1 семестр / Физика - 2 / лабораторные работы / lab66

Лабораторная работа №66.

«ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ».

Цель работы: изучение особенностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух электрических колебательных контуров с емкостной связью между контурами.

Приборы и принадлежности: генератор прямоугольных импульсов Г515, осциллограф, два конденсатора емкостью по 24 пФ, две катушки индуктивности по 25 мГн, набор конденсаторов емкости связи от 250 пФ до 2 нФ, резистор 130 Ом.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

Колебательные системы, связанные друг с другом различными способами, находят широкое применение в радиотехнических системах. Кроме того, многие физические процессы в природе могут быть представлены и описаны в виде различных колебательных систем. При этом основные свойства колебательных систем не зависит от их конкретной физической природы; поведение, например электрических и механических колебательных систем с одинаковым числом степеней свободы одним и тем же уравнением или системой уравнений.

Число степеней свободы определяется количеством независимых величин, с помощью которых однозначно определяется состояние системы.

Например, CL -контур является колебательной системой с одной степенью свободы, заряд конденсатора однозначно определяет напряжение на конденсаторе, ток в катушке. Пример механической колебательной системы с одной степенью свободы – математический маятник (см. лаб. раб. №72). Для материальной точки в пространстве число степеней свободы равно трем; для твердого тела – шести.

Связанными колебаниями называются колебания систем состоящих из взаимодействующих одинаковых колебательных систем. Связанные колебания имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной системе влияют через связь на колебания в другой колебательной системе.

Примером системы с двумя степенями свободы является схема из

двух электрических CL контуров с

емкостной связью C12 между ними

(рис.1.) Величина C12 определяет

степень взаимной связи контуров. Рассмотрим влияние емкости

связи на характеристики

результирующего колебания. Полагаем для простоты контуры одинаковыми. Если емкость связи C12 замкнута, контуры CL взаимно независимы и

Если емкость связи отключена, то схема рис. 1 представляет собой единичный колебательный контур с индуктивностью 2L и емкостью C 2 , резонансная

частота которого равна ω0 .

Введение элемента связи меняет характер электрических связей в каждом из контуров. Однако, можно показать, что сложное колебание, происходящее в системе может быть представлено как суперпозиция двух независимых гармонических колебаний, которые получили название нормальных или собственных колебаний системы. Частоты этих колебаний называются нормальными и могут быть не равны резонансным частотам контуров, входящих в систему.

Выведем уравнения, описывающие систему связанных электрических контуров (рис. 1). В силу закона сохранения электрического заряда

q3 = q1 −q2 применение закона Кирхгофа к контурам и , направление обхода которых показано на рис. 1, приводит к системе уравнений:

di

U1 +U3 = −L dt1 (3) di

−U3 +U2 = −L dt2

где U1 , U 2 , U3 - напряжения на емкостях с зарядами q1 , q2 , q3

соответственно.

Для уменьшения числа неизвестных в системе уравнений (3) используем соотношения: UC = qC , i = dqdt . Система уравнений (3) принимает вид:

Систему связанных уравнений (4) относительно функций времени можно преобразовать в два независимых уравнения, это позволяет упростить решение

Таким образом, колебания зарядов в каждом из контуров может быть представлено в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω1 и

ω2 , которые называются нормальными. Значения переменных величин в произвольный момент времени t определяются начальными условиями (t = 0). Выпишем начальные значения зарядов и токов, используя (8) и

определение силы тока i = dqdt : q10 = A cosϕ1 + B cosϕ2

Рассмотрим различные способы возбуждения колебаний в системе. Синфазные колебания. Пусть в начальный момент времени заряды на

емкостях равны, а знаки соответствуют рис. 1, то есть

B = 0, q10 = q20 A cosϕ1 .

Этот случай соответствует синфазным колебаниям: в обоих контурах происходят колебания с нормальной

частотой ω1 , совпадающей с собственной частотой каждого из контуров ω0 . В этом случае в произвольный момент времени заряд на емкости q3 (t ) = 0 и ток через

элемент связи не протекает. Колебания происходят так, как если бы отсутствовал участок цепи, содержащий емкость

связи C12 (рис. 2.).

Антифазные колебания. Пусть в начальный момент времени заряды на

емкостях C одинаковы, причем верхние пластины заряжены положительно, то есть

A = 0, q10 = −q20 = B cosϕ2 . В этом случае токи i12 = −i20 равны по величине и

противоположны по направлению (рис. 3).

