § ўҐаи Ґвбп. (ќв®
­Ґ ®зҐўЁ¤­®: Ґб«Ё Ўл ў Ја ¬¬ вЁЄҐ Ўл«® Їа ўЁ«® K -> KK, в® Ё§ K
­ЁзҐЈ® ­Ґ ўлў®¤Ёвбп, Џ®б«(K) Ё Ќ з(K) Їгбвл, ­® ­ ЇЁб ­­ п Ї®
­ иЁ¬ Є ­®­ ¬ Їа®жҐ¤га 

procedure ReadK;
begin
| ReadK;
| if b then begin
| | ReadK;
| end;
end;

­Ґ § Є ­зЁў Ґв а Ў®вл.)
‚ ¤ ­­­®¬ б«гз Ґ Їа®жҐ¤гал ReadRestExpr, ReadRestAdd,
ReadMult «ЁЎ® § ўҐаи овбп, «ЁЎ® 㬥­ми ов ¤«Ё­г ­ҐЇа®зЁв ­­®©
з бвЁ ўе®¤ . Џ®бЄ®«мЄг «оЎ®© жЁЄ« ўл§®ў®ў ўЄ«оз Ґв ®¤­г Ё§ ­Ёе,
в® § жЁЄ«Ёў ­ЁҐ ­Ґў®§¬®¦­®. ‡ ¤ з  аҐиҐ­ .

13.2.6. Џгбвм ў Ја ¬¬ вЁЄҐ Ё¬Ґовбп ¤ў  Їа ўЁ«  б ­ҐвҐа¬Ё-
Ё­ «®¬ K ў «Ґў®© з бвЁ, Ё¬ҐойЁе ўЁ¤
K -> LK
K ->
Ї® Є®в®ал¬ K-б«®ў® ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© Є®­Ґз­го Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫쭮бвм L-б«®ў, ЇаЁзҐ¬ ¬­®¦Ґбвў  Џ®б«(L) Ё Ќ з(K) (ў ¤ ­­®¬
б«гз Ґ а ў­®Ґ Ќ з(L)) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ овбп. €бЇ®«м§гп Є®а४в­го ¤«п
L Їа®жҐ¤гаг ReadL, ­ ЇЁб вм Є®а४в­го ¤«п K Їа®жҐ¤гаг ReadK, ­Ґ
ЁбЇ®«м§гп ४габЁЁ. ЏаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® Їгб⮥ б«®ў® ­Ґ ўлў®¤Ё¬®
Ё§ L.

ђҐиҐ­ЁҐ. Џ® ­ иЁ¬ Їа ўЁ« ¬ б«Ґ¤®ў «® Ўл ­ ЇЁб вм

procedure ReadK;
begin
| if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (L)) then begin
| | ReadL;
| | if b then begin ReadK; end;
| end else begin
| | b := true;
| end;
end;

§ ўҐа襭ЁҐ а Ў®вл Ј а ­вЁагҐвбп ⥬, зв® Їгб⮥ б«®ў® ­Ґ ўлў®¤Ё-
¬® Ё§ L (Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, ЇҐаҐ¤ ४габЁў­л¬ ўл§®ў®¬ ¤«Ё­  ­ҐЇ-
а®зЁв ­­®© з б⨠㬥­ми Ґвбп).
ќв  ४габЁў­ п Їа®жҐ¤га  нЄўЁў «Ґ­в­  ­ҐаҐЄгабЁў­®©:

procedure ReadK;
begin
| b := true;
| while b and (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (L)) do begin
| | ReadL;
| end;
end;

”®а¬ «м­® ¬®¦­® Їа®ўҐаЁвм нвг нЄўЁў «Ґ­в­®бвм в Є. ‡ ўҐаи Ґ¬®бвм
ў ®Ў®Ёе б«гз пе пб­ . „®бв в®з­® Їа®ўҐаЁвм Ї®н⮬г, з⮠⥫® аҐ-
ЄгабЁў­®© Їа®жҐ¤гал нЄўЁў «Ґ­в­® ­ҐаҐЄгабЁў­®© ў ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁЁ,
зв® ҐҐ ४габЁў­л© ўл§®ў нЄўЁў «Ґ­вҐ­ ўл§®ўг ­ҐаҐЄгабЁў­®© Їа®-
楤гал. Џ®¤бв ўЁ¬:

if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (K)) then begin
| ReadL;
| if b then begin
| | b := true;
| | while b and (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (L)) do begin
| | | ReadL;
| | end;
| end;
end else begin
| b := true;
end;

ЏҐаўго Є®¬ ­¤г b := true ¬®¦­® ўлЄЁ­гвм (ў н⮬ ¬Ґб⥠Ё в Є b
ЁбвЁ­­®). ‚в®аго Є®¬ ­¤г ¬®¦­® ЇҐаҐ­ҐбвЁ ў ­ з «®:

b := true;
if (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (K)) then begin
| ReadL;
| if b then begin
| | while b and (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (L)) do begin
| | | ReadL;
| | end;
| end;
end;

