Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЧМ_2012 / Лекции / Численные_методы.pdf

Скачиваний:

392

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Глава_7. Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений

Можно выделить три типа методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений: точные, приближенные и численные. Точные методы предусматривают получение решения в виде комбинации элементарных функций или в виде квадратур от последних. Приближенные

методы сводятся к построению последовательности функций		wn (x) ,
имеющих пределом искомую функцию	v(x) . Обрывая	эту

последовательность на каком-то k , получают приближенное решение. Наиболее универсальными методами являются численные.

1) Метод Рунге-Кутта

Является одними из численных методов повышенной точности решения ОДУ. Рассмотрим суть данного метода на примере ОДУ первого порядка.

Пусть на отрезке [a;b] имеем задачу Коши:

y'= f (x, y),

y(x0 ) = y0 .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей (заметим, что a = x0 ). Тогда i -ая точка отрезка находится по формуле:

xi = x0 +ih , где	h =	b − a	.

		n

Последовательность точек yi искомого решения может быть определена как:

yi+1 = yi + yi .

Нам осталось определить yi , - разложим это слагаемое в ряд Тейлора (до четвертого порядка):

yi = y(xi + h) − y(xi ) = h y'(

Теперь для каждой текущей точки

K1(i) = f (

K2(i) = f (

K3(i) = f (

K4(i) = f (

xi ) +		h2		y''(xi ) +			h3		y'''(xi ) +	h4	y(IV ) (xi ) .

			2			3!			4!
(xi , yi ) определим четыре числа:
xi , yi );
xi +	h		,	yi +	h K	(i)		);
						1
	2				2

xi +	h		,	yi +	h K	(i)		);
						2
	2				2

xi + h, yi + h K3(i) ).

Тогда с точностью до порядка K 4 имеем:

yi = 16 h (K1(i) + 2K2(i) + 2K3(i) + K4(i) ) .

Вычисления удобно располагать в виде таблицы:

____

X k , k =

0, 3

Yk , k = 0, 3

yi = f (X k

,Yk )

K (i)

X 0

= x0

= y0

f (X 0 ,Y0 )

K1(o) = f (X 0

,Y0 )

(0)

y0 =

h (K1

= x0

Y1 = y0 + h f (x0 , y0 );

f (X

,Y )

K (o) = f (X

,Y )

пусть A = h f (x0 , y0 )

(0)

+2 K2

+2 K3(0) +

X 2

= x0

= y0 +h f (x0 +

y0 +

);

f (X 2 ,Y2 )

K3(o) = f (X 2 ,Y2 )

(0)

)

+K4

пустьB =h f (x

, y

)

= x

+ h

Y = y

+ B

f (X

,Y )

K (o) = f (X

,Y )

Получили первую точку последовательности решения

y1 = y0 + y0 , x1 = x0 + h

X 0

= x1

= y1

f (X 0 ,Y0 )

K1(o) = f (X 0

,Y0 )

(0)

y1 =

h (K1

= x1

Y1 = y1 + h f (x1 , y1 );

f (X

,Y )

K (o) = f (X

,Y )

пусть A = h f (x , y )

(0)

+2 K2

+2 K3(0) +

X 2

= x1 +

Y2 = y1 +h f (x1 +

y1 +

f (X 2 ,Y2 )

K3(o) = f (X 2 ,Y2 )

);

+K(0))

пустьB =h f (x +

, y +

)

= x + h

Y = y + B

f (X

,Y )

K (o) = f (X

,Y )

Получили вторую точку последовательности решения

y2 = y1 + y1 , x2 = x1 + h ;

Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не достигнем конца отрезка – точки b .

Примечание.

Данный метод имеет четвертый порядок точности. Поэтому величина шага, при котором найденное решение удовлетворяет заданной точности, ищется из соотношения (данное соотношение можно получить, применив правило Рунге):

h4 ≤ ε , где ε - заданная точность.

Приведем реализацию данного метода в системе Scilab.

Листинг 7.1.

//метод Рунге-Кутта четвертого порядка function[value] = f(x, y)

value = 0.5*(x - y); endfunction

y_0 = 1;

a_0 = 0; // начальная точка b_ = 3; // конечная точка h = 0.125; // шаг

n = (b_ - a_0)/h; // разбиение

iter = 0; // итерации

for i = 1:n // формирование массива ответов a(i) = 0;

end

a(1) = y_0; // нач. условие - первый элемент массива ответов

while iter < n

a_ = a_0 + iter*h;

K_1 = f(a_, a(iter + 1));

K_2 = f(a_ + h/2, a(iter + 1) + K_1*h/2); K_3 = f(a_ + h/2, a(iter + 1) + K_2*h/2); K_4 = f(a_ + h, a(iter + 1) + K_3*h);

dy = (1/6)*h*(K_1 + 2*K_2 + 2*K_3 + K_4);

//не забываем, что индекс массива начинается с 1,

//а не с 0(как в С)

a(iter + 2) = a(iter + 1) + dy; iter = iter + 1;

end

Рис. 1. Результат работы Листинга_7.1

2) Метод Эйлера

Данный метод носит еще название метода ломаных Пусть на отрезке [a;b] имеем задачу Коши:

y'= f (x, y),

y(x0 ) = y0 .

Метод основывается на том, что дифференциальное уравнение может быть решено на основе представления искомой функции в ряд Тейлора (причем из разложения в ряд Тейлора берется только первая производная). Тогда решение представимо в виде:

y = f (x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей (заметим, что a = x0 ). Тогда i -ая точка отрезка находится по формуле:

xi = x0 +ih , где	h =	b − a	.

		n

Тогда получаем последовательность точек yi искомого решения:

yi+1 = yi + h f (xi , yi ) .

Приведем реализацию данного метода в системе Scilab.

Листинг 7.2.

//метод Эйлера

function[value] = f(x, y) value = 0.5*(x - y); endfunction

y_0 = 1;

a_0 = 0; // начальная точка b_ = 3; // конечная точка h = 0.125; // шаг

n = (b_ - a_0)/h; // разбиение

iter = 0; // итерации

for i = 1:n // формирование массива ответов a(i) = 0;

end

a(1) = y_0; // нач. условие - первый элемент массива ответов

while iter < n

a_ = a_0 + iter*h;

//не забываем, что индекс массива начинается с 1,

//а не с 0(как в С)

a(iter + 2) = a(iter + 1) + h*f(a_, a(iter + 1)); iter = iter + 1;

end

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
09.06.2015218.92 Кб62lecture_4_ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ.pdf
#
09.06.2015201.87 Кб62lecture_5_СЛАУ.pdf
#
09.06.2015149.63 Кб63lecture_6_ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ.pdf
#
09.06.2015124.81 Кб67lecture_7_ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.pdf
#
09.06.2015152.12 Кб65lecture_8_Решение уравнения с одним неизвестным.pdf
#
09.06.20151.99 Mб392Численные_методы.pdf