Скачиваний:
92
Добавлен:
14.12.2015
Размер:
621.57 Кб
Скачать

Лекция 2. Принцип наименьшего времени Ферма в геометрической оптике

2.1. Принцип Ферма

Оптической длиной линии или оптической длиной пути в

неоднородной среде называют произведение элементов длины этой линии dl на показатель преломления среды в данной точке и просуммированное вдоль рассматриваемой линии

(ОGA) ndl

2.1

ОGA

 

где dl – вектор элементарного смещения вдоль этого контура.

G

Рис. 2.1. Лучи и поверхности постоянной фазы для излучения точечного источника

Оптические длины всех лучей между двумя положениями волнового фронта равны между собой (рис.2.1).

Пьер Ферма (1601–1665) выдвинул принцип, согласно которому

свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался теологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Верность принципа была продемонстрирована уже самим Ферма, который с его помощью получил закон преломления Снеллиуса (1.2.3) и выражение для показателя преломления, следующее из волновой теории света. Он показал, что свет в более преломляющей среде имеет меньшую скорость, чем в менее преломляющей.

Допустим, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что выполнены условия применимости геометрической оптики. Пусть в среде распространяется волна вида

E = a(r) exp(i t k0Ф).

Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.2.

Если фаза волны (эйконал) однозначная функция координат, то из уравнения gradФ = nN следует, что циркуляция вектора nN по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

n N, d l 0

2.2

 

где dl – вектор элементарного смещения вдоль этого контура, N – единичный вектор нормали к фронту волны.

Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией АDВ. В силу условия

n N, d l 0

Рис. 2.2. Система световых лучей от точечного источника N. (К доказательству принципа Ферма)

имеем n N, d l n N, d l

ACB ADB

Но на луче АСВ векторы N и dl параллельны, следовательно, (N, dl) = dl, на линии АDВ (N, dl) = dl cos , (N, dl) dl. Поэтому

ndl ndl

2.3

 

ACB ADB

 

Знак равенства относится к случаю, когда кривая АDВ сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в

пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, т.к. n = c/v и оптическая длина пропорциональна времени распространения света вдоль него:

ACB c dl c ACB

ACB v

Основным понятием геометрической оптики является световой луч.

Световой луч это геометрическая линия, вдоль

которой распространяется электромагнитное излучение (энергия световых колебаний).

2.2. Применения принципа Ферма

Рассмотрим еще ряд следствий из принципа наименьшего времени. Первое из них – принцип обратимости. Если мы нашли путь из А в В, требующий наименьшего времени, то и путь из В в А также будет оптимальным, поскольку скорость света нe зависит от направления. Наименьшему времени в обратном направлении отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому

пути и в обратном направлении. Другой пример состоит в

том, что когда мы смотрим на заходящее солнце, !то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над горизонтом, а оно фактически уже зашло (рис.2.3).

Рис. 2.3. У горизонта Солнце кажется на 1 2 градуса выше, чем на самом деле

Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медленнее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.

Еще пример того же рода – мираж, который часто наблюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят впереди оазис, а когда подходят туда, то кругом оказывается песок.

Рис. 2.4. Мираж

Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это прошедший над песком свет. На рис. 2.4 показано, как падающий на дорогу луч света попадает нам в глаз. Воздух сильно раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным и скорость света в нем больше, чем в холодном. Свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.

И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (рис. 2.5).

Рис.2.5. Оптический «черный ящик»

Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Для этого следует сделать время прохождения света по всем траекториям одинаковым. Задача построения фокусирующей системы сводится к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях одинаковое время.

Для этого возьмем стекло, в котором свет движется медленнее, чем в воздухе (рис. 2.6). Рассмотрим луч света, проходящего в воздухе по линии AMS. Этот путь длиннее, чем прямо из A в S, и занимает больше времени. Но если взять стекло нужной толщины, то путь в нем скомпенсирует добавочное время, затрачиваемое при отклонении луча на траектории AMS.

Рис. 2.6. Фокусирующая оптическая система

Можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути AMS. Точно так же, если взять частично отклоненный луч более короткий, чем AMS, то придется скомпенсировать уже не так много времени, как для прямолинейной траектории, но некоторую долю времени все же скомпенсировать придется. В результате мы приходим к форме поверхности стекла, изображенной на рис. 2.6.

При такой форме весь свет из точки A попадет в S. Такое устройство называется собирательной линзой.

Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке телескопов используется следующая идея. Рассмотрим удаленную звезду. Мы хотим собрать дошедший от нее свет в фокус. Пусть множество различных лучей достигло плоскости КК', перпендикулярной направлению лучей. Далее лучи отразятся от зеркала и за равные промежутки времени попадут