27

Рис. 4. Результат работы Листинга_2.3

2) Метод трапеций

Кривую f (x) , заданную на отрезке [a;b] можно приближенно заменить на секущую, как показано на рис.5. Тогда, соответственно, значение интеграла

Рис. 5

Для повышения точности следует разбить отрезок [a;b] , введя на нем

достаточно густую сетку. Затем интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому слагаемому применяют приведенную выше формулу. При постоянном шаге сетки формула имеет вид:

28

трапеций с точностью ε = 0.000001.

Решение. Приведем решение данной задачи в системе Scilab.

Листинг 2.4.

a = input('Введите нижний предел интегрирования'); b = input('Введите верхний предел интегрирования'); e = 0.000001;

function[value] = f(x) value = x/(1+x+x*x);

endfunction

function[n, summa] = trapezium(a, b) n = 10.0;

prev_sum = 1.0; summa = 0.0;

while abs(summa-prev_sum) > e prev_sum = summa; h=(b-a)/n;

summa=0; for i = 1:n+1

summa = summa + 0.5*h*( f(a+i*h) + f(a+(i-1)*h) ); end

n=n*2; end

endfunction

[n, integral] = trapezium(a, b); integral, n

Рис. 6. Результат работы Листинга_2.4

29

3) Метод Симпсона

В данном методе определенный интеграл вычисляется по следующей формуле:

где n – количество интервалов разбиения области интегрирования, h – шаг разбиения.

Листинг 2.5.

a = input('Введите нижний предел интегрирования'); b = input('Введите верхний предел интегрирования'); e = 0.000001;

function[value] = f(x) value = x/(1+x+x*x);

endfunction

function[n, summa] = simpson(a, b) n = 10.0;

prev_sum = 1, summa = 0; while abs(summa-prev_sum) > e

prev_sum=summa; h = (b-a)/n;

summa=0;

for i=a:2.0*h:b-h

summa = summa + f(i)+4.0*f(i+h)+f(i+2.0*h); end

summa=summa*h/3.0; n = n*2;

end endfunction

[n, integral] = simpson(a, b); integral, n

30

Рис. 7. Результат работы Листинга_2.5

4) Квадратуры Гаусса

Допустим, мы хотим вычислить интеграл ∫1 f (t)dt следующим образом:

Теорема. Для обеспечения равенства (1) необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось для f (t) =1, t, t 2 ,K, t 2n−1 .

Доказательство. Необходимость очевидна, так как в равенство (1) вместо f (t) можно подставить любую функцию, в том числе и функции

f (t) =1, t, t 2 ,K, t 2n−1

заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить ti и Ai из системы 2n уравнений:

31

Система (3) — нелинейная и исследование ее громоздко. Поэтому чтобы упростить решение в качестве узлов ti берут корни полинома Лежандра n -

ой степени:

определяются из системы (3) называется квадратурной формулой Гаусса (причем при найденном ti последние n уравнений можно отбросить).

32

A1 = 0.555555556,

A2 = 0.888888889,

A3 = 0.555555556.

= 18 (35x4 −30x2 +3)

Приравнивая этот полином к нулю, находим корни:

Для определения коэффициентов A1 , A2 , A3 , A4 имеем систему:

A1 + A2 + A3 + A4 = 2

t1 A1 +t2 A2 +t3 A3 +t4 A4 = 0

t12 A1 +t22 A2 +t32 A3 +t42 A4 = 23

t13 A1 +t23 A2 +t33 A3 +t43 A4 = 0

Решая эту систему, получаем:

A1 = 0.347854845

A2 = 0.652145155

A3 = 0.652145155

A4 = 0.347854845

Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для