выч методы не разобраны! / Расчётная работа №2 / Вариант 37 / вариант 37

Пермский Государственный Технический Университет

Электротехнический факультет

Кафедра Автоматики и Телемеханики

Расчётная работа №2

По курсу

Вычислительные методы

Вариант №37.

Работу выполнил студент

гр. АТ-01-2

Кузнецов В.

Проверил доцент кафедры АТ

Леготкина Т. С.

Пермь, 2003

Задание №1:

Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома.

X	0,210	0,215	0,220	0,225	0,230	0,235
Y	4,83170	4,72261	4,61855	4,51919	4,42422	4,33337

Вычислить .

Решение:

В данном случае имеем равноотстоящие узлы интерполяции с шагом .

Построим интерполяционный полином по первой формуле Ньютона, чтобы посчитать , так как это значение находится вначале таблицы.

Для этого необходимо посчитать конечные разности.

Таблица конечных разностей:

и т. д.

X	Y
0,210	4,83170	-0.109090	0,005030	-0,000330	0,00002	0,00002
0,215	4,72261	-0.104060
0,220	4,61855	-0.099360	0,004700	-0,000310
0,225	4,51919	-0.094970	0,004390		0,00004
0,230	4,42422	-0.090850	0,004120	-0,000270
0,235	4,33337

Первая интерполяционная формула Ньютона:

Так как конечные разности третьего порядка уже во много меньше самих значений функции, то их составляющими в первой интерполяционной формуле Ньютона можно пренебречь, т. е. принять .

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в начале таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Погрешность

Построим интерполяционный полином по второй формуле Ньютона, чтобы найти значение , находящееся в конце таблицы:

Найдём значение.

Погрешность:

Ответ: при ; при .

Задание №2:

Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции при данном значении аргумента. Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать 6 значений из таблицы Брадиса и составить таблицу разностей.

Решение:

Таблица разностей:

X,˚	X, рад	Y
	0.4189	0.4067	0.0159	-0,0001
	0.4363	0.4226	0.0158
	0.4538	0.4384	0.0156	-0,0002
	0.4712	0.4540	0.0155	-0,0001
	0.4887	0.4695	0.0153	-0,0002
	0.5061	0.4848

Очевидно во много раз меньше чем значение функции, значения можно считать равными нулю.

Воспользуемся второй формулой Ньютона.

Шаг

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в конце таблицы, поэтому с её помощью можно найти значение.

Значит

Ответ: .

Задание №3:

Вычислить интеграл по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Оценить погрешность результата для .

Решение:

Формула трапеций:

1)

Пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,4	1,8	2,2	2,6	3
	0.286411	0.827083	1.657326	2.805220	4.294091

2)

Пределы интегрирования . Шаг Функция

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3
	0.286411	0.522547	0.827083	1.204120	1.657326	2.190017	2.805220	3.505719	4.294091

Таким образом

Погрешность можно оценить по методу двойного пересчёта: у нас один и тот же интеграл посчитан два раза с шагом h и 2h:

при

при

Ответ: при , при , .

Формула Симпсона:

1)

Пределы интегрирования .

	0	1	2	3	4
	1,4	1,8	2,2	2,6	3
	0.286411	0.827083	1.657326	2.805220	4.294091

2): пределы интегрирования.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,4	1,6	1,8	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3
	0.286411	0.522547	0.827083	1.204120	1.657326	2.190017	2.805220	3.505719	4.294091

По формуле Симпсона

Оценим погрешность по методу двойного пересчёта: у нас один и тот же интеграл посчитан два раза с шагом h и 2h:

при

при

Ответ: при , при , .

Задание №4:

Используя метод Милна, составить таблицу приближённых значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке (0,1), шаг . Начальный отрезок определить либо уточнённым, либо модифицированным методом Эйлера.

Решение:

Для определения начального отрезка воспользуемся уточнённым методом Эйлера:

, где

, где

Определим :

Определим :

Определим :

Таблица решений по уточнённому методу Эйлера для начального отрезка:

	0	1	2	3
	0	0.1	0.2	0.3
	0,7	0.705434	0.712953	0.724601

Далее для каждой точки, начиная с четвёртой, найдём прогнозируемое значение по первой формуле Милна:

, где

Таким образом

и т. д. Получим таблицу прогнозируемых значений:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.741828	0.767997	0.804679	0.854012	0.917705	0.999331	1.100863

Далее необходимо посчитать прогнозируемые значения , где .

Таблица прогнозируемых значений :

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.741828	0.767997	0.804679	0.854012	0.917705	0.999331	1.100863
	0.215031	0.308982	0.424751	0.562934	0.724218	0.909866	1.121190

Далее прогнозируемые значения подставим во вторую формулу Милна (формула коррекции):

, где .

Таблица скорректированных решений по второй формуле Милна:

	4	5	6	7	8	9	10
	0,4	0,5	0,6	0,7	0.8	0.9	1
	0.742149	0.768328	0.804681	0.854027	0.918038	0.999691	1.100879

Ответ: Таким образом, таблица приближённых значений интеграла исходного дифференциального уравнения имеет вид:

0	0	0,7
1	0,1	0.705434
2	0,2	0.712953
3	0,3	0.724601
4	0,4	0.742149
5	0,5	0.768328
6	0,6	0.804681
7	0,7	0.854027
8	0,8	0.918038
9	0,9	0.999691
10	1	1.100879