Программа экзамена по математическому анализу / programma_ekzamena_2013

Программа экзамена по математическому анализу

для студентов 2 курса направления ПМиИ 1 семестр 2013-2014 уч. года

1. Частная производная функции нескольких переменных.

2. Связь частных производных с непрерывностью функции в точке.

3. Дифференцируемая в точке функция.

4. Теорема (о связи дифференцируемости функции с частными производными).

5. Следствие 1, 2 .

6. Геометрический смысл дифференцируемости функции.

7. Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции)

8. Дифференциал функции, дифференциал независимой переменной.

9. Теорема (о дифференцируемости сложной функции).

10. Однородные функции. Теорема (Эйлера об однородных функциях)

11. Инвариантность формы первого дифференциала.

12. Производная по направлению, градиент; связь между ними. Свойства градиента

13. Частные производные высших порядков, свойства.

14. Функция, n раз дифференцируемая в точке.

15. Теорема (о дважды дифференцируемой функции и порядке дифференцирования)

16. Теорема (о непрерывных вторых смешанных частных производных)

17. Теорема (о n раз дифференцируемой функции и порядке дифференцирования)

18. Дифференциалы высших порядков, свойства

19. Теорема (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

20. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Стационарные точки.

21. Теорема (необходимое условие экстремума).

22. Квадратичные формы, знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра

23. Теорема (достаточные условия экстремума функции в точке). Примеры.

24. Теорема (д. у. экстремума, случай функции двух переменных).

25. Неявно заданная функция. Теорема (о неявной функции).

26. Частные производные функции, заданной неявно.

27. Теорема (о неявной функции, заданной системой функциональных уравнений).

28. Условный экстремум функции нескольких переменных, нахождение у. э. ф. н. п.

29. Функция Лагранжа, метод неопределенных множителей Лагранжа.

30. Достаточные условия у. э. ф. н. п.

31. Числовые ряды, сходящийся числовой ряд.

32. Критерий Коши сходимости ряда. Следствие 1, 2.

33. Ряды с неотрицательными членами. Теорема (Признак сравнения 1). Замечания. Следствие

34. Теорема (Признак сравнения 2). Замечание.

35. Теорема (Признак Даламбера сходимости ряда). Замечания 1, 2.

36. Теорема (Признак Коши сходимости ряда). Замечания 1, 2.

37. Теорема (сравнение признаков Даламбера и Коши)

38. Теорема (Признак Коши-Маклорена сходимости ряда).

39. Теорема (Признак Раабе сходимости ряда).

40. Теорема (об отсутствии универсального ряда сравнения).

41. Абсолютно сходящийся ряд. Условно сходящийся ряд. Примеры.

42. Перестановка членов ряда. Теорема (Римана).

43. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема (Коши).

44. Тождество Абеля. Последовательность с ограниченным изменением, свойства.

45. Теорема (1-ый признак Абеля). Следствие (признак Дирихле-Абеля).

46. Теорема (2-ой признак Абеля)

47. Знакочередующийся ряд; Теорема (признак Лейбница). Примеры.

48. Арифметические операции над сходящимися рядами. Теорема (о сумме двух сходящихся рядов). Произведение рядов; Теорема (Мертенса).

49. Регулярные методы суммирования числовых рядов. Метод Чезаро

50. Метод суммирования Пуассона – Абеля.

Составил Плешаков М.Г.