Глава 4. Феноменологические модели механического поведения сплошных сред

4.1. Линейные модели.

Математическое моделирование поведения вязкоупругих сред одной из своих целей ставит обработку кривых ползучести (и релаксации напряжений) и определение таких механических характеристик, которые могли бы быть использованы в расчетах поведения сред в заданных условиях нагружения или деформирования. Теория линейной вязкоупругости позволяет обрабатывать кривые ползучести в той области, в которой наблюдается линейная зависимость между напряжениями и деформациями. На рис.3.и показано, как определять такую область. В ней должно выполняться условие ₂/₁ = ₂/₁, например, если напряжение ₂ в два раза превышает ₁, то в любой момент времени деформация, соответствующая первому напряжению (₂), в два раза превышает деформацию ₁, соответствующую второму напряжению.

Линейные модели (математические и соответствующие им механические аналоги в виде набора пружин и демпферов) представляют, таким образом, простейший инструмент исследователя и инженера, сталкивающегося с описанием поведения упруго - пластичных сплошных сред и проведением расчетов напряженного и деформированного состояния.

Модель Максвелла Максвелл обратил внимание на то, что в природе существуют тела, сочетающие в себе свойства упругости и вязкости. При быстром нагружении они мало деформируются и стремятся упруго восстановить свою форму, их механическое противодействие при быстром нагружении пропорционально деформации, т.е. выполняется закон Гука:

 = Е 

При медленном нагружении эти тела проявляют способность к течению, как жидкости. Причем скорости деформации прямо пропорциональны приложенному напряжению

= /

где  – коэффициент -линейной вязкости.

В отличие от сдвиговой вязкости коэффициент пропорциональности  связывает линейные деформации , и нормальные напряжения . Связь между линейной и сдвиговой вязкостями будет установлена в дальнейшем. Естественна попытка описать деформацию указанных тел путем комбинации двух моделей - модели Ньютона и модели Гука. Реально можно себе представить такую модель как соединение идеально упругой пружины и демпфера, то есть тела, погруженного в вязкую жидкость (или поршня, смоченного вязкой жидкостью), течение которой подчиняется закону Ньютона, см.рис.4.1.

Таким образом, для установления соотношений, определяющих состояние сплошной среды вязкоупругого тела при механическом нагружении, будем рассматривать такую среду как комбинацию разных областей, одни из которых подчиняются закону Гука, другие - закону Ньютона и соединенных последовательно. Исходя из такой предпосылки, подучим уравнение состояния Максвелла.

Благодаря тому, что оба элемента модели соединены последовательно, напряжение в вязком элементе будет таким же как и на упругом, т.е.

_в = _у = 

Это уравнение отражает статическую сторону задачи. Рассмотрим геометрическую сторону и составим уравнение совместности деформаций. Очевидно, что сразу после приложения нагрузки произойдет упругая деформация пружины, а затем в течение всего времени действия силы будет развиваться вязкое течение. В любой момент времени, следовательно,

_общ = _у + _в =  (4.1)

где индексы "в", "у", "общ" соответствуют "вязкой", "упругой" и "общей" составляющим деформации и напряжений. Для пружины согласно закону Гука _у = _у/Е = /Е, где Е - модуль упругости, 1/E - податливость пружины.

Скорость изменения упругой составляющей деформации определяется скоростью изменения напряжения. В результате дифференцирования правой и левой части последнего уравнения имеем

_у = /Е (4.2)

В то же время скорость изменения деформации вязкого элемента по закону Ньютона пропорциональна:

_в = / (4.3)

Дифференцируя уравнение (4.1) и пользуясь формулами (4.2) и (4.3), выведем уравнение состояния Максвелла:

= /Е +/

Или

 + _р=(4.4)

где _р = /Е - постоянная, которая носит название времени релаксации напряжений и имеет размерность времени (не путать с касательными напряжениями).

