Дифференциальные уравнения в проекциях на оси естественного трёхгранника
В середине девятнадцатого века французский математик Ж. Френе написал знаменитые уравнения, помогающие описать движение ориентируемой точки вдоль произвольной кривой 12r(s)´>, где s - это длина дуги. Под ориентируемой точкой понимается трехгранник Френе (репер), образованный тремя единичными ортогональными векторами.
Под репером Френе понимают тройку векторов сопоставленную каждой точке произвольной кривой где
-
единичный вектор касательной,
-
единичный вектор главной нормали,
-
единичный вектор бинормали
к кривой в данной точке (рис. 3).
Если s - натуральный параметр вдоль кривой, то векторы связаны соотношениями:
называемыми формулами Френе. Величины:
называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке. Френе впервые показал, что произвольная кривая в общем случае определяется двумя параметрами: кривизной и кручением. Уравнения вида всюду положительна называются натуральными уравнениями произвольной кривой и полностью её определяют.
Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника. Трёхгранник Френе играет важную роль при описании движения точки в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору 12v=vП„´>. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения:
Компоненту при векторе 12П„´> называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе называют нормальным ускорением. Она характеризует изменение скорости по направлению [3].
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трёхгранника. Составим основное уравнение динамики и спроецируем его на естественные оси:
Так как , то получим дифференциальные уравнения движения:
Также мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной точки в криволинейных системах координат, сначала обратимся к полярной системе координат.