57
Рис. 3.7. Метод отражений
6) Метод LU-разложений
Очень легко отыскать решение системы линейных алгебраических уравнений, если представить матрицу коэффициентов A системы как произведение двух матриц: верхней треугольной матрицы L и нижней треугольной матрицы U :
|
|
|
|
|
|
|
A = L U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое разложение называется |
LU-разложением. Запишем определение LU- |
||||||||||||||
разложения в матричном виде на примере матрицы размера 4х4: |
|||||||||||||||
a |
a |
a |
a |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
u |
u |
u |
u |
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
= m21 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
u22 |
u23 |
u24 . |
|||
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
|
|
m31 |
m32 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
u33 |
u34 |
|
|
a42 |
a43 |
|
|
|
|
m42 |
m43 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
a41 |
a44 |
|
m41 |
1 |
|
u44 |
|||||||||
Заметим, что определение применимо и к произвольной матрице размера
NxN.
Итак, пусть матрицу коэффициентов A линейной системы A X = B можно разложить на треугольные матрицы:
L U X = B ,
Тогда решение можно получить, полагая Y =U X , и затем решить две системы: L Y = B для Y , чтобы получить U X = Y для X .
Разберем теперь данный метод на конкретном примере. Дана система:
58
x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21,
2x1 +8x2 + 6x3 + 4x4 = 52,3x1 +10x2 +8x3 +8x4 = 79,
4x1 +12x2 +10x3 + 6x4 = 82.
Для отыскания решения воспользуемся тем фактом, что:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 4 1 1 0 0 0 1 2 4 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
2 8 6 4 |
= 2 1 0 0 |
0 4 − 2 2 |
= LU . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 10 8 8 3 1 1 0 0 0 − 2 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 12 10 6 |
4 1 2 1 |
0 0 0 −6 |
|
||
Для решения системы |
L Y = B используем метод прямой подстановки: |
||||||||||||||||
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 21, |
|
|
|
|
|
|
2y1 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 52, |
|
|
|
|
|
||||
3y1 + y2 + y3 |
|
|
|
|
|
= 79, |
|
|
|
|
|
||||||
4y |
+ y |
2 |
+ |
2y |
3 |
+ y |
4 |
= 82. |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получаем |
|
|
значения |
y1 = 21 , |
y2 = 52 − 2 y1 =10 , |
y3 = 79 − y2 −3y1 = 6 , |
|||||||||||
y4 |
= 82 − 4y1 − y2 − 2y3 = −24 , таким образом, получили вектор |
Y =[21, 10, 6, − 24] . |
|||||||||||||||
Теперь записываем систему U X = Y : |
|
|
|
||||||||||||||
x |
+ 2x |
2 |
+ 4x |
3 |
+ x |
4 |
= 21, |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4x2 − 2x3 + 2x4 |
=10, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− 2x3 |
+3x4 = 6, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6x4 = −24. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для решения данной системы используем обратную подстановку, получаем значения:
x4 |
= |
− 24 |
= 4 , |
x3 |
= |
6 −3x4 |
= 3 , |
x2 |
= |
|
10 − 2x4 + 2x3 |
= 2 , x1 = 21− x4 − 4x3 − 2x2 =1. |
|
−6 |
− 2 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получили вектор-решение исходной системы: X =[1, 2, 3, 4].