Уравнение Максвелла представляет собой дифференциальное уравнение, для решения которого необходимо иметь начальное условие. Такое условие определяется по-разному в зависимости от поставленной задачи. Приведем конкретные примеры решения уравнения Максвелла. Посмотрим, как это уравнение описывает процесс релаксации напряжений при деформации, поддерживаемой на одном постоянном уровне  = const.

В этом случае = 0, и уравнение (4.4) принимает вид

 + _р= 0 (4.5)

Интеграл дифференциального уравнения (4.5) записывает в форме

 = c exp(-t/_р) (4.6)

Значение постоянной c находим из начального условия  = ₀ при t = 0. Тогда c = ₀ и

 = ₀ exp(-t/_р) = ₀ exp(-Et/_р) (4.7)

Из этого выражения видно, что _р представляет собой время релаксации напряжений в образце, то есть время, за которое напряжение  по сравнении ₀ уменьшится в е раз. В самом деде, при t = _р

 = ₀/e

Из уравнения (4.7) следует, что при t  _р напряжение релаксирует до нуля. Такое уменьшение напряжений при релаксации показано на рис.3.17 (кривая 2) и соответствует экспериментальным данным для многих полимерных веществ при небольших нагрузках.

Рассмотрим, как уравнение Максвелла описывает явление ползучести. При условии =const изменение напряжений во времени = 0, и тогда из уравнения Максвелла (4.4) получаем

 = (4.8)

что тождественно совпадает с законом Ньютона и выражает тот факт, что в материале происходит вязкое течение во все времена действия постоянного напряжения.

Уравнение (4.8) при постоянном напряжении определяет постоянную скорость деформации. Разрешая это уравнение относительно , получаем

t/ + c = 

где c - постоянная интегрирования. Пусть  = _м при t = 0, тогда c = _м и

t/ + _м = 

График этой зависимости изображен на рис.4.2. (AB)

Участок 0A соответствует моменту нагружения модели и деформации только упругого элемента. В этот момент деформация вязкого элемента не успевает развиться. Упругая деформация развивается в пружине мгновенно и соответствует условно мгновенной деформации реальной среды. Участок BC соответствует мгновенной деформации модели при разгрузке после снятия силы.

В частном случае, если _р  , то величиной  в уравнении (4.4) можно пренебречь по сравнению с _р, и тогда

_р=или/Е = 

получаем обычный закон Гука. Таким образом, при быстром нагружении среда Максвелла работает как упругая среда Гука.

Рассмотрим вопрос о том, как описать с помощью модели Максвелла обратное последействие, которое наступает после разгрузки в момент времени t = t₁. К моменту разгрузки деформация образца согласно (4.9) будет равна

(t₁) = t₁/ + _м (точка 6 )

На участке BC мгновенно происходит убыль деформации на величину _м. Далее при t>t₁  = = 0, а значит и = 0, следовательно деформация остается постояннойt₁/.

Модель Максвелла наиболее точно описывает явление релаксации, поэтому ее называют моделью релаксирующей среды. Однако для большинства материалов при достаточно больших нагрузках остаточное напряжение не равняется нулю, см. кривую I на рис.3.17, а принимает некоторое конечное значение. Поэтому модель Максвелла для них может рассматриваться как качественное приближение к реальным процессам релаксации, и возникает необходимость ее усовершенствования.

Модель Фойгта. Схема соединения элементов в модели Фойгта показана на рис.4.3.

В отличие от модели Максвелла величина удлинения здесь одинакова (для обоих элементов; что позволяет записать условие совместности деформаций в следующем виде:

_у = _в = 

Учитывая, что общее напряжение складывается из напряжений в упругом (_у) и вязком (_в) элементах, получим

 = _у + _в

Так как _у = Е_у, а _в = _в, подставляя эти значения в последнее уравнение, получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс деформации модели Фойгта

 = Е + 

Введем, как и ранее, обозначение _р = /Е, тогда получим

/Е =  + _р(4.10)

Проанализируем поведение этой модели на простейших случаях нагружения и деформирования. Рассмотрим случай ползучести при =const. Решение уравнения (4.10) складывается из решения однородного уравнения

 + _р= 0

которое имеет вид

 = c exp(-t/_р)

и частного решения

₁ = /Е,

то есть

 = /Е + c exp(-t/_р)

Если в начальный момент времени t = 0,  = 0, то

c = -/Е

и

 = /Е[1 - exp(-t/_р)] (4.11)

Из (4.11) видно, что относительная деформация  меняется во времени по экспоненциальному закону, приближаясь при t   к величине /Е, см. рис. 4.4.

