- •Глава 5. Движение нмс с одной неподвижной точкой - сферическое движение нмс
- •5.1. Определение, углы Эйлера, уравнения
- •Движения нмс
- •5.2. Теорема Эйлера-Даламбера
- •5.3. Мгновенная ось вращения, угловая скорость нмс
- •5.4. Выражение угловой скорости нмс через углы Эйлера — кинематические уравнения Эйлера
- •5.5. Угловое ускорение нмс
- •5.6. Скорость точки нмс
- •5.7. Ускорение точки нмс
5.6. Скорость точки нмс
Так как в каждый момент времени движение НМС с одной неподвижной точкой представляет собой мгновенное вращательное движение относительно мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку, то, используя векторную формулу Эйлера (3.13), для каждого момента времени можно записать:
. (5.7)
Модуль скорости определяется соотношением:
, (5.8)
где rВsin – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения.
Направление скорости определяется правилом векторного произведения:
(следовательно, скоростьперпендикулярна также отрезку);
скорость направлена так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отбыл виден против хода часовой стрелки (рис. 60).
Скорость можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.
Рис. 60
Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим:
, (5.9)
где — координаты точкиB в неподвижной системе координат, а — единичные орты неподвижной системы координат.
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на неподвижные оси О, О, О:
(5.10)
Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим также:
, (5.11)
где x, y, z – координаты точки B в подвижной системе координат, а – единичные орты подвижной системы координат.
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на подвижные оси Ох, Оу, Оz:
(5.12)
где х, у, z – величины постоянные, так как положение точки относительно осей Охуz, неизменно связанных с движущейся НМС, с течением времени не изменяется.
Формулы (5.10) и (5.12) называются формулами Эйлера.
5.7. Ускорение точки нмс
Ускорение точки В, принадлежащей НМС, имеющую одну неподвижную точку, можно найти, взяв производную по времени от выражения (5.7):
или
. (5.13)
Первое слагаемое ускорения точки:
(5.14)
называется вращательным ускорением точки.
Величина вращательного ускорения точки определяется формулой:
, (5.15)
где = rВ sin (рис. 61).
Направление вращательного ускорения точки определяется правилом векторного произведения:
(следовательно, ускорениеперпендикулярно также отрезку);
ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отбыл виден против хода часовой стрелки (рис. 61).
Рис. 61
В отличие от случая вращения НМС вокруг неподвижной оси угловое ускорение при сферическом движении НМС не лежит на той же прямой, что и угловая скорость, а направлено по касательной к годографу угловой скорости. Поэтому вращательное ускорениеперпендикулярно не к радиусу мгновенного вращения, представляющему собой кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения, а к отрезку , представляющему собой кратчайшее расстояние от точки В до прямой, вдоль которой от точки О отложено угловое ускорение (рис. 61).
Второе слагаемое ускорения точки:
(5.16)
называется осестремительным ускорением точки.
Величина осестремительного ускорения точки с учетом (5.8) определяется формулой:
. (5.17)
Направление осестремительного ускорения МТ определяется правилом векторного произведения:
;
ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отк был виден против хода часовой стрелки (рис. 61).
Так как три взаимно перпендикулярных направления (рис. 60), то осестремительное ускорениенаправлено по к мгновенной оси вращения (рис. 61).
Таким образом,
, (5.18)
а модуль ускорения , как диагональ параллелограмма, построенного на ускоренияхи, может быть определен по формуле:
. (5.19)
Подставив соотношения (5.15) и (5.16) в формулу (5.19), получим:
.
Ускорение любой точки НМС с одной неподвижной точкой можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные оси декартовой системы координат.