’ҐЇҐам ў­гв७­Ё© if ¬®¦­® ўлЄЁ­гвм (Ґб«Ё b «®¦­®, жЁЄ« while
ўбҐ а ў­® ­Ґ ўлЇ®«­пҐвбп) Ё ¤®Ў ўЁвм ў гб«®ўЁҐ ў­Ґи­ҐЈ® if гб«®-
ўЁҐ b (Є®в®а®Ґ ўбҐ а ў­® ЁбвЁ­­®).

b := true;
if b and (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (L)) then begin
| ReadL;
| while b and (Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв Ќ з (A)) do begin
| | ReadL;
| end;
end;

зв® нЄўЁў «Ґ­в­® ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© ўлиҐ ­ҐаҐЄгабЁў­®© Їа®жҐ¤гॠ(Ё§
Є®в®а®© ўл­ҐбҐ­  ЇҐаў п ЁвҐа жЁп жЁЄ« ).

13.2.7. „®Є § вм Є®а४⭮бвм ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© ўлиҐ ­ҐаҐЄгабЁў-
­®© Їа®Ја ¬¬л ­ҐЇ®б।б⢥­­®, ЎҐ§ ббл«®Є ­  ४габЁў­го.

ђҐиҐ­ЁҐ. ђ бᬮваЁ¬ ­ ЁЎ®«м襥 ­ з «® ўе®¤ , пў«по饥бп
K-­ з «®¬. Ћ­® ЇаҐ¤бв ў«пҐвбп ў ўЁ¤Ґ Є®­Є вҐ­ жЁЁ (Ї®б«Ґ¤®ў -
⥫쭮Ј® ЇаЁЇЁблў ­Ёп) ­ҐбЄ®«мЄЁе ­ҐЇгбвле L-б«®ў Ё, ў®§¬®¦­®,
®¤­®Ј® ­ҐЇгбв®Ј® L-­ з « , ­Ґ пў«по饣®бп L-б«®ў®¬. €­ў аЁ ­в
жЁЄ« : Їа®зЁв ­® ­ҐбЄ®«мЄ® Ё§ ­Ёе; b <=> (Ї®б«Ґ¤­ҐҐ Їа®зЁв ­­®Ґ
пў«пҐвбп L-б«®ў®¬).
‘®еа ­Ґ­ЁҐ Ё­ў аЁ ­в : Ґб«Ё ®бв «®бм Ї®б«Ґ¤­ҐҐ б«®ў®, нв®
®зҐўЁ¤­®; Ґб«Ё ®бв «®бм ­ҐбЄ®«мЄ®, в® §  ЇҐаўл¬ B-б«®ў®¬ (Ё§
зЁб«  ®бв ўиЁебп) Ё¤Ґв бЁ¬ў®« Ё§ Ќ з(B), Ё Ї®в®¬г нв® б«®ў® -
¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ ­ з «®¬ ўе®¤ , пў«по饥бп B-­ з «®¬.

Ќ  Їа ЄвЁЄҐ ЇаЁ § ЇЁбЁ Ја ¬¬ вЁЄЁ ЁбЇ®«м§гов б®Єа йҐ­Ёп.
…б«Ё Їа ўЁ«  ¤«п Є Є®Ј®-в® ­ҐвҐа¬Ё­ «  K Ё¬Ґов ўЁ¤
K -> L K
K ->
(в.Ґ. K-б«®ў  - нв® Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ L-б«®ў), в® нвЁе Їа ўЁ«
­Ґ ЇЁигв,   ў¬Ґбв® K ЇЁигв L ў дЁЈга­ле бЄ®ЎЄ е. ЌҐбЄ®«мЄ® Їа -
ўЁ« б ®¤­®© «Ґў®© з бвмо Ё а §­л¬Ё Їа ўл¬Ё § ЇЁблў ов Є Є ®¤­®
Їа ўЁ«®, а §¤Ґ«пп  «мвҐа­ вЁў­лҐ Їа ўлҐ з бвЁ ўҐавЁЄ «м­®© зҐа-
в®©.
Ќ ЇаЁ¬Ґа, а бᬮв७­ п ўлиҐ Ја ¬¬ вЁЄ  ¤«п <ўла> ¬®¦Ґв
Ўлвм § ЇЁб ­  в Є:

<ўла> -> <б« Ј> { + <б« Ј> }
<б« Ј> -> <¬­®¦> { * <¬­®¦> }
<¬­®¦> -> x | ( <ўла> )

13.2.8. Ќ ЇЁб вм Їа®жҐ¤гаг, Є®а४⭮ ¤«п <ўла>, б«Ґ¤гп
нв®© Ја ¬¬ вЁЄҐ Ё ЁбЇ®«м§гп жЁЄ« ў¬Ґб⮠४габЁЁ, Ј¤Ґ ¬®¦­®.

