Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах
Рассматривается свободная материальная точка, движущаяся под действием сил 12F1,F2…Fn ´>по отношению к инерциальной системе отсчета (рис.2). При проецировании обеих частей равенства на оси 12x, y, z´> получаются дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат:
Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точких, у, z и проекции ее скорости на оси декартовой системы координат При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные, то есть t, х, у, z, 12 x, y, z´> одновременно.
Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при
При известных значениях действующих сил, после интегрирования уравнений находятся координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. находится закон движения точки [1,2 и др.].
Наше исследование заключалось в том, чтобы рассмотреть по каким законам материальная точка меняет своё положение в криволинейных системах координат, которые редко затрагиваются в стандартных учебных пособиях по теоретической механике. Также мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных координатах, обратившись к теории дифференциальной геометрии кривых.