для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 01. Первообразная и неопределенный интеграл
.pdf
Первообразная и неопределенный интеграл.
Пусть функция F(x) принадлежит C1(множество функций имеющих непрерывную первую производную)
F’(x)=f(x) принадлежит С(множество непрерывных функции). F(x)→f(x) (отображается)/
Обратная задача, зная f(x) восстановить F(x)(первообразная для f(x))/
Пример:
f(x)=1 тогда F(x)=x а F(x)=x+C точнее так как при взятии производной некий постоянная могла превратиться в ноль.
Теорема один. Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянную величину.
Общий вид первообразных называется неопределенным интегралом
f(x)-под интегральная функция f(x)dx – под интегральное выражение.
Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием Теорема два. О существовании неопределенного интеграла.
Для любой функции принадлежащей С[a;b](множество непрерывных функции на участке) существует неопределенный интеграл на участке [а;b].
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. |
Доказательство. |
|
; |
2. |
Доказательство. |
|
; |
3. |
Доказательство |
|
; |
4. |
; Постоянный коэффициент можно выносить |
из под знака интеграла.
5.Интеграл суммы
Свойство 4 и 5 определяют линейность оператора интегрирования.
Таблица основных интегралов.
1.
2. n≠-1
3. x≠0
4. |
a>0 a≠1 |
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. при (a2-x2) выноситься (–) 15. a≠0
16. IxI<IaI
17.
Интегрирование подстановкой. ; x=ϕ(t) dx=ϕ’(t)dt
-метод интегрирования подстановкой. Докажем. От правой части возьмем производную.
Пример
1.
– не забываем возвращаться к исходным производным.
Универсальная тригонометрическая подстановка. z=tg(x/2) x=2arctgz
; 
; 
Интегрирование по частям.
U(x); V(x); d(UV)=UdV+VdU UdV=UV-VdU
– интеграл по частям.
Признаем что проще чем 
для этого в качестве U выбираем
функцию которая при дефферинцировании упроститься.
Пример.