ђҐиҐ­ЁҐ.

procedure ReadSymb (c: Symbol);
| b := (Next = c);
| if b then begin Move; end;
end;

procedure ReadExpr;
begin
| ReadAdd;
| while b and (Next = '+') do begin
| | Move;
| | ReadAdd;
| end;
end;

procedure ReadAdd;
begin
| ReadMult;
| while b and (Next = '*') do begin
| | Move;
| | ReadMult;
| end;
end;

procedure ReadMult;
begin
| if Next = 'x' do begin
| | Move;
| end else if Next = '(' then begin
| | Move;
| | ReadExpr;
| | if b then begin ReadSymb (')'); end;
| end else begin
| | b := false;
| end;
end;

13.3. Ђ«Ј®аЁв¬ а §Ў®а  ¤«п LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄ.

‚ н⮬ а §¤Ґ«Ґ ¬л а бᬮਬ ҐйҐ ®¤Ё­ ¬Ґв®¤ Їа®ўҐаЄЁ ўлў®¤Ё-
¬®бвЁ ў Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄҐ, ­ §лў Ґ¬л© Ї® ва ¤ЁжЁЁ LL(1)-а §Ў®а®¬.
‚®в ҐЈ® Ё¤Ґп ў ®¤­®© да §Ґ: ¬®¦­® бзЁв вм, зв® ў Їа®жҐбᥠўлў®¤ 
¬л ўбҐЈ¤  § ¬Ґ­пҐ¬ б ¬л© «Ґўл© ­ҐвҐа¬Ё­ « Ё ­г¦­® «Ёим ўлЎа вм
®¤­® Ё§ Їа ўЁ«; Ґб«Ё ­ ¬ Ї®ўҐ§Ґв б Ја ¬¬ вЁЄ®©, в® ўлЎа вм Їа -
ўЁ«® ¬®¦­®, Ј«п¤п ­  ЇҐаўл© бЁ¬ў®« ўлў®¤Ё¬®Ј® Ё§ нв®Ј® ­ҐвҐа¬Ё-
­ «  б«®ў . ѓ®ў®ап Ў®«ҐҐ д®а¬ «м­®, ¤ ¤Ё¬ в Є®Ґ
ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ‹Ґўл¬ ўлў®¤®¬ (б«®ў  ў Ја ¬¬ вЁЄҐ) ­ §лў Ґвбп
ўлў®¤, ў Є®в®а®¬ ­  Є ¦¤®¬ и ЈҐ § ¬Ґ­Ґ Ї®¤ўҐаЈ Ґвбп б ¬л© «Ґўл©
Ё§ ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў.

13.3.1. „«п Є ¦¤®Ј® ўлў®¤Ё¬®Ј® б«®ў  (Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў) бг-
йҐбвўгҐв ҐЈ® «Ґўл© ўлў®¤.

ђҐиҐ­ЁҐ. ђ §«Ёз­лҐ ­ҐвҐа¬Ё­ «л § ¬Ґ­повбп ­Ґ§ ўЁбЁ¬®; Ґб«Ё
ў Їа®жҐбᥠўлў®¤  Ї®пўЁ«®бм б«®ў® ..K..L.., Ј¤Ґ K, L - ­ҐвҐа¬Ё-
­ «л, в® § ¬Ґ­л K Ё L ¬®¦­® Їа®Ё§ў®¤Ёвм ў «оЎ®¬ Ї®ап¤ЄҐ. Џ®н⮬г
¬®¦­® ЇҐаҐбва®Ёвм ўлў®¤ в Є, зв®Ўл бв®пйЁ© «ҐўҐҐ ­ҐвҐа¬Ё­ « § -
¬Ґ­п«бп а ­миҐ. (”®а¬ «м­® Ј®ў®ап, ­ ¤® ¤®Є §лў вм Ё­¤гЄжЁҐ© Ї®
¤«Ё­Ґ ўлў®¤  в Є®© д Єв: Ґб«Ё Ё§ ­ҐЄ®в®а®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  K ўлў®-
¤Ёвбп ­ҐЄ®в®а®Ґ
б«®ў® A, в® бгйҐбвўгҐв «Ґўл© ўлў®¤ A Ё§ K.)

13.3.2. ‚ Ја ¬¬ вЁЄҐ б 4 Їа ўЁ« ¬Ё

(1) E ->
(2) E -> T E
(3) T -> ( E )
(4) T -> [ E ]

­ ©вЁ «Ґўл© ўлў®¤ б«®ў  A = [()([])] Ё ¤®Є § вм, зв® ®­
Ґ¤Ё­б⢥­.