При малых временах деформирование модели происходит только за счет движения поршня в цилиндре. При больших временах, когда упругая пружина полностью будет воспринимать растягивающее (или сжимающее) усилие, скорость деформации значительно уменьшится.

Исследуем явление обратного последействия. Представим себе, что в момент времени t=t₁ происходит разгрузка модели. К моменту t₁ образец получил деформацию

₁ = /Е[1 - exp(-t₁/_р)]

Для определения закона изменения (t) при t > t₁ необходимо положить в уравнении (4.10)  = 0. Решение однородного уравнения

 + _р= 0

имеет вид

 = b exp(-t/_р) (4.12)

Постоянную b определим из условия, что при t = t₁  = ₁ :

b exp(-t₁/_р) = /Е[1 - exp(-t₁/_р)]

Отсюда

b = /Е[exp(t₁/_р) - 1]

Тогда из (4.12) следует, что

 = /Е{exp[-(t - t₁)/_р] - exp(-t/_р)} (4.13)

График этого уравнения представлен на рис. 4.5.

Из уравнения (4.13) следует, что при t     0, то есть деформирование модели при разгрузке происходит с полным восстановлением начальных размеров. Модель Фойгта не описывает явления релаксации напряжений, т.к. при  = const  = Е = const.

Модель Максвелла-Томсона. Так как для большинства материалов при постоянном деформировании напряжения затухают во времени, приближаясь к некоторой постоянной величине, а с другой стороны почти во всех материалах наблюдается явление релаксации, то уравнения Максвелла и Фойгта не вполне точно соответствуют реальным материалам. Приблизиться к действительной картине поведения материалов под нагрузкой можно путем перехода к более сложным моделям, состоящим из упругих и вязких элементов. Одной из таких моделей является модель, подучившая название модели Максвелла-Томсона, см.рис.4.6.

Поведение этой модели подчиняется очевидным соотношениям:

_в = _у1; _в + _у1 = _у2 = ; _у1 + _у2 = ;

_в =  _в; _у1 = Е₁ _у1; _у2 = Е₂ _у2

В результате преобразований этих уравнений, как это было сделано ранее для других моделей, можно получить выражение

 + _р = E  + _р H (4.14)

Уравнение (4.14) является уравнением состояния среды Максвелла-Томсона и ее механической модели. Легко заметить, что параметр H в уравнении (4.14) представляет собой мгновенный модуль упругости, а Е - длительный модуль упругости, которые сравнительно просто определяются из опытных данных. В частных случаях из уравнения (4.14) получаются уравнения закона Гука и законы Ньютона. Уравнение (4.14) значительно лучше описывает явления ползучести и релаксации напряжений реальных тел, поэтому оно получило распространение в инженерных расчетах. Иногда его называют уравнением стандартного вязко - упругого тела.

Рассмотрим, как уравнение (4.14) описывает явление ползучести. При =const (решение его будет иметь вид

 = /Е + c exp[-Еt/(Н_р)] (4.15)

Взяв в качестве начального состояния материала условие  = /H найдем

c = (1/H – 1/E)

Тогда получим окончательно:

 = /Е + (1/H – 1/E) exp[-Еt/(Н_р)] (4.16)

График уравнения (4.16) представлен на рис.4.7. На том же рисунке показана кривая обратного последействия, получаемая из уравнения (4.14) следующим образом.

