1 семестр / Физика - 2 / лабораторные работы / lab12

Лабораторная работа №12.

«ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ».

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном

а коэффициент пропорциональности L - индуктивность катушки.

Для вывода дифференциального уравнения возникающих в таком

Напряжение UC на конденсаторе, как следует из определения электроемкости C , прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора:

Учитывая (4), ЭДС самоиндукции можно представить как вторую производную от заряда по времени

Подставляя (1), (2), (5), (6), (7) в уравнение (3), получим:

Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение

Это уравнение называется дифференциальным уравнением

вынужденных колебаний.

Уравнение (11) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы). Общее решение уравнения (11) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения

и любого частного решения q2 неоднородного уравнения (11). Характер общего решения однородного уравнения (12) зависит от величины коэффициента затухания β . Нас будет интересовать случай слабого затухания:

β <<ω0 . При этом общее решение уравнения (8) имеет вид (см. лабораторную работу №20):

гдеβ и α - постоянные, задаваемые начальными условиями.

Входящая в (13) величина ω1 = ω02 −β2 является циклической частотой

затухающих колебаний контура: Be−βt определяет амплитуду затухающих колебаний, а (ω1t +α) - их фазу. Решение (13) описывает затухающие

колебания в контуре.

Частное решение уравнения (11) естественно следует искать в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте ω внешнего периодического воздействия, и отстающего по фазе на ψ от него.

Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения. Тогда (15) перепишется в виде

Представим складываемые колебания в левой части тождества (16) в виде

векторной диаграммы (рис. 2). Если третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости C , имеющее фазу (ωt −ψ ) и амплитуду Aω02 ,

изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо. Тогда первое

слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивностиL , изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально

влево (его амплитуда Aω2 ). Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении R , – вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда 2Aβω ), т.

π

к. его фаза на 2 отстает от первого слагаемого.

Так как сумма трех колебаний слева дает гармоническое колебание εL0 cosωt , то векторная сумма на диаграмме – (диагональ

Формула (20) показывает, что при воздействии на контур периодической ЭДС в нем возникают колебания двух частот: незатухающие колебания с частотой ω внешней ЭДС и затухающие колебания с частотой

становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (19). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой ω ,

равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой A = A(ω), зависящей от

этой частоты по закону (17). При этом по фазе вынужденное колебание отстает на ψ от вынуждающего воздействия.

Продифференцировав выражение (19) по времени, найдем силу тока в контуре

Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном R , от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС ωи собственной частотой контура ω0 . Если ω <ω0 , то сдвиг по фазе

между током и внешней ЭДС ϕ < 0 . Ток в цепи опережает ЭДС на угол ϕ . Если ω >ω0 , тогда ϕ > 0 . Ток в цепи отстает от ЭДС на угол ϕ .

Если ω =ω0 (резонансная частота), то ϕ = 0 , т. е. ток и ЭДС колеблятся синфазно.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды при совпадении частоты внешней вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.

Амплитуду тока можно преобразовать к виду:

Из этой формулы следует, что амплитуда тока в контуре зависит от частоты внешней ЭДС. График I0 = f (ω) представлен на рисунке 3.

С возрастанием ω амплитуда тока возрастает, затем достигает максимума, а при дальнейшем увеличении ω асимптотически спадает до нуля. Очевидно, что максимального значения ток достигает при

Разделив выражение (19) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

- амплитудное значение напряжения на индуктивности.

Таким образом напряжения на индуктивности и на конденсаторе зависят от частоты внешней ЭДС.

Из (20), (24), (25) и (27) видно, что сдвиг фаз между током и внешней ЭДС при резонансе:

•на активном сопротивлении равен нулю;

этом U L = −UC , то есть напряжение на емкости и индуктивности равны по

величине и противоположны по фазе. Напряжение на реактивных сопротивлениях точно компенсируют друг друга и, следовательно, ЭДС равна напряжению на активном сопротивлении.

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q , которая определяется как величина, обратная логарифмическому декременту затухания:

Тогда амплитуды напряжений на индуктивности и емкости можно выразить через собственную добротность:

Из (31), (32) видно, что при ω =ω0 , амплитуда на конденсаторе и индуктивности в Q раз больше амплитуды вынуждающей ЭДС. Это свойство последовательного RLC контура используется для выделения радиосигнала

Реальные RLC контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в RLC контуре. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины

где ∆f - ширина полосы частот, в которых амплитуда тока составляет 0,7 от максимального значения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ.

Задание:

1. Собрать схему установки согласно рисунку.