4) МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

5) МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЧМ_2012 / Лекции / Численные_методы.pdf

Скачиваний:

392

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

for j = 1:n temp = a(i,i); a(i,i) = 0;

x_1(i) = x_1(i)-a(i,j)*x(j); a(i,i) = temp;

end

x_1(i) = (x_1(i)+a(i,m))/a(i,i); end

x = x_1; z_prev = z;

end

Рис.3.4. Метод простых итераций

Данный метод очень похож на метод простых итераций, отличие заключается в том, что как только мы нашли из формул (*) очередной x1 , то его мы

подставляем сразу же в формулу (*) для x2 . Находим этот x2 и подставляем его вместе с найденным на этой итерации x1 в формулу (*) для x3 , тем самым мы ускоряем процесс.

Для системы (1) зададим начальные значения x1 = 0,																		x2 = 0, x3 = 0;
Тогда, из (*) имеем:
						11									11		−14
	11					5 −		= −	14				=	−17 + 4		− 2
x =	11	,	x	2	= −	5 −	5		14	,	x	3		−17 + 4	5	− 2	15	≈ 0.904762;
x =		,	x		= −					,	x							≈ 0.904762;
1	5					3		15							− 7
	5					3		15							− 7

Продолжаем итерации (см. табл.3.2):

						48
№	x1	x2	x3	11−(5x1 −2x2 + x3 )	5 − ( x1 − 3x2 + x3 )	−17−(−4x1 +2x2 −7x3)
0	2,2	-0,93333	0,904762	2,771429	-0,90476	0
1	1,645714	-0,63175	0,904762	-0,60317	0,554286	-2,82032
2	1,766349	-0,81651	1,307664	0,772426	-0,52354	0,852063
3	1,611864	-0,642	1,185941	-0,47075	0,276209	-0,96697
4	1,706014	-0,73407	1,324079	0,322277	-0,23229	0,560738
5	1,641558	-0,65664	1,243974	-0,23496	0,144561	-0,41268
6	1,688551	-0,70482	1,302928	0,155328	-0,10595	0,284345
7	1,657485	-0,66951	1,262307	-0,11125	0,071686	-0,19489
8	1,679736	-0,6934	1,290149	0,075633	-0,05009	0,136793
9	1,664609	-0,67671	1,270607	-0,05294	0,034668	-0,0939
10	1,675197	-0,68826	1,284022	0,036527	-0,024	0,065462
11	1,667891	-0,68026	1,27467	-0,02535	0,016657	-0,04522
12	1,672962	-0,68581	1,281131	0,017565	-0,01153	0,031387
13	1,669449	-0,68197	1,276647	-0,01217	0,007997	-0,02174
14	1,671883	-0,68463	1,279752	0,008437	-0,00554	0,015068
15	1,670196	-0,68279	1,2776	-0,00585	0,00384	-0,01044
16	1,671365	-0,68407	1,279092	0,004052	-0,00266	0,007237
17	1,670554	-0,68318	1,278058	-0,00281	0,001844	-0,00502
18	1,671116	-0,6838	1,278774	0,001946	-0,00128	0,003476
19	1,670727	-0,68337	1,278278	-0,00135	0,000886	-0,00241
20	1,670996	-0,68367	1,278622	0,000935	-0,00061	0,001669
21	1,67081	-0,68346	1,278383	-0,00065	0,000425	-0,00116
22	1,670939	-0,6836	1,278549	0,000449	-0,00029	0,000802
23	1,670849	-0,6835	1,278434	-0,00031	0,000204	-0,00056
24	1,670912	-0,68357	1,278514	0,000216	-0,00014	0,000385
25	1,670868	-0,68352	1,278458	-0,00015	9,81E-05	-0,00027
26	1,670898	-0,68356	1,278497	0,000104	-6,8E-05	0,000185
27	1,670878	-0,68354	1,27847	-7,2E-05	4,71E-05	-0,00013
28	1,670892	-0,68355	1,278489	4,97E-05	-3,3E-05	8,88E-05

Таблица.3.2. Итерации Зейделя

Таким образом, вектор ответов:

x1x2

=1,670892

=−0.68355 ;

=1.278489

• Теперь представим решение в системе Scilab.

