electricity Labworks / 4.1-4.5 Квазистационарные процессы / Labwork(electricity)4-4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

Лабораторный практикум

«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ»

Б. А. Князев

Работа 4.4

ПРОНИКНОВЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВО

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2006

1

УДК 539.2+537.226/.56

Князев Б. А., Лабораторный практикум «Электричество и магнетизм», работа 4.4, «Проникновение электромагнитного поля в вещество», учебнометодическое пособие / Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2006

Лабораторная работа посвящена исследованию проникновения переменного магнитного поля внутрь трубок из проводящих материалов, помещенных в соленоид. «Внешнее» магнитное поле создается переменным током, текущим в соленоиде. Магнитное поле внутри трубки измеряется по величине э.д.с., наводимой переменным магнитным полем в пробной катушке. В первой части работы на базе основных законов электромагнетизма описан механизм проникновения электромагнитного поля в вещество. Здесь же приведены формулы, описывающие слабый и сильный скин-эффект. Показано,

что в случае слабого скин-эффекта безразмерная величина hR /δ2 является параметром подобия для задачи об экранировании поля. Вторая часть пособия содержит контрольные вопросы, после ответа на которые можно приступать к эксперименту, описание которого дано в третьей части. К работе прилагается специальный бланк, который предназначен для контроля готовности студента к выполнению работы, а также для внесения в него экспериментальных данных и их обработки.

Пособие содержит 1 таблицу, 3 рисунка и список литературы из 6 наименований. Пособие предназначено для студентов 2-го курса физфака НГУ.

Рецензент проф. Л. А. Лукьянчиков Печатается по решению методической комиссии физического факультета

© Новосибирский государственный университет, 2006

2

3

образом, чтобы полностью скомпенсировать внутри его внешнее поле. Ток в этом случае также не течет.

Если к проводнику приложить и поддерживать разность потенциалов, то в нем возникает стационарный ток проводимости. Свободные заряды располагаются только на поверхности проводника (а также в областях неоднородности проводника, если таковые имеются), но их распределение отличается от электростатического случая (см. [1, с.176]). Стационарный ток может течь по всему объему проводника.

Рассмотрим длинный прямой провод (рис. 1), к концам которого приложено постоянное напряжение U . По проводнику течет постоянный электрический ток I . Покажем, что в этом случае напряженность электрического поля в проводнике однородна по сечению провода. Для доказательства проведем параллельный оси провода замкнутый прямоугольный контур L . Вспомним, что постоянный ток создает линейно нарастающее по радиусу, но постоянное во времени (∂B / ∂t =0 ), азимутальное магнитное поле B = 2J / cr . Здесь и далее мы используем в качестве основной гауссову систему единиц, приводя, для основных формул также их вид в системе СИ. В основном тексте, однако, все выражения даны в гауссовой системе ( B = 2J / cr , а не B = µ0 J / 2πr ).

Сопоставление всех формул электродинамики для этих двух систем приведено в [1, с.668]). Из теоремы о циркуляции электрического поля [1, с.271])

где L − периметр контура, а S − охватываемая им площадь, сразу следует, что электродвижущая сила (ЭДС), выражаемая интегралом в левой части уравнения, равна нулю. Это заключение сохраняется при любом перемещении контура и при изменении его размеров, что доказывает сделанное выше утверждение.

4

ПРОВОДНИК В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ

Ситуация меняется, если к проводнику приложить переменное напряжение. Из уравнений Максвелла

следует, что переменное электрическое поле приводит к появлению вихревого магнитного поля и наоборот. Для рассматриваемого нами случая электромагнитного поля внутри проводника первый член в правой части выражения (3) практически во всех реальных ситуациях значительно больше второго1

электрическое поле создается изменением магнитного поля, а вихревое магнитное поле создается только вихревыми токами (токами Фуко), текущими по проводнику:

Очевидно, что током смещения можно пренебречь лишь при высокой проводимости среды σ .

Поскольку магнитный поток через контур L (рис. 1) теперь изменяется со

проводимости именно она играет определяющую роль в существовании электромагнитной индукции.