При мгновенной разгрузке модели из уравнения (4.15) следует, что при  = 0

 = c exp[-Еt/(Н_р)]

Если в момент разгрузки t = t₁ относительная имела значение ₁, а напряжение значение , то произойдет мгновенное уменьшение деформации до величины

(t₁) = ₁ - /H

Тогда постоянная интегрирования c = (₁ - /H) exp[Еt₁/(Н_р)], и в дальнейшем деформация будет изменяться по закону:

 = ( ₁ - /H) exp[-Е(t - t₁)/(Н_р)]

Отсюда видно, что деформация  при t   стремится к нулю. Рассматриваемая модель позволяет описать явление релаксации. При  = ₀ = const имеем

 + _р = E ₀

Если начальное напряжение  = ₀, то

 = E ₀ + (₀ - E ₀)exp(-t/_р) =

Отсюда видно, что при t   напряжение стремится к величине E ₀, что более соответствует поведению большинства материалов.

4.2. Определение параметров математических моделей по экспериментальным данным.

Самым простым способом является решение системы трех уравнений ползучести, которые долины удовлетворять трем произвольным точкам кривой ползучести. Решение этой системы позволяет всегда определить три неизвестных Е, Н и  модели Максвелла-Томсона. Для более простых моделей число неизвестных меньше. Недостатком такого подхода является то, что результат расчета может зависеть от выбора положения точек кривой ползучести.

Другой способ применим для материалов, кривые ползучести которых имеют четко выраженные участки мгновенных деформаций и успевают в течение опыта выйти на асимптоту. По величине мгновенной деформации модно определить модуль мгновенной упругости

Н = /_м

При равновесной деформации образца (при t  ) определяем модуль длительной упругости материала

Е = /_

Подставляя далее полученные значения в уравнение ползучести (4.16) и зная, что при некотором значении t₁ и =const деформация  = ₁, из него вычисляем время релаксации _р. Можно использовать следующий прием. Уравнение (4.16) запишем в виде

(t) = _м + (_ –_м) {1 - exp[-Еt/(Н_р)]}

Изменим масштаб времени, приняв t` = Еt/Н, тогда можно видеть

(t`) = <sub>м</sub> + (<sub></sub> –<sub>м</sub>) [1 – exp(-t`/_р)]

Подставляя теперь в решение t` = _р, получим

(t`) = _м + 0.632 (_ –_м)

Это обстоятельство удобно использовать для численного определения величины _р непосредственно по графику ползучести, полученному в опыте. Для этого следует по вертикали отложить отрезок, равный 0.632 от (_ –_м), см. рис. 4.8.

4.3. Механические модели, учитывающие явление пластичности.

В некоторых расчетах, например, при описании движения в каналах расплавов полимеров и стекол следует учитывать явление пластичности материала. Для описания поведения пластичных сред используют соответствующие реологические модели. Приведем некоторые из них. Модель Сен-Венана описывает поведение сыпучей среды при нагружении, см. рис. 4.9.

Справа показана диаграмма деформирования среды Сен-Венана. Если внешнее усилие меньше силы сухого трения, движения бруса не происходит. Движение модели Сен-Венана описывается двумя условиями:

при  < _т  = 0;

при   _т   0.

Модель Гука - Сен-Венана представляет собой последовательное соединение пружины и модели сухого трения, см. рис.4.10.

Связь между напряжениями и деформациями этой модели при нагружении устанавливается следующими соотношениями:

при  < _т  = /G

при   _т  > _т/G

Модели Сен-Венана и Гука - Сен-Венана не описывают кривых ползучести.

Модель Бингама представляет собой последовательное соединение моделей Ньютона, Сен-Венана и Гука, как показано на рис.4.11.

Для модели Бингама, имеющей большое практическое применение, справедливы следующие очевидные из предыдущего изложения соотношения:

при  < _т  = /G

при   _т  = _т + t,  = _т + _пл

При напряжениях больших, чем _т скорость течения определяется вязкостью элемента Ньютона

 =

Кривые ползучести среды Бингама показаны на рис.4.12 при различных уровнях напряжений (₁ > ₂ > ₃).

Помимо указанных моделей получают более сложные реологические модели путем соединения определенного числа простейших моделей Ньютона, Гука и Сен-Венана.