ђҐиҐ­ЁҐ. Ќ  ЇҐаў®¬ и ЈҐ ¬®¦­® ЇаЁ¬Ґ­Ёвм в®«мЄ® Їа ўЁ«® (2):
E -> TE
—в® Ўг¤Ґв ¤ «миҐ б T? ’ Є Є Є б«®ў® A ­ зЁ­ Ґвбп ­  "[", в® ¬®-
¦Ґв ЇаЁ¬Ґ­Ёвмбп в®«мЄ® Їа ўЁ«® (4):
E -> TE -> [E]E
ЏҐаў®Ґ E ¤®«¦­® § ¬Ґ­Ёвмбп ­  TE (Ё­ зҐ ўв®ал¬ бЁ¬ў®«®¬ Ўл«  Ўл
бЄ®ЎЄ  "]"):
E -> TE -> [E]E -> [TE]E
Ё T ¤®«¦­® § ¬Ґ­пвмбп Ї® (3):
E -> TE -> [E]E -> [TE]E -> [(E)E]E
„ «ҐҐ ЇҐаў®Ґ E ¤®«¦­® § ¬Ґ­Ёвмбп ­  Їгб⮥ б«®ў® (Ё­ зҐ ваҐв쥩
ЎгЄў®© б«®ў  Ўг¤Ґв "(" Ё«Ё "[" - в®«мЄ® ­  нвЁ бЁ¬ў®«л ¬®¦Ґв ­ -
зЁ­ вмбп б«®ў®, ўлў®¤Ё¬®Ґ Ё§ T):
E -> TE -> [E]E -> [TE]E -> [(E)E]E -> [()E]E
Ё ¤ «ҐҐ
... -> [()TE]E -> [()(E)E]E -> [()(TE)E]E -> [()([E]E)E]E ->
-> [()([]E)E]E -> [()([])E]E -> [()([])]E -> [()([])].

—в® вॡгҐвбп ®в Ја ¬¬ вЁЄЁ, зв®Ўл в Є®© ¬Ґв®¤ Ї®ЁбЄ  «Ґў®-
Ј® ўлў®¤  Ўл« ЇаЁ¬Ґ­Ё¬? Џгбвм, ­ ЇаЁ¬Ґа, ­  ®зҐаҐ¤­®¬ и ЈҐ б ¬л¬
«Ґўл¬ ­ҐвҐа¬Ё­ «®¬ ®Є § «бп ­ҐвҐа¬Ё­ « K, в.Ґ. ¬л Ё¬ҐҐ¬ б«®ў®
ўЁ¤  AKU, Ј¤Ґ A - б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў,   U - б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў
Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў. Џгбвм ў Ја ¬¬ вЁЄҐ Ґбвм Їа ўЁ« 
K -> L M N
K -> P Q
K -> R
Ќ ¬ ­ ¤® ўлЎа вм ®¤­® Ё§ ­Ёе. Њл Ўг¤Ґ¬ Їлв вмбп ᤥ« вм нв®в ўл-
Ў®а, Ј«п¤п ­  ЇҐаўл© бЁ¬ў®« в®© з бвЁ ўе®¤­®Ј® б«®ў , Є®в®а п
ўлў®¤Ёвбп Ё§ KU.
ђ бᬮваЁ¬ ¬­®¦Ґбвў® Ќ з(LMN) вҐе вҐа¬Ё­ «®ў, б Є®в®але ­ -
зЁ­ овбп ­ҐЇгбвлҐ б«®ў , ўлў®¤Ё¬лҐ Ё§ LMN. (ќв® ¬­®¦Ґбвў® а ў­®
Ќ з(L), ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­­®¬г б Ќ з(M), Ґб«Ё Ё§ L ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®-
ў®,   в Є¦Ґ б Ќ з(N), Ґб«Ё Ё§ L Ё Ё§ M ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®ў®.)
—в®Ўл ®ЇЁб ­­л© ¬Ґв®¤ Ўл« ЇаЁ¬Ґ­Ё¬, ­ ¤®, зв®Ўл Ќ з(LMN),
Ќ з(PQ) Ё Ќ з(R) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ «Ёбм. Ќ® нв®Ј® ¬ «®. ‚Ґ¤м ¬®¦Ґв Ўлвм
в Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, зв® Ё§ LMN Ўг¤Ґв ўлўҐ¤Ґ­® Їгб⮥ б«®ў®,   Ё§ б«®-
ў  U Ўг¤Ґв ўлўҐ¤Ґ­® б«®ў®, ­ зЁ­ о饥бп ­  ЎгЄўг Ё§ Ќ з(PQ).
‘«Ґ¤гойЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп гзЁвлў ов нвг Їа®Ў«Ґ¬г.

