Курсовая работа / Курсовая работа (Excel) - 1812 - 2003 / курсовая по стандартизации 2

Цель работы:

Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениваю распределений и их параметров и проверка гипотез о распределениях.

Содержание работы:

1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины x.

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности.

3. Оценить вероятность попадания случайной величины x в заданный интервал.

4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий данной доверительной вероятности.

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины x.

6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности.

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.

Пример

На ста самолётах замерено давление в баллоне воздушной системы (в атм.).

Результаты измерений приведены

в таблице:

1,9	5,8	0,9	-5,7	-8,1	12,8	4,2	-5,6	6,4	18
-2,8	-4,9	0,3	0,8	12,9	-19,8	0,7	-8,8	2,4	28,3
1,8	2,1	1,5	-0,8	-11,9	7,7	-3,7	-3,1	0,2	9,5
7,8	-1,6	2	4,2	-9,6	3,1	-9	-8,3	-8,5	-9,7
1,9	110,9	8,7	-5,2	11,9	7,7	-4,3	-8,1	-6	-16,9
2,5	12,3	-2,8	-14,3	4,1	-25,7	5,1	-13,4	4,3	-5,5
15,7	-1,4	11,1	29,2	1,6	-3,9	0	5	-8,8	-6,2
10,9	-16,9	-7,9	-11,9	-6,3	-38,3	-12,7	-3,1	-2,5	-11
4,4	-10,4	0,6	1,9	7,4	3,6	-17,9	-4,3	-4,2	-17,2
-4,5	-16,2	4,8	9,4	-2,1	-10,4	-9,8	-10,4	-9,8	29

Требуется выполнить пункты 1-8, указанные в разделе “Содержание работы”.

1. По формулам

-для математического ожидания МХ- выборочное среднее:

-для дисперсии DX- исправленная дисперсия:

Кроме того, в качестве оценки дисперсии используется также выборочная дисперсия:

находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

-0,329

=221,987

=219,767

2. По формулам

-для математического ожидания:

-для дисперсии:

(в этих формулах верхний знак относиться к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак- к верхней границе.) рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть, например,(1-)=0,9.Тогда по таблице

значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

По формуле

находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал (0,9,1,1)=(-0.362,-0.296). В этот интервал не попало ни одно из экспериментальных значений.

4.По формуле

рассчитываем доверительный интервал для вероятности P. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-)=0,95. Тогда =1,96.

Для построения гистограммы Г(х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-39, 111) и разбиваем его на 12 равных разрядов, каждый длиной 12,5 . Затем получаем таблицу:

Разряд	Частота попадания случайной Величины Х в разряд	Значение гистограммы Г(х)
(-39, -26.5)	0,01	0,0008
(-26.5, -14)	0,08	0,0064
(-14, -1.5)	0,41	0,0328
(-1.5, 11)	0,38	0,0304
(11, 23.5)	0,07	0,0056
(23.5, 36)	0,03	0,0024
(36, 48.5)	0	0
(48.5, 61)	0	0
(61, 73.5)	0	0
(73.5, 86)	0	0
(86, 98.5)	0	0
(98.5, 111)	0,01	0,0008

График гистограммы представлен на рис.1.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее х.

Граница интервала
-39 -26,5 -14 -1,5 11 23,5 36 48,5 61 73,5 86 98,5 111	0 0,01 0,09 0,5 0,88 0,95 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99

Её график представлен на рис.2.

6. Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функцию распределения F(x).

В данном случае общее число разрядов r равно13 плюс один полубесконечный разряд, r=14. Если теперь выбрать доверительную вероятность (1-), равную 0.99, то по формуле

получим

Результирующие доверительные границы для плотности f(x) на каждом разряде гистограммы представлены в табл.3, а их графическое изображение- на рис.1

Таблица3

Разряд	Доверительные границы для плотности распределения f(x).
(-39, -26.5)	0,000719 --- 0,004896
(-26.5, -14)	0,00575 --- 0,010055
(-14, -1.5)	0,029471 --- 0,034183
(-1.5, 11)	0,027314 --- 0,032011
(11, 23.5)	0,005031 --- 0,009315
(23.5, 36)	0,002156 --- 0,006353
(36, 48.5)	0 --- 0,004126
(48.5, 61)	0 --- 0,004126
(61, 73.5)	0 --- 0,004126
(73.5, 86)	0 --- 0,004126
(86, 98.5)	0 --- 0,004126
(98.5, 111)	0,000719 --- 0,004896

Далее по таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим её величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-)=0,99. Она равна =1,6. Затем по формуле

а величину находим из условия:

=

рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):

Разряд	Доверительные границы для функции Распределения F(x).
(-39, -26.5)	-0.16 --- 0.16
(-26.5, -14)	-0.15 --- 0.17
(-14, -1.5)	-0.07 --- 0.25
(-1.5, 11)	0.34 --- 0.66
(11, 23.5)	0.72 --- 1.04
(23.5, 36)	0.79 --- 1.11
(36, 48.5)	0.82 --- 1.14
(48.5, 61)	0.82 --- 1.14
(61, 73.5)	0.82 --- 1.14
(73.5, 86)	0.82 --- 1.14
(86, 98.5)	0.82 --- 1.14
(98.5, 111)	0.83 --- 1.15

график этой области представлен на рис.2.

7.Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с параметрами:

• переменная х – значения интервалов,

• среднее значение – математическое ожидание,

• стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии,

• интегральный критерий – 1.

Значения функции нормального распределения:

F(x)норм
0,004619
0,038894
0,177697
0,466255
0,774816
0,944565
0,992529
0,999468
0,99998
1
1
1
1

8.Для проверки гипотезы H:выберем уровень значимости и используем вначале критерий согласия Экспериментальное значение согласно формуле

,

равно . Гипотетическое значениепри выбранном уровне значимости и числе степеней свободы s = r - 1- k, где r – число разрядов в гистограмме,

k- число степеней свободы,

s=13-1-2=10.

согласно условию

равно =19,7. Таким образом и, следовательно, гипотеза H по критерию согласования является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно рис.3:

Отсюда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости равно =1,36.Таким образом, и, следовательно, гипотеза H является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

График гистограммы рис.1.

График плотности распределения f(x) рис. 2.

рис. 3.