Попробуйте найти отличия этой программы от предыдущей, а еще лучше напишите код сами!

Листинг 3.4. e = 0.0001;

z_prev = 1000000;

f = mopen('C:\Matrix.txt','r'); n = mfscanf(f,'%d');

m = mfscanf(f,'%d'); for i = 1:n

for j = 1:m

a(i,j) = mfscanf(f,'%g');

end end mclose(f);

//проверка на сходимость for i = 1:n

for j = 1:n

if abs(a(i,j)) > abs(a(i,i)) disp('Система расходится'); return;

end end

end

//будущий вектор ответов

for i = 1:n x(i) = 0.0;

end

while 5 < 7 for i = 1:n

x_1(i) = 0.0; end

z = 0; z_1 = 0; z_2 = 0; for i = 1:n

z = z + a(1,i)*x(i);

z_1 = z_1 + a(2,i)*x(i); z_2 = z_2 + a(3,i)*x(i);

end

z = a(1,m)-z;

z_1 = a(2,m)-z_1; z_3 = a(3,m)-z_2;

if abs(z) < e & abs(z_1) < e & abs(z_1) < e disp('Вектор ответов');

x return;

end

for i = 1:n for j = 1:n

temp = a(i,i); a(i,i) = 0;

x_1(i) = x_1(i)-a(i,j)*x(j); a(i,i) = temp;

end

x_1(i) = (x_1(i)+a(i,m))/a(i,i); x(i) = x_1(i);

end z_prev = z;

end

W W * = E ,

Рис.3.5 Метод Зейделя

(4 +2i) x1

−2x2 + x3 =12,

+i) x1 +4x2 −2x3 = 7, методом отражений.

Метод отражений применяется для решения систем линейных уравнений Ax = f . Это один из лучших методов для решения СЛАУ общего вида

(матрица системы может быть как действительной, так и комплексной). Идея метода заключается в следующем: матрица A системы раскладывается в произведение двух матриц – унитарной матрицы и правой треугольной матрицы: A =WT , где W - унитарная матрица, T - правая треугольная матрица.

Унитарная матрица W – такая матрица, для которой выполнено:

где E - единичная матрица. Унитарную матрицу W можно получить как произведение специальных матриц, называемых матрицами отражения Vi :

W =∏Vi .

i
	a	a	K	a
	11	12		1n
Разложение матрицы	A = a21	a22	K a2n		системы в произведение
	M	M	O	K
		an2
	an1	an2	K ann

унитарной и правой треугольной происходит в несколько этапов:

1)Задаем вектор S . В качестве данного вектора выбираем первый столбец матрицы A системы: S = (a11 ,a21 , K,an1 ) .

−

Находим вектор ϖ1 по формуле: ω =

, где

e - единичный

−

вектор. Заметим, что ω - вектор-столбец единичной длины ( (ω,ω) =1).

Строим матрицу отражения по формуле:

V1 = E −2ϖ1ϖ1* .

Домножаем A слева на V1 , получаем матрицу

A1 =V1 A ,

которая имеет

следующий вид:

(1) a

(1)

a22

K a2n

(1)

K a

(1)

Домножаем также B - вектор свободных членов, слева на V1 , получаем

матрицу

B1 .

Получаем новую систему

A1 X = B1

выбираем

вектор

(1) , K, an2

(1) ) . В

Теперь в качестве вектора S

S = (0, a22

качестве же

возьмем вектор равный

e = (0,1, 0, K,0) . С помощью

приведенных выше формул

находим вектор ϖ

и строим матрицу V2

по формуле V2 = E −2ϖ

2ϖ

* .

Находим матрицу A2 =V2 A1 , которая имеет следующий вид:

a (2)

(2)

K a

(2)

a22 (2)

a23(2)

K a2n (2)

(2)

K a

(2)

an3

K ann

Домножаем B1 слева на V2 . Получаем новую систему A2 X = B2 Продолжая описанный процесс построения, на (n −1) -м шаге получим матрицу An−1 =Vn−1 Vn−2 K V2 V1 A , которая имеет вид:

	a		(n−1)	a (n−1)	K	a	(n−1)
		11		12		1n
An−1	=		0	a22(n−1)	K a2n (n−1)			.
			M	M	O		K
			0	0	K a		(n−1)
			0	0	K a		(n−1)
							nn

В итоге, получим систему An−1 X = Bn−1 . Далее решение можно легко найти, используя метод обратной подстановки.