Ќ Ї®¬­Ё¬, зв® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ўлў®¤Ё¬®бвЁ ў Љ‘-Ја ¬¬ вЁЄҐ Ўл«®
¤ ­® в®«мЄ® ¤«п б«®ў  Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў. Ћ­® ®зҐўЁ¤­л¬ ®Ўа §®¬ ®Ў®Ў-
й Ґвбп ­  б«гз © б«®ў Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў. Њ®¦­® в Є¦Ґ
Ј®ў®аЁвм ® ўлў®¤Ё¬®бвЁ ®¤­®Ј® б«®ў  (ᮤҐа¦ йҐЈ® вҐа¬Ё­ «л Ё ­Ґ-
вҐа¬Ё­ «л) Ё§ ¤агЈ®Ј®. (…б«Ё Ј®ў®аЁвбп ® ўлў®¤Ё¬®бвЁ б«®ў  ЎҐ§
гЄ § ­Ёп в®Ј®, ®вЄг¤  ®­® ўлў®¤Ёвбп, в® ўбҐЈ¤  Ї®¤а §г¬Ґў Ґвбп
ўлў®¤Ё¬®бвм ў Ја ¬¬ вЁЄҐ, в.Ґ. ўлў®¤Ё¬®бвм Ё§ ­ з «м­®Ј® ­ҐвҐа-
¬Ё­ « .)
„«п Є ¦¤®Ј® б«®ў  X Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў зҐаҐ§
Ќ з(X) ®Ў®§­ з Ґ¬ ¬­®¦Ґбвў® ўбҐе вҐа¬Ё­ «®ў, б Є®в®але ­ зЁ­ ов-
бп ­ҐЇгбвлҐ б«®ў  Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў, ўлў®¤Ё¬лҐ Ё§ X. (‚ б«гз Ґ, Ґб«Ё
Ё§ «оЎ®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  ўлў®¤Ёвбп е®вм ®¤­® б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў,
­Ґ ЁЈа Ґв а®«Ё, а бб¬ ваЁў Ґ¬ «Ё ¬л ЇаЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ Ќ з(X) б«®ў 
в®«мЄ® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў Ё«Ё «оЎлҐ б«®ў . Њл Ўг¤Ґ¬ ЇаҐ¤Ї®« Ј вм ¤ -
«ҐҐ, зв® нв® гб«®ўЁҐ ўлЇ®«­Ґ­®.)
„«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  K зҐаҐ§ Џ®б«Ґ¤(K) ®Ў®§­ зЁ¬ ¬­®-
¦Ґбвў® вҐа¬Ё­ «®ў, Є®в®алҐ ўбваҐз овбп ў ўлў®¤Ё¬ле б«®ў е ба §г
¦Ґ §  K. Ља®¬Ґ в®Ј®, ў Џ®б«Ґ¤(K) ўЄ«оз Ґвбп бЁ¬ў®« EOI, Ґб«Ё бг-
йҐбвўгҐв ўлў®¤Ё¬®Ґ б«®ў®, ®Є ­зЁў о饥бп ­  K.
„«п Є ¦¤®Ј® Їа ўЁ« 
K -> V
(Ј¤Ґ K - ­ҐвҐа¬Ё­ «, V - б«®ў®, ᮤҐа¦ йҐҐ вҐа¬Ё­ «л Ё ­ҐвҐа¬Ё-
­ «л) ®ЇаҐ¤Ґ«Ё¬ ¬­®¦Ґбвў® "­ Їа ў«пойЁе вҐа¬Ё­ «®ў", ®Ў®§­ з -
Ґ¬®Ґ Ќ Їа(K->V). Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ®­® а ў­® Ќ з(V), Є Є®в®а®¬г ¤®-
Ў ў«Ґ­® Џ®б«Ґ¤(K), Ґб«Ё Ё§ V ўлў®¤Ёвбп Їгб⮥ б«®ў®.

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ѓа ¬¬ вЁЄ  ­ §лў Ґвбп LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄ®©, Ґб«Ё
¤«п «оЎле Їа ўЁ« K->V Ё K->W б ®¤Ё­ Є®ўл¬Ё «Ґўл¬Ё з бвп¬Ё ¬­®-
¦Ґбвў  Ќ Їа(K->V) Ё Ќ Їа(K->W) ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ овбп.

13.3.3. џў«пҐвбп «Ё Ја ¬¬ вЁЄ 
K -> K #
K ->
(ўлў®¤Ё¬л¬Ё б«®ў ¬Ё пў«повбп Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ ¤ЁҐ§®ў)
LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄ®©?

ђҐиҐ­ЁҐ. ЌҐв: бЁ¬ў®« # ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ¬­®¦Ґбвў ¬ ­ Їа ў«пойЁе
бЁ¬ў®«®ў ¤«п ®Ў®Ёе Їа ўЁ« (¤«п ўв®а®Ј® - Ї®бЄ®«мЄг # ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв
Џ®б«Ґ¤(K)).

13.3.4. Ќ ЇЁб вм LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄг ¤«п в®Ј® ¦Ґ п§лЄ .

ђҐиҐ­ЁҐ.
K -> # K
K ->
Љ Є Ј®ў®апв, "«Ґў®аҐЄгабЁў­®Ґ Їа ўЁ«®" § ¬Ґ­Ґ­® ­  "Їа ў®аҐЄга-
бЁў­®Ґ".

‘«Ґ¤гой п § ¤ з  Ї®Є §лў Ґв, зв® ¤«п LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄЁ бгйҐ-
бвўгҐв ­Ґ Ў®«ҐҐ ®¤­®Ј® ў®§¬®¦­®Ј® Їа®¤®«¦Ґ­Ёп «Ґў®Ј® ўлў®¤ .

