Аппроксимация и интерполирование функций

[a;b] задана (n +1)

точка, называемая узлом интерполирования, и

(n +1)

значение функции

в этих точках. Надо построить функцию

F(x) ,

Пусть на отрезке [a;b] заданы точки x0 , x1 ,K, xn и значения функции

f (x) в

этих точках.

Будем

строить

интерполяционный многочлен

вида

n

Pn (x) = ∑ f (x j )Фj (x) , где

Фj (x),

j = 0,1,K, n

- многочлены

n -ой степени,

j=0

удовлетворяющие условиям:

0,

i ≠

j,

Фj (x) =

i = j.

1,

Эти условия следуют из того, что значения многочлена и значения

f (x) в

узлах интерполяции должны совпадать. Тогда Фj (x)

можно искать в виде:

Фj (x) = Aj (x − x0 )K(x − x j−1 )(x − x j+1 )K(x − xn ) ,

где

Aj

-

константа,

определяемая из условия

Фj (x j ) =1 , таким образом:

(x − x0 )K(x − x j−1 )(x − x j+1 )K(x − xn )

Фj (x) =

.

(x j − x0 )K(x j − x j−1 )(x j − x j+1 )K(x j − xn )

Обозначим

ϖn = (x − x0 )(x − x1 )K(x − xn )

и

продифференцируем

по x ,

полагая x = x j

: ϖ'n (x j ) = (x j − x0 )(x j − x1 )K(x j

− xn ) . Тогда:

Фj (x) =

ϖn (x)

.

(x − x j )ϖ'n (x j )

n

ϖn (x)

Ln (x) = ∑ f (x j )

,

где ϖn

= (x − x0 )(x − x1 )K(x − xn ) .

(x

− x j )ϖ'n (x j )

j=0

Примечание.

Оценка погрешности многочлена Лагранжа,

если функция

f (x)

имеет

на отрезке непрерывные производные

(n +1) -го порядка, имеет вид:

f (x) − Ln (x) =

f (n+1) (ξ)

ϖn (x),

- где ξ

- некоторая точка из [a;b].

(n +1)!

Пример 5. 1.

Пусть в результате экспериментального изучения зависимости y = f (x)

получена таблица значений в пяти точках.

Xj

0.1

0.3

0.5

0.8

1

Yj

0.3

0.55

0.65

0.4

0.25

Найти интерполяционный полином Лагранжа второго порядка y = P (x) = a

0

+ a x + a

2

x2 .

2

1

Построение полинома Лагранжа.

P

(x) = y

(x − x1 )(x − x4 )

+ y

(x − x0 )(x − x4 )

+ y

(x − x1 )(x − x0 )

)

2

0

(x

0

− x

)(x

0

− x

1

(x

− x

)(x

− x

4

)

4

(x

4

− x

)(x

4

− x )

1

4

1

0

1

0

1

P (x) = 0.3

(x −0.3)(x −1)

+0.55

(x −0.1)(x −1)

+0.25

(x −0.3)(x −0.1)

.

2

(0.1−0.3)(0.1−1)

(0.3 −0.1)(0.3 −1)

(1−0.3)(1−0.1)

xx = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1];

//узлы интерполирования

f = sin(xx);

//наша функция

Ln (x) = L0 (x) +[L1 (x) − L0 (x)] +K+[Ln (x) − Ln−1 (x)],

где разность Lk (x) − Lk −1 (x), k =1, 2,K, n

- есть

многочлен

степени

k ,

обращающийся в нуль в точках x0 ,K, xk −1 . Поэтому можно записать:

Lk (x) − Lk −1 (x) = B(x − x0 )(x − x1 )K(x − xk −1 ) . Константу

B найдем,

полагая,

что

x = xk :

f (xk ) − Lk −1 (x) = B(xk − x0 )(xk − x1 )K(xk − xk −1 ) , отсюда:

k

f (x j )

B = ∑

= f (x0 , x1 ,K, xk ) , где

f (x0 , x1 ,K, xk ) -

(x j − x0 )K(x j − x j−1 )(x j − x j+1 )K(x j − xk

)

j=0