Рассмотрим пример. Дана система линейных уравнений:

X1 + X 2 + X 3 = 3,

2X1 + X 2 +3X 3 = 6,

X1 + 2X 2 − 2X 3 =1.

эту систему можно записать в матричном виде: A X = B ,

1	1	1	X1		3
A = 2	1	3 ,	X = X 2	,	B = 6 .
	2
1	2	− 2	X 3		1

В качестве S возьмем первый столбец матрицы A : S = 2 , S = 6 в

					1								−
					1				S −	S e		1	−	6					6 .
качестве e : e =					0			,	S −	S e		=	2		=		12 −2		6 .
													1
					0								1

								1− 6

								12 − 2		6
Находим ω :				ω		=			2
Находим ω :				ω		=
								12 − 2		6
									1
								12 − 2
								12 − 2		6

Найдем матрицу V1:
	1	−	6					2				1
ω* =
	12 − 2 6					12 − 2 6					12 − 2 6
		1		7	− 2 6 2 −					2 6 1−			6
ωω* =		1			− 2 6					4		2
ωω* =		− 2 6		2	− 2 6					4		2
	12	− 2 6		1		−		6		2		1

	1 0 0							7 − 2 6 2 − 2 6 1−							6					6 −1 2 6 − 2			6 −1
V =	0 1 0 − 1							2	− 2 6			4		2			= 1		2 6		− 2 2	− 6	− 2
1																	6 −	6
				6 − 6								2		1			6 −	6		6	−1	− 2	5 −	6
	0 0 1							1− 6				2		1						6	−1	− 2	5 −	6
Домножаем				A слева на V1:
						6 6 −6 5 6 −5 5 6 −5
A1 =V1 A =				1				0		6 − 4			8 − 6
			6 − 6					0		7 − 6 3 6 −17
Домножаем
Домножаем				B слева на V1:
				16				6 −	16
B1 =V1 B =			1					4
B1 =V1 B =			1					4
		6	−	6		2	6 −10

Получаем новую систему											1	A1 X =				1	B1	или A1 X = B1
										6 −		6		6 −			6

На 2-м шаге в качестве

возьмем: S =

6 − 4 ,

S =

77 − 22

6 в качестве

−

e :

e = 1

S −

− 4 −

77 − 22

154 − 44

6 − 2(

6 − 4)

77 − 22

6 = 7,819

S e =

6 =

−

− 4 −

77 − 22

ω :=

154 − 44

6 − 2(

6 − 4)

77 − 22

7 −

Находим ω :

6 − 2(

6 − 4)

154 − 44

77 − 22

6 .

Найдем матрицу V2 :

6 − 4 − 77 − 22 6

7 − 6

ω* = 0

154 − 44

6 − 2( 6 − 4) 77 − 22 6

154 − 44 6 − 2( 6 −

4) 77 − 22 6

ωω* =

154 − 44

6 − 2( 6 − 4) 77 − 22

( 6 − 4 −

77 − 22 6 )

− 6)( 6 − 4 − 77

− 22 6 )

− 6)( 6 − 4 − 77 − 22 6 )

(7 −

0 (7

V = 0

0 −

− 22 6 −( 6 − 4) 77 − 22 6

( 6 − 4 −

77 − 22 6 )

− 6)( 6 − 4 − 77

− 22 6 ) =

− 6)( 6 − 4 − 77 − 22 6 )

(7 −

0 (7

77 − 22

6 −(

6 − 4) 77 − 22

− 22 +8 6 + ( 6 − 4) 77 − 22 6 −(7 − 6)( 6 − 4 −

77 − 22 6 )

−

(7 − 6)( 6 − 4 − 77 − 22 6 ) 22 −8 6 −( 6 − 4) 77 − 22 6

Домножаем A1 слева на V2 , предварительно домножив обе части

системы A1 X = B1

на

6 −(

6 −4)

77 −22 6

77 −22

− 22 +8 6 + ( 6 − 4) 77 − 22 6 −(7 − 6)( 6 − 4 − 77 − 22 6 )