13.3.5. Џгбвм ¤ ­® ўлў®¤Ё¬®Ґ ў LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄҐ б«®ў® X, ў
Є®в®а®¬ ўл¤Ґ«Ґ­ б ¬л© «Ґўл© ­ҐвҐа¬Ё­ « Љ: X=AKS, Ј¤Ґ A - б«®ў®
Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў, S - б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў. Џгбвм бг-
йҐбвўгов ¤ў  а §«Ёз­ле Їа ўЁ«  Ја ¬¬ вЁЄЁ б ­ҐвҐа¬Ё­ «®¬ K ў «Ґ-
ў®© з бвЁ, Ё ¬л ЇаЁ¬Ґ­Ё«Ё Ёе Є ўл¤Ґ«Ґ­­®¬г ў X ­ҐвҐа¬Ё­ «г K,
§ вҐ¬ Їа®¤®«¦Ё«Ё ўлў®¤ Ё ў Є®­жҐ Є®­ж®ў Ї®«гзЁ«Ё ¤ў  б«®ў  Ё§
вҐа¬Ё­ «®ў, ­ зЁ­ ойЁебп ­  A. „®Є § вм, зв® ў нвЁе б«®ў е § 
­ з «®¬ A Ё¤гв а §­лҐ ЎгЄўл.

ђҐиҐ­ЁҐ. ќвЁ ЎгЄўл ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ в ­ Їа ў«пойЁ¬ ¬­®¦Ґбвў ¬ а §-
«Ёз­ле Їа ўЁ«.

13.3.6. „®Є § вм, зв® Ґб«Ё б«®ў® ўлў®¤Ё¬® ў LL(1)-Ја ¬¬ вЁ-
ЄҐ, в® ҐЈ® «Ґўл© ўлў®¤ Ґ¤Ё­б⢥­.

ђҐиҐ­ЁҐ. ЏаҐ¤л¤гй п § ¤ з  Ї®Є §лў Ґв, зв® ­  Є ¦¤®¬ и ЈҐ
«Ґўл© ўлў®¤ Їа®¤®«¦ Ґвбп ®¤­®§­ з­®.

13.3.7. ѓа ¬¬ вЁЄ  ­ §лў Ґвбп «Ґў®аҐЄгабЁў­®©, Ґб«Ё Ё§ ­Ґ-
Є®в®а®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  K ўлў®¤Ёвбп б«®ў®, ­ зЁ­ о饥бп б K, ­® ­Ґ
б®ўЇ ¤ о饥 б ­Ё¬. „®Є § вм, зв® «Ґў®аҐЄгабЁў­ п Ја ¬¬ вЁЄ , ў
Є®в®а®© Ё§ Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  ўлў®¤Ёвбп е®вп Ўл ®¤­® ­ҐЇгб⮥
б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў Ё ¤«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  бгйҐбвўгҐв ўлў®¤
(­ зЁ­ ойЁ©бп б ­ з «м­®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ « ), ў Є®в®а®¬ ®­ ўбваҐз Ґв-
бп, ­Ґ пў«пҐвбп LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄ®©.

ђҐиҐ­ЁҐ. Џгбвм Ё§ K ўлў®¤Ёвбп KU, Ј¤Ґ K - ­ҐвҐа¬Ё­ «,   U -
­ҐЇгб⮥ б«®ў®. Њ®¦­® бзЁв вм, зв® нв® «Ґўл© ўлў®¤ (¤агЈЁҐ ­Ґ-
вҐа¬Ё­ «л ¬®¦­® ­Ґ § ¬Ґ­пвм). ђ бᬮваЁ¬ ўлў®¤ K --> KU --> KUU
->... (§­ Є --> ®Ў®§­ з Ґв ­ҐбЄ®«мЄ® и Ј®ў ўлў®¤ ) Ё «Ґўл© ўлў®¤
K -> A, Ј¤Ґ A - ­ҐЇгб⮥ б«®ў® Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў. Ќ  Є Є®¬-в® и ЈҐ
ўв®а®© ўлў®¤ ®вЄ«®­пҐвбп ®в ЇҐаў®Ј®,   ¬Ґ¦¤г ⥬ Ї® ®Ў®Ё¬ Їгвп¬
¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭® б«®ў®, ­ зЁ­ о饥бп ­  A (ў ЇҐаў®¬ б«гз Ґ
нв® ў®§¬®¦­®, в Є Є Є б®еа ­пҐвбп ­ҐвҐа¬Ё­ « K, Є®в®ал© ¬®¦Ґв
ўЇ®б«Ґ¤бвўЁЁ Ўлвм § ¬Ґ­Ґ­ ­  A). ќв® Їа®вЁў®аҐзЁв ў®§¬®¦­®бвЁ
®¤­®§­ з­®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Їа ўЁ« , ЇаЁ¬Ґ­пҐ¬®Ј® ­  ®зҐаҐ¤­®¬ и ЈҐ
Ї®ЁбЄ  «Ґў®Ј® ўлў®¤ . (O¤­®§­ з­®бвм ўлЇ®«­пҐвбп ¤«п ўлў®¤®ў Ё§
­ з «м­®Ј® ­ҐвҐа¬ ­ « , Ё ­ ¤® ў®бЇ®«м§®ў вмбп ⥬, зв® K Ї®
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёо ўбваҐз Ґвбп ў в Є®¬ ўлў®¤Ґ.)

