4.2 Средние показатели.

В основном используются среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее квадратическое.

Все перечисленные виды средних, кроме квадратических, можно в общем случае записать в следующей форме:

где - вариант признака, а- вес данного варианта.

1) Средняя арифметическая (простая)

Эта формула используется в случаях, когда расчет происходит по не сгруппированным данным. Например: средний стаж работников в каком-либо предприятии.

2) Средняя арифметическая (взвешенная)

При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторятся по нескольку раз. В этом случае расчет средних производится по сгруппированным данным. Пример:продажа акций.

Сделка	Количество проданных акций	Курс продажи акций
1	500	1080
2	300	1050
3	1100	1145

Надо найти средний курс продаж (по таблице). Ищем по формуле средней арифметической взвешенной:

На практике часто допускаются ошибки при расчете средних величин, которые заключаются в игнорировании весов. Пример:

Заработная плата работников предприятия

Цех	Средняя з/п в руб.
1	4300
2	4100

Допустим, хотим посчитать среднюю з/п на всем предприятии.

=> эта формула неверна, т.к. не учитывает количество рабочих.

Использовать среднее арифметическое простое можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

Рассмотрим расчет среднего арифметического по интервальному вариационному ряду.

Распределение работников предприятия по возрасту.

Возраст	Число работников
до 25	7
25 – 30	13
30 – 40	38
40 – 50	42
50 – 60	16
60 и более	5
Итого:	121

Для определения среднего возраста найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к величинам примыкающих к ним интервалов. Т.о. получаем:

22,5 27,5 35 45 55 65

Далее применяем формулу для средней арифметической взвешенной:

Другие виды средних.

Часто используется средняя гармоническая взвешенная.

Пример:валовой сбор и урожайность зерновых культур по областям. Нужно определить среднюю урожайность – это общий валовой сбор зерна на общую посевную площадь.

где - урожайность,- валовой сбор.

§5. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

Все показатели вариации можно разделить на три группы:

1) Показатели центра распределения: средняя арифметическая, мода, медиана.

2) Показатели степени вариации: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

3) Показатели типа распределения: структурные характеристики, показатели ассиметрии, кривые распределения.

Модой распределения() называется такая величина изучаемого признака, который в данной совокупности встречается наиболее часто. Рассмотрим определение моды по не сгруппированным признакам.

Пример: рабочие бригады из 11 человек имеют следующие тарифные разряды:

5, 4, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 6, 3, 5. =>

Модальный интервал, т.е. интервал содержащий моду, в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте, с неравными интервалами – по наибольшей плотности. А мода определяется по формуле:

где - нижняя граница модального интервала; i – величина модального интервала;- частота модального интервала;- частота интервала предшествующего модальному;- частота интервала следующего за модальным.

В качестве характеристик вариационного ряда используется медиана().

Медиана – это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от других величин:

Если в вариационном ряду 2m+1 случаев, то =

Если в вариационном ряду 2m случаев, то

практически играет роль средней величины для неоднородной совокупности не подчиняющейся нормальному закону.

Пример:пусть нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей из 100 человек, 99 из которых имеют доход от 100 до 200$ в месяц, а 1 - 50000$ в месяц.

№	1	2	…	99	100
Доход	100	104	…	200	50000

=>объективно.

=>это неправильно.