2 1

−(7 − 6)( 6 − 4 −

77 − 22 6 ) 22 −8 6 −( 6 − 4) 77 − 22 6

6 6 −6 5 6 −5 5 6 −5

6 − 4

8 −

7 −

3 6 −17

6 6 −6

5 6 −5

(77 − 22

6)(

77 − 22 6 − 6 + 4) (175 −50

6)(

6 − 4 −

77 − 22

6 )

(24 −14

6)(

6 − 4 −

77 − 22 6 )

Домножаем

слева на V2 :

=V B = 0

− 22 +8 6 + ( 6 − 4) 77 − 22 6 −(7 − 6)( 6 − 4 − 77 − 22 6 )

2 1

−(7 − 6)( 6 − 4 −

77 − 22 6 ) 22 −8 6 −( 6 − 4) 77 − 22 6

6 −16

6)(

6 − 4 −

77 − 22

= (98 − 28

6 )

−10

(24 −14

6)(

6 − 4 −

77 − 22

6 )

Получаем новую систему

A2 X = B2 :

6 6 −6

5 6 −5

(77 −

6)(

77 − 22

6 −

6 + 4)

(175 −50

6)( 6 − 4 −

77 − 22

6 )

X 2

(24 −14

6)(

6 − 4 −

77 − 22

6 )

X 3

6 −16

− 28

6)(

6 − 4 −

77 − 22

(98

6 ) .

(24

−14

6)(

6 − 4 −

77 − 22

6 )

Отсюда X = [1

1].

Задача

Решить систему

трех

линейных

алгебраических

уравнений

4x −2x

+ x

=12,

методом отражений.

x1 +4x2 −2x3 = 7,

−

2x − x

+4x

= 0.

Решение.

Приведем решение данной задачи в системе Scilab.

Листинг 3.5.

n=3;

A=[4, -2, 1;1, 4, -2;-2, -1, 4]; //задаем матрицу системы b=[12, 7, 0]; //задаем вектор свободных членов

for i=1:n s(i)=0; v(i)=0; e(i)=0;

b1(i)=0; for j=1:n

E(i, j) = 0; V(i, j) = 0; A1(i, j) = 0;

end

E(i, i) = 1; end norma=0; norma1=0; for i = 1:n-1

norma = 0; norma1 = 0; e(i) = 1;

for j = i:n

s(j) = A(j, i);

norma1 = norma1+ s(j)*s(j);

end

for j = 1:i-1 s(j) = 0;

end

norma1 = sqrt(norma1); for j = i:n

w(j) = s(j) - norma1*e(j); norma = norma+w(j)*w(j);

end

norma = sqrt(norma); for j = i:n

w(j) = w(j) / norma;

end

for j = i:n

for l = i:n

V(j, l) = E(j, l) - 2*w(j)*w(l);

end

for j = i:n

for l = i:n

b1(j) = b1(j)+V(j, l)*b(l); for k = i:n

A1(j, l) = A1(j, l)+V(j, k)*A(k, l);

end

for j=i:n

b(j) = b1(j); b1(j) = 0; for l=i:n

A(j, l) = A1(j, l); A1(j, l) = 0;

end

end e(i) = 0;

end x=[0,0,0]; for i=n:(-1):1

x(i) = b(i); for j=i+1:n

x(i)=x(i)-A(i, j)*x(j);

end

x(i) = x(i)/A(i, i); end

"Решение: " for l = 1:n

x(l) //выводим вектор-решение (х1, х2, х3) end

Рис. 3.6. Метод отражений

Решим теперь систему уравнений с комплексными коэффициентами.

Задача 2. Решить систему трех линейных алгебраических уравнений

Решение. Программа для решения этой задачи отличается от предыдущей программы только коэффициентами матрицы системы, все остальные действия, производимые в программе, - точно такие же.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
09.06.2015218.92 Кб62lecture_4_ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ.pdf
#
09.06.2015201.87 Кб62lecture_5_СЛАУ.pdf
#
09.06.2015149.63 Кб63lecture_6_ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ.pdf
#
09.06.2015124.81 Кб67lecture_7_ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.pdf
#
09.06.2015152.12 Кб65lecture_8_Решение уравнения с одним неизвестным.pdf
#
09.06.20151.99 Mб392Численные_методы.pdf