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Є «Ґў®аҐЄгабЁў­л¬ Ја ¬¬ вЁЄ ¬ (Єа®¬Ґ ваЁўЁ-
 «м­ле б«гз Ґў) LL(1)-­ гЄ  ­ҐЇаЁ¬Ґ­Ё¬ . €е ЇаЁе®¤Ёвбп ЇаҐ®Ўа -
§®ўлў вм Є нЄўЁў «Ґ­в­л¬ LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄ ¬ - Ё«Ё Ї®«м§®ў вмбп
¤агЈЁ¬Ё ¬Ґв®¤ ¬Ё а бЇ®§­ ў ­Ёп.

13.3.8. €бЇ®«м§гп бЄ § ­­®Ґ, Ї®бва®Ёвм  «Ј®аЁв¬ Їа®ўҐаЄЁ
ўлў®¤Ё¬®бвЁ б«®ў  Ё§ вҐа¬Ё­ «®ў ў LL(1)-Ја ¬¬ вЁЄҐ, ­Ґ пў«по饩-
бп «Ґў®аҐЄгабЁў­®©.

ђҐиҐ­ЁҐ. Њл б«Ґ¤гҐ¬ ®ЇЁб ­­®¬г ўлиҐ ¬Ґв®¤г Ї®ЁбЄ  «Ґў®Ј®
ўлў®¤ , еа ­п «Ёим з бвм б«®ў , ­ е®¤пйгобп Їа ўҐҐ 㦥 Їа®зЁв ­-
­®© з бвЁ ўе®¤­®Ј® б«®ў . „агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, ¬л еа ­Ё¬ б«®ў® S Ё§
вҐа¬Ё­ «®ў Ё ­ҐвҐа¬Ё­ «®ў, ®Ў« ¤ о饥 в ЄЁ¬ бў®©бвў®¬ (Їа®зЁв ­-
­го з бвм ўе®¤  ®Ў®§­ з Ґ¬ зҐаҐ§ A):

| (1) б«®ў® AS ўлў®¤Ё¬® ў Ја ¬¬ вЁЄҐ;
(€) | (2) «оЎ®© «Ґўл© ўлў®¤ ўе®¤­®Ј® б«®ў  Їа®е®¤Ёв зҐаҐ§ бв ¤Ёо
| AS

‚­ з «Ґ A Їгбв®,   S б®бв®Ёв Ё§ Ґ¤Ё­б⢥­­®Ј® бЁ¬ў®«  - ­ -
з «м­®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ « .
…б«Ё ў ­ҐЄ®в®ал© ¬®¬Ґ­в S ­ зЁ­ Ґвбп ­  вҐа¬Ё­ « t Ё t =
Next, в® ¬®¦­® ўлЇ®«­Ёвм Є®¬ ­¤г Move Ё г¤ «Ёвм бЁ¬ў®« t, пў«п-
ойЁ©бп ­ з «м­л¬ ў S, Ї®бЄ®«мЄг ЇаЁ н⮬ AS ­Ґ ¬Ґ­пҐвбп.
…б«Ё S ­ зЁ­ Ґвбп ­  вҐа¬Ё­ « t Ё t ­Ґ а ў­® Next, в® ўе®¤-
­®Ґ б«®ў® ­Ґўлў®¤Ё¬® - ЁЎ® Ї® гб«®ўЁо «оЎ®© ҐЈ® ўлў®¤ ¤®«¦Ґ­
Їа®е®¤Ёвм зҐаҐ§ AS. (ќв® ¦Ґ бЇа ўҐ¤«Ёў® Ё ў б«гз Ґ Next = EOI.)
…б«Ё S Їгбв®, в® Ё§ гб«®ўЁп (€) б«Ґ¤гҐв, зв® ўе®¤­®Ґ б«®ў®
ўлў®¤Ё¬® в®Ј¤  Ё в®«мЄ® в®Ј¤ , Є®Ј¤  Next = EOI.
Ћбв Ґвбп б«гз ©, Є®Ј¤  S ­ зЁ­ Ґвбп б ­ҐЄ®в®а®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ -
«  K. Џ® ¤®Є § ­­®¬г ўлиҐ ўбҐ «ҐўлҐ ўлў®¤л Ё§ S б«®ў, ­ зЁ­ -
ойЁебп ­  бЁ¬ў®« Next, ­ зЁ­ овбп б ЇаЁ¬Ґ­Ґ­Ёп Є T ®¤­®Ј® Ё в®Ј®
¦Ґ Їа ўЁ«  - в®Ј®, ¤«п Є®в®а®Ј® Next ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ­ Їа ў«по饬г
¬­®¦Ґбвўг. …б«Ё в ЄЁе Їа ўЁ« ­Ґв, в® ўе®¤­®Ґ б«®ў® ­Ґўлў®¤Ё¬®.
…б«Ё в Є®Ґ Їа ўЁ«® Ґбвм, в® ­г¦­® ЇаЁ¬Ґ­Ёвм ҐЈ® Є ЇҐаў®¬г бЁ¬ў®-
«г б«®ў  S - ЇаЁ н⮬ бў®©бвў® (€) ­Ґ ­ агиЁвбп. ЏаЁе®¤Ё¬ Є в -
Є®¬г  «Ј®аЁв¬г:

