42

while i > 0 z = 0.0; j = k;

while j > i

z = z + a(i,j)*x(j); j = j-1;

end

x(i) = (a(i,m)-z)/a(i,i); i = i-1;

end

disp('Вектор искомых неизвестных:') x

Рис.3.2. Метод Гаусса

2) ФОРМУЛА КРАМЕРА

xi = DDi , где

D −определительматрицысистемы, а Di −определитель, получающийсяиз D заменой i − тогостолбца матрицысистемы на столбецсвободных членов.

Давайте теперь на конкретном примере разберем этот метод.

Решим следующую систему уравнений:

x1 − x2 = −12x1 + x2 = 7

43

• Теперь представим решение в системе Scilab.

Листинг3.2 (Крамер)

//читаем матрицу из файла f = mopen('C:\Matrix.txt','r'); n = mfscanf(f,'%d');

m = mfscanf(f,'%d'); for i = 1:n

for j = 1:m

a(i,j) = mfscanf(f,'%g'); end

end mclose(f);

//формируем матрицу системы for i = 1:n

for j = 1:n d(i,j) = a(i,j);

end end

//формируем столбец свободных членов for j = 1:n

v(j) = a(j,m); end

temp = d;

D = det(d); // определитель системы

for i = 1:n for j = 1:n

// меняем i-ый столбец матрицы на столбец свободных членов d(j,i) = v(j);

end

vector_ans(i) = det(d)/D; d = temp;

end

disp('вектор ответов:'); vector_ans

44

Рис.3.3. Формула Крамера

3) МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Дано уравнение:

5x1 − 2x2 + x3 =11

(1) x1 −3x2 + x3 =5

− 4x1 + 2x2 − 7x3 = −17

Чтобы данную систему можно было решить итерационным методом, требуется выполнение системы условий:

5 ≥ − 2 + 1 =3; // выполняется

−3 ≥ 1 + 1 =3; // выполняется

−7 ≥ − 4 + 2 = 6; // выполняется

эти значения в формулы (*), получаем новые x1 , x2 , x3 ; продолжаем этот процесс до тех пор, пока при заданных x1 , x2 , x3 не выполнится система условий:

46

Листинг 3.3.

e = 0.0001; // установим точность z_prev = 1000000; // фиктивное значение

f = mopen('C:\Matrix.txt','r'); n = mfscanf(f,'%d');

m = mfscanf(f,'%d'); for i = 1:n

for j = 1:m

a(i,j) = mfscanf(f,'%g'); end

end mclose(f);

//проверка на сходимость for i = 1:n

for j = 1:n

if abs(a(i,j)) > abs(a(i,i)) disp('Система расходится'); return;

end end

end

//будущий вектор ответов

for i = 1:n x(i) = 0.0;

end

while 5 < 7 for i = 1:n

x_1(i) = 0.0; end

z = 0; z_1 = 0; z_2 = 0; for i = 1:n

z = z + a(1,i)*x(i);

z_1 = z_1 + a(2,i)*x(i); z_2 = z_2 + a(3,i)*x(i);

end

z = a(1,m)-z;

z_1 = a(2,m)-z_1; z_3 = a(3,m)-z_2;

if abs(z) < e & abs(z_1) < e & abs(z_1) < e disp('Вектор ответов');

x return;

end

// реализуем формулу (*) for i = 1:n