1 курс / Математический анализ / Матанализ (теория)

Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов 1-го курса « Экономика»-бакалавр.

1. Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества.

2. Понятие отображения (функции), его области определения и области значения. Основные элементарные функции. Обратное отображение.

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Бесконечно малые величины.

4. Свойства бесконечно малых величин. Связь бесконечно малых величин с пределами функций. Бесконечно большие величины.

5. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Основные теоремы о пределах. Предельный переход в неравенствах.

6. Односторонние пределы.

7. Первый и второй замечательные пределы.

8. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность справа и слева.

9. Точки разрыва, их классификация. Графические иллюстрации.

10. Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной.

11. Понятие дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Уравнение касательной.

12. Понятие дифференциала. Свойства дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства.

13. Возрастание и убывание функции. Достаточное условие строго возрастания (убывания) функции на интервале. Экстремум функции.

14. Первое достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Второе достаточное условие экстремума.

15. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменой. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты.

16. Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных.

17. Частные приращения и частные производные. Частные производные второго и высших порядков.

18. Полное приращение и полный дифференциал. Градиент функции нескольких переменных. Дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению.

19. Дифференцируемость сложных функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

20. Экстремум функций нескольких переменных ( абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума.

21. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

22. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы.

23. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование; замена переменно в неопределенном интеграле и интегрирование по частям; интегрирование рациональной дроби.

24. Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

25. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

26. Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда.

27. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

28. Признаки Даламбера и Коши сходимости числового ряда.

29. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.