S := Їгб⮥ б«®ў®;
error := false;
{error => ўе®¤­®Ґ б«®ў® ­Ґўлў®¤Ё¬®;}
{not error => (€)}
while (not error) and not ((Next=EOI) and (S Їгбв®)) do begin
| if (S ­ зЁ­ Ґвбп ­  вҐа¬Ё­ «, а ў­л© Next) then begin
| | Move; г¤ «Ёвм Ё§ S ЇҐаўл© бЁ¬ў®«;
| end else if (S ­ зЁ­ Ґвбп ­  вҐа¬Ё­ «, ­Ґ а ў­л© Next)
| | then begin
| | error := true;
| end else if (S Їгбв®) and (Next <> EOI) then begin
| | error := true;
| end else if (S ­ зЁ­ Ґвбп ­  ­ҐвҐа¬Ё­ « Ё Next ўе®¤Ёв ў
| | ­ Їа ў«по饥 ¬­®¦Ґбвў® ®¤­®Ј® Ё§ Їа ўЁ« ¤«п нв®Ј®
| | ­ҐвҐа¬Ё­ « ) then begin
| | ЇаЁ¬Ґ­Ёвм нв® Їа ўЁ«®
| end else if (S ­ зЁ­ Ґвбп ­  ­ҐвҐа¬Ё­ « Ё Next ­Ґ ўе®¤Ёв ў
| | ­ Їа ў«по饥 ¬­®¦Ґбвў® ­Ё ®¤­®Ј® Ё§ Їа ўЁ« ¤«п нв®Ј®
| | ­ҐвҐа¬Ё­ « ) then begin
| | error := true;
| end;
end;
{ўе®¤­®Ґ б«®ў® ўлў®¤Ё¬® <=> not error}

Ђ«Ј®аЁв¬ § Є ­зЁў Ґв а Ў®вг, Ї®бЄ®«мЄг ЇаЁ Ї®пў«Ґ­ЁЁ ­ҐвҐа¬Ё­ « 
ў ­ з «Ґ б«®ў  S Їа®Ёб室Ёв з⥭ЁҐ б® ўе®¤  Ё«Ё ®бв ­®ўЄ ,  
ЎҐбЄ®­Ґз­л© жЁЄ« ᬥ­пойЁе ¤агЈ ¤агЈ  вҐа¬Ё­ «®ў ў ­ з «Ґ S ®§-
­ з « Ўл, зв® Ја ¬¬ вЁЄ  «Ґў®аҐЄгабЁў­ .

‡ ¬Ґз ­Ёп. 1. ЏаЁўҐ¤Ґ­­л©  «Ј®аЁв¬ ЁбЇ®«м§гҐв S Є Є б⥪
(ўбҐ ¤Ґ©бвўЁп Їа®Ё§ў®¤пвбп б «Ґў®Ј® Є®­ж ).
2. „Ґ©бвўЁп ¤ўге Ї®б«Ґ¤­Ёе ў аЁ ­в®ў ў­гваЁ жЁЄ«  ­Ґ ЇаЁў®-
¤пв Є з⥭Ёо ®зҐаҐ¤­®Ј® бЁ¬ў®«  б® ўе®¤ , Ї®нв®¬г Ёе ¬®¦­® § а -
­ҐҐ ЇаҐ¤ўлзЁб«Ёвм ¤«п Є ¦¤®Ј® ­ҐвҐа¬Ё­ «  Ё Є ¦¤®Ј® бЁ¬ў®« 
Next. Џ®б«Ґ нв®Ј® ­  Є ¦¤®¬ и ЈҐ жЁЄ«  Ўг¤Ґв зЁв вмбп ®зҐаҐ¤­®©
бЁ¬ў®« ўе®¤ .
3. ЏаЁ Їа ЄвЁзҐбЄ®© ॠ«Ё§ жЁЁ 㤮Ў­® б®бв ўЁвм в Ў«Ёжг, ў
Є®в®а®© § ЇЁб ­л ў аЁ ­вл ¤Ґ©бвўЁ© ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в ўе®¤­®Ј®
бЁ¬ў®«  Ё ЇҐаў®Ј® бЁ¬ў®«  S, Ё ­ҐЎ®«миго Їа®Ја ¬¬г, ўлЇ®«­пойго
¤Ґ©бвўЁп ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б нв®© в Ў«ЁжҐ©.