3.3. Октаэдрические напряжения

Рассмотрим напряженное состояние в системе главных осей x₁, x₂ и x₃. Проведем площадку, равнонаклоненную ко всем главным. В результате получим правильную пирамиду (рис.3.8).

Вычислим касательное и нормальное напряжения, действующие на этой площадке, называемой октаэдрической или площадкой результирующих напряжений в данной точке.

Три грани пирамиды являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с катетами, равными a. Площадь каждого из них: А = a²/2.

Все стороны октаэдрической площадки одинаковы: b = а. Ее площадь А₁ = b²/4 = a²/2. Следовательно А₁ = A.

Вычислим абсолютную величину результирующей силы от трех взаимно перпендикулярных напряжений ₁, ₂ и ₃:

F² = ₁²A² + ₂²A² + ₃²A² = (₁² + ₂² + ₃²)A² (3.15)

С другой стороны, она также равна совместному результату действия _окт и _окт:

F² = _окт²A₁² + _окт²A₁² = (_окт² + _окт²)A₁² (3.16)

Приравнивая (3.15) и (3.16), с учетом отношения площадей А и A₁ получим:

_окт² + _окт² = (₁² + ₂² + ₃²)A²/A₁² = (₁² + ₂² + ₃²)/3 = (3.17)

Вычислим _окт, для этого спроектируем силы на нормаль к октаэдрической площадке (рис.3.9). Для направляющих косинусов нормали справедливо соотношение:

cos²₁ + cos²₂ + cos²₃ = 1

В данном случае в силу симметрии они равны друг другу. Следовательно

cos²₁ = cos²₂ = cos²₃ = 1/3

и

cos _i = 1/(i = 1, 2, 3)

В результате проектирования на нормаль получим уравнение:

A₁ _окт = A ₁ cos ₁ + A ₂ cos ₂ + A ₃ cos ₃ (3.18)

которое перепишем с учетом значения площади А₁ и направляющих косинусов:

A _окт = A ₁ /+ A₂ /+ A₃ /(3.19)

Отсюда:

_окт = (₁ + ₂ + ₃)/3 = (3.20)

Таким образом, нормальное напряжение на октаэдрической площадке равняется среднему нормальному напряжению для данной точки.

Для касательного напряжения на октаэдрической площадке из соотношений (3.17), (3.20) получим выражение:

_окт² = - ()² = (₁² + ₂² + ₃²)/3 - (₁ + ₂ + ₃)²/9 =

(₁² + ₂² + ₃² - ₁₂ - ₂₃ - ₁₃) (3.21)

Откуда

_окт = =

= /3 (3.22)

Полученные октаэдрические (нормальное и касательное) напряжения одинаковы для всех восьми площадок, которые можно провести во всех октантах. Совокупность этих площадок образует замкнутую восьмигранную фигуру - октаэдр (рис. 3.10).

В теории пластичности октаэдрическое касательное напряжение является основным, определяющим характер развития пластических деформаций.

Выражение (3.22) остается справедливым и для одноосного состояния, причем соответствующее напряжение называется эквивалентным:

_окт = _экв (3.23)

В курсе сопротивления материалов этому напряжению соответствует величина, вычисленная с помощью теории энергии формоизменения

_экв = _окт = (3.24)

3.4. Шаровой тензор и тензор-девиатор

Наблюдения показывают, что прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, но и от характера напряженного состояния.

Большинство твердых тел противостоит без разрушения действию одинакового всестороннего сжатия, то же относится и к небольшому всестороннему растяжению. Однако тела иногда разрушаются при сравнительно невысоких напряжениях, если они в основном изменяют форму тела (сдвиг или разные по знаку нормальные напряжения на гранях).