Биения. Пусть в начальный момент времени заряжена только одна из емкостей C , то есть q10 ≠ 0, q20 = 0 . Учитывая (9), а также для упрощения

полагая начальные фазы ϕ1 =ϕ2 = 0 , получим: q20 = A cosϕ1 −B cosϕ2 = A −B = 0 ,

то есть A = B . Тогда в любой момент времени:

q1 = q10 (cosω1t +cosω2t) = q210 (cosω1t +cosω2t) q2 = q20 (cosω1t −cosω2t ) = q210 (cosω1t −cosω2t)

Используя формулу суммы косинусов, получим решение в виде:

энергия постепенно передается во второй колебательный контур до тех пор, пока вся энергия не будет сосредоточена во втором колебательном контуре. Затем начинается обратный переход энергии в первый контур. Время перехода

энергии из первого контура во второй и обратно можно получить из уравнения

(10):

(ω2 −ω1 )tобм =π

2

Отсюда частота, с которой колебательные контуры обмениваются энергией, равна:

ωобм = t2π =ω2 −ω1 .

обм

Таким образом, при заряде одной из емкостей в каждом из колебательных контуров осуществляется сложное колебание, характеризуемое периодическими изменениями амплитуды, биения. Биения наблюдаются также при сложении однонаправленных колебаний с близкими частотами (см. лабораторную работу №76).

С

При слабой связи между контурами С12 1 частота обмена энергией

Период биений: Tб ≈ 2π C12 = C12 T0 ,

ω0 C C

Где T0 - период собственных колебаний в LC контуре.

Аналогичные результаты могут быть получены для токов i1, i2 дифференцируя формулы (8), (10) по времени i = dqdt ; для напряжений на емкостях UC = qC . Связанные колебания удобно изучать, исследуя токи

i1, i2 , напряжения на активных сопротивлениях, специально вводимых в

схему. Наличие активных сопротивлений в схеме приводит к затуханию энергии и проявляется в уменьшении амплитуды огибающей (см. рис. 4).

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Экспериментальная схема установки показана на рис 5.

Колебания в системе связанных контуров возбуждаются при помощи генератора прямоугольных импульсов Г5-15. Частота следования импульсов 50 – 100 Гц,

длительность импульсов Tсл выбирается из условия τu Tсл , где τu -

длительность импульсов. В промежутках между импульсами, подаваемыми в схему, в системе связанных контуров происходят свободные затухающие колебания. Скорость затухания определяется величиной активных потерь в

элементах схемы и сопротивлении R , введенном в схему для наблюдения колебаний тока на экране осциллографа. Напряжение, снимаемое с

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

Перед выполнением работы необходимо ознакомиться с инструкциями по эксплуатации генератора прямоугольных сигналов и осциллографа. Проверить заземление приборов.

1.Подключить генератор и осциллограф к лабораторному макету.

2. Включить генератор и осциллограф, дать приборам прогреться 3– 4 минуты. 3. Установить: а) на генераторе частоту следования сигналов 3 – 4 КГц, б)

на генераторе мощность, такую, чтобы картинка занимала примерно 23 экрана осциллографа, в) длительность развертки осциллографа 5 – 20 мкс.

4.Подключить осциллограф к выходу генератора и пронаблюдать форму импульсов, подаваемых на схему; измерить их длительность.

5.Подключить осциллограф к сопротивлению R ; регулируя длительность развертки осциллографа и уровень синхронизации, получить на экране осциллографа устойчивую картину биений (2 – 3 периода).

6.С помощью переключателя длительности развертки осциллографа провести измерения периода колебаний и периода биений.

7. Проделать аналогичные измерения для 5 значений емкости связи C1 −C5 . 8. Рассчитать периоды биений и колебаний для C1 −C5 по формулам:

9. По результатам расчета построить графики зависимости периодов биений Tб (C12 ) и периода колебаний T (C12 ) от емкости связи. Отметить на

этих графиках экспериментально полученные результаты в виде точек.

10. Отключить емкость связи, получить на экране устойчивую картину затухающих колебаний, измерить период этих колебаний. Рассчитать

11. Записать выводы о результатах теоретического и экспериментального исследования.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Какие колебания называются связанными? Приведите примеры связанных колебательных систем.

2.Что называется числом степеней свободы? Приведите примеры систем с различным числом степеней свободы.

3.Какие колебания называются нормальными?

4.Выведите уравнения синфазных колебаний. Чему равна частота этих колебаний?

5.Выведите уравнение антифазных колебаний. Чему равна частота этих колебаний?

6.Что такое биения? При каких условиях возникают биения? Получите уравнение биений.

7.Выведите зависимость периода биений и периода связанных колебаний от величины емкости связи.

8.Опишите схему установки. Каким образом в этой схеме можно получить синфазные, Антифазные колебания, биения?

9. Какое влияние на колебания в связанной системе оказывает сопротивление R и активные сопротивления элементов схемы?