5

определяется направление циркуляции, находим, что при возрастании магнитного потока направление индуцированного электрического поля будет таким, как это изображено на контуре стрелками, а значит, что индуцированное электрическое будет ослаблять исходное поле вблизи оси и увеличивать на периферии провода.

Из этого качественного описания электромагнитной индукции для переменного тока в проводе ясно, почему переменное электромагнитное поле не проникает внутрь проводников, а сосредоточивается вблизи поверхности (см. также [1, с.648]). Слой, в котором сосредоточено поле, называют скин-

слоем от слова skin − кожа, а эффект вытеснения поля на поверхность проводника − скин-эффектом. Этот эффект существует не только в том случае, когда к концам проводника приложена разность потенциалов, но и тогда, когда проводник находится в созданном любым способом внешнем переменном электромагнитном поле.

СКИН-ЭФФЕКТ

Уравнения, описывающие электромагнитное поле внутри проводника, получают из уравнений Максвелла (см. [2, с. 258]). Они имеют следующий вид:

Задавая внешнее электромагнитное поле на границе проводника, из уравнений (7) и (8) можно найти распределение поля в проводнике. В случае проводника с током это – поле Ez , а для цилиндра в соленоиде это будет полем

Hz . Индуцированные поля будут в этих случаях Hϕ и Eϕ , соответственно. Если толщина скин-слоя сравнима с радиусом цилиндра, то решение уравнений (7) и

(8) будет выражаться некоторой специальной функцией – функцией Бесселя [3, с. 777]. Если же толщина скин-слоя значительно меньше, чем характерные размеры проводника (сильный скин-эффект), то задачу о проникновении поля в

6

проводник можно свести к одномерной задаче. Для такого «плоского» случая решение упрощается.

Сильный скин-эффект

Пусть снаружи проводника имеется магнитное поле2, меняющееся по

цилиндра она направлена противоположно радиусу), и будем искать решение в виде

Оно означает, что амплитуда поля внутри цилиндра экспоненциально спадает, а его фаза линейно отстает от фазы на поверхности. Очевидно, что выражение (12), определяющее характерный масштаб ослабления поля в e раз, представляет собой толщину скин-слоя.

Электрическое поле, индуцированное в проводнике, можно найти, используя выражения (3) и (6), откуда получаем

2 Здесь и далее предполагается, что размеры системы значительно меньше длины волны электромагнитного поля λ 2πc / ω , то есть эффектами запаздывания можно пренебречь и рассматривать задачу как квазистационарную [1, с. 552].

7

Подставляя сюда решение (13), находим, что электрическое поле в «плоском» проводнике имеет только составляющую

перпендикулярную x и z и спадающую вглубь проводника с той же постоянной δ , что и магнитное поле. В случае цилиндра это означает, что силовые линии электрического поля Ey ≡ Eϕ замыкаются по окружности вокруг

оси.

Слабый скин-эффект

Экранирующие свойства проводника широко используются на практике для защиты приборов и устройств от переменных и импульсных магнитных и электрических полей, поэтому важно правильно понимать это явление. При анализе выражения (13) часто делается утверждение, что замкнутый пустотелый проводник эффективно экранирует переменное внешнее поле лишь при высоких частотах ω, для которых толщина скин-слоя значительно меньше толщины стенки: δ h . Это утверждение ошибочно, поскольку δ является не единственным параметром, определяющим ослабление поля в пустотелых проводниках. Действительно, при выводе выражений (13) и (14) с самого начала предполагалось, что δ h . В этом случае из решения выпадает такой параметр как радиус цилиндра R .

Решение для произвольного соотношения δ , h и R выражается специальными функциями и не очень удобно для простого анализа, поэтому для выяснения роли размеров цилиндра рассмотрим другой предельный случай:

однородны и полный азимутальный ток на единицу длины цилиндра равен I =σEϕh . Тогда циркуляцию магнитного поля по контуру L (рис. 2) с учетом направления индуцированного тока можно записать таким образом

h

Рис. 2. К расчету экранирования внешнего переменного магнитного поля проводящим цилиндрическим экраном.

Поскольку из второго условия (16) следует, что сечение стенки цилиндра значительно меньше сечения полости, то можно пренебречь магнитным потокам в стенке и записать теорему о циркуляции для электрического поля в виде:

9