Экзамен / Ekzamenatsionnye_voprosy_po_matematike_za_2_seme

ВПО

Экзаменационные вопросы по математике

2 семестр.

Дифференциальное исчисление.

1. Геометрический смысл производной (вывод).

2. Дифференцируемость функции одной переменной. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

4. Вычисление производных тригонометрических функций. Вывод производных для функций y = sin x и y = tg x.

5. Дифференцирование обратной функции. Вывод производных обратных тригонометрических функций: y = arcsin x и y = arctg x.

6. Дифференцирование сложной функции одной переменной. Вывод производных для функций y = ln x и y = log_a x.

7. Вывод производных для функций y = e^x , y = a^x и y = xⁿ.

8. Дифференцирование неявно заданной функции одной переменной.

9. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование степенно-показательной функции y = u^v.

10. Дифференциал функции.

11. Геометрический смысл дифференциала функции (вывод).

12. Свойства дифференциалов. Теорема о дифференциале суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифференциал сложной функции.

13. Производные высших порядков.

14. Дифференциалы высших порядков.

15. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Исследование функций при помощи производных.

16. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида {0/0}.

17. Определение возрастающей и убывающей функций. Необходимые условия возрастания и убывания функций.

18. Определение возрастающей и убывающей функций. Достаточные условия возрастания и убывания функций.

19. Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума.

20. Определение критических точек I рода. Достаточное условие экстремума.

21. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.

22. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Неопределенный интеграл.

23. Определение первообразной функции. Теорема о множестве первообразных. Определение неопределенного интеграла, его геометрический смысл.

24. Свойства неопределенного интеграла: дифференциал и производная от неопределенного интеграла, неопределенный интеграл от дифференциала функции.

25. Свойства неопределенного интеграла: неопределенный интеграл от произведения функции на постоянный множитель и от суммы функций.

26. Метод интегрирования заменой переменной (метод подстановки).

27. Метод интегрирования по частям.

28. Определения многочлена и корня многочлена. Теоремы о тождественно равных многочленах и о разложении многочлена на множители. Определение дробно-рациональной функции.

29. Интегрирование простейших рациональных дробей I и II типа.

30. Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа.

31. Разложение рациональных дробей на простейшие.

32. Метод неопределенных коэффициентов и общее правило интегрирования рациональных дробей.

33. Интегрирование тригонометрических функций: произведения степеней синуса и косинуса. Использование тригонометрических преобразований.

34. Универсальная тригонометрическая подстановка.

35. Интегрирование иррациональных функций: квадратичные иррациональности, линейная подстановка, тригонометрические подстановки.

Определенный интеграл.

36. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

37. Теорема Коши существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, вытекающие из его определения.

38. Геометрический смысл определенного интеграла.

39. Свойства определенного интеграла: постоянный множитель, интеграл от суммы функций, перестановка пределов интегрирования, аддитивность, «теорема о среднем».

40. Свойства определенного интеграла: знак интеграла, интегрирование неравенств, оценка интеграла, оценка модуля интеграла, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом.

41. Вычисление определенного интеграла: формула Ньютона-Лейбница, интегрирование подстановкой (заменой переменной).

42. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям, интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

43. Несобственный интеграл I рода (с бесконечным промежутком интегрирования).

44. Несобственный интеграл II рода (от разрывной функции).

45. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

46. Вычисление длины дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.

47. Вычисление объема тела: по известным площадям параллельных сечений, объем тела вращения.

48. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников.

49. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула трапеций.

50. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула парабол (Симпсона).

Функции двух переменных.

51.Функции двух переменных. Основные определения. Геометрический смысл.

52.Предел функции двух переменных.

53.Частные производные I порядка функции двух переменных.

55.Частные производные высших порядков

. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

56.Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости функции. Достаточное условие дифференцируемости функции.

57.Производная сложной функции двух переменных (все случаи).

58.Дифференцирование неявной функции двух переменных и одной переменной.

59.Применения дифференциала к приближенным вычислениям функции одной и двух переменных (без примеров).

60.Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.