Следовательно, необходимо разделить компоненты напряжений, связанные с изменением объема, и компоненты, связанные с изменением формы. Представим тензор напряжений в виде суммы двух слагаемых:

Т_н = Т_н° + D_н (3.25)

Здесь Т_н° - шаровой тензор напряжений, характеризующий объемную деформацию в данной точке:

Т_н° = (3.26)

Действительно, среднее напряжение совпадает с нормальным октаэдрическим, которое одинаково на всех гранях октаэдра и, следовательно, описывает равномерное сжатие или расширение в зависимости от знака. Можно показать, что сумма трех нормальных напряжений является инвариантом, т.е. не зависит от выбора осей, поэтому

= (₁ + ₂ + ₃)/3 = (_x + _y + _z)/3

Вычитанием из тензора напряжений шарового тензора получим тензор D_н, именуемый тензор–девиатор, или девиатор напряжений:

D_н = (3.2)

Этот тензор характеризует формоизменение в окрестности данной точки.

3.5. Тензор деформации

Деформация любого элементарного объема тела может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие. В случае элементарного параллелепипеда можно говорить о шести составляющих деформации: о трех линейных составляющих (удлинения ребер) и трех угловых (сдвиг).

Относительные удлинения ребер (деформации первого рода) будем обозначать буквой  с индексом, указывающим направление удлинения (удлинение вдоль оси y изображено на рис.3.11). Положительными линейными деформациями будем считать удлинения, отрицательными -укорочения.

При деформациях первого рода изменяются объем параллелепипеда и его форма, последняя изменяется при разных величинах деформации по разным осям.

Положительному сдвигу (деформация второго рода) соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение этого угла. Углы сдвига (относительные сдвиги), проектирующиеся на плоскость xy, обозначаем _ху (или _уx), на плоскости yz и zx - соответственно _уz (_zy) и _zx (_xz)

На рис. 3.12 изображён для примера угол _уz.

При углах сдвига, пренебрежимо малых по сравнению с единицей, а именно такие углы предполагаются в теории упругости, можно считать, что ребра не получили удлинений, и объем параллелепипеда не изменился. Таким образом, при деформациях сдвига меняется лишь форма элементарного параллелепипеда.

Если первоначальный размер всех ребер параллелепипеда принять равным единице (значит, и объем такого кубика равен единице), то приращение объема вследствие одновременного действия трех линейных составляющих деформации будет равно:

 = (1 + _x) (1 + _y) (1 + _z) – 1 (3.28)

Если считать относительные удлинения пренебрежимо малыми по сравнению с единицей (что также предполагается в теории упругости), то, раскрывая скобки и пренебрегая членами второго и третьего порядка малости в (3.28), получим:

 = _x + _y + _z (3.29)

т.е. относительная объемная деформация в точке равна сумме относительных удлинений по трем взаимно перпендикулярным направлениям, проведенным через заданную точку.

Остановимся подробнее на обозначении углов сдвига (рис.3.13)

Деформация (_уx или _ху), изображенная на рис.3.13 а) и б), так же как связанное с ней напряженное состояние в обоих случаях одинаковы, поскольку от а) можно перейти к б) жестким поворотом (без всякого усилия и деформации элементарного параллелепипеда) на угол _уx.

Случаям а) и б) совершенно эквивалентен случай, изображенный на рис.3.13 в), полученный жестким поворотом а) на угол _уx. Для дальнейшего деформацию сдвига будет удобно изображать именно по этой схеме.

Подчеркнем еще раз взаимность сдвигов

_ху = _уx; _уz = _zy и _zx = _xz (3.30)

Так же как и в случае напряжений, все компоненты деформации могут быть записаны в виде матрицы, называемой тензором деформаций:

T_Д = (3.31)

В силу соотношений (3.30) этот тензор симметричен и имеет шесть независимых компонент. Сумма диагональных элементов представляет собой относительную объемную деформацию, которая не зависит от ориентации элементарного параллелепипеда относительно координатных осей и формы элементарного объема и является инвариантом. Введем обозначение для средней деформации

= (_x + _y + _z)/3 = /3 (3.32)

Поскольку она пропорциональна инварианту относительной объемной деформации, то можно, как и для напряжений, определить шаровой тензор деформации

Т_Д° = (3.33)

Этот тензор определяет объемную деформацию в точке. Вычитая шаровой тензор из полного тензора деформации, получим девиатор деформации

D_Д = (3.34)

который определяет деформацию формоизменения.

Сумма шарового тензора и девиатора дает полный тензор деформации

T_Д = Т_Д° + D_Д (3.35)