Глава 3. Основные закономерности деформирования твердого тела

3.1. Тензор напряжений

Выделим в окрестности некоторой точки сплошной среда, на которую действуют внешние силы, элементарный параллелепипед (рис.3.1) Изобразим на его гранях вдоль координатных осей нормальные и касательные напряжения. При этом учтем, что проекция внутренней силы на плоскость грани может быть разложена на две составляющие, и, соответственно, на каждой грани будет две компоненты касательных напряжений.

Нормальным напряжениям придадим индекс, указывающий на ось, параллельно которой направлено это напряжение (одновременно это будет и обозначением нормали к площадке, на которой рассматривается напряжение). Касательным напряжениям придадим два индекса, первый из которых указывает направление оси, параллельной данному напряжению, а второй - направление нормали к данной грани. Для равновесия соответствующие напряжения на противоположных гранях должны быть равны и противоположно направлены.

Таким образом, напряженное состояние в точке описывается девятью величинами: тремя нормальными напряжениями _x, _y и _z и шестью касательными _xy, _yx, _xz, _zx, _yz и _zy. Однако, требование отсутствия вращения элементарного параллелепипеда (равенство нулю суммы моментов сил, соответствующих касательным напряжениям) приводит к закону парности касательных напряжений

_xy = _yx, _xz = _zx, _yz = _zy (3.1)

Следовательно, независимых компонент напряжений будет только шесть. Все компоненты записываются в виде матрицы, которая называется тензором напряжений:

T_H = (3.2)

В силу соотношений (3.1) этот тензор симметричный. Его задание однозначно определяет напряженное состояние в данной точке.

Если на одной из трех пар противоположных граней параллелепипеда отсутствуют напряжения, то такое состояние называется плоским напряженным состоянием (рис.3.2). В этом случае все напряжения, имеющие индекс z обращаются в ноль _z = _xz = _zx = _yz = _zy=0, а остальные лежат в плоскости xy. Тензор напряжений запишется в виде:

T_H =

Его можно записать тензором в двумерном пространстве:

T_H = (3.3)

3.2. Главные напряжения

Величины компонент тензора напряжении зависят от ориентации в пространстве граней элементарного параллелепипеда. Тремя последовательными поворотами в пространстве можно добиться, чтобы все касательные напряжения (а их как раз три различных) обратились в ноль. Площадки. на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие на этих площадках, называются главными напряжениями, и, наконец, оси координат, перпендикулярные к главным площадкам и, соответственно, параллельные главным напряжениям, называются главными осями. В этих осях тензор инерции диагонален

T_H = (3.4)

Главные напряжения записываются в буквенных обозначениях с цифровыми индексами по следующему правилу:

₃  ₂  ₁ (3.5)

Процедура проведения произвольного тензора к главным осям достаточно громоздка, поэтому мы рассмотрим ее на примере плоского напряженного состояния. В этом случае на гранях, параллельных плоскости xy, касательные напряжения отсутствуют, следовательно, они уже являются главными площадками. Нам осталось повернуть параллелепипед вокруг оси z, чтобы и остальные грани стали главными площадками, т.е. чтобы касательные напряжения _xy = _yx на этих гранях обратились в ноль. Изобразим на плоскости xy сечение параллелепипеда, в котором действуют напряжения (рис.3.3) Положим _xy = _yx = . Найдем зависимость напряжений в наклонной площадке, составляющей с осью x угол , от заданных напряжений _x, _y и , а также от угла поворота . Для этого составим уравнения равновесия отсекаемой этой площадкой от параллелепипеда треугольной призмы (рис.3.4). Напряжения на наклонной площадке обозначим _ и _, а ее площадь – А. Площадь граней ab и cb будет соответственно равна А cos  и А sin . Тогда, проектируя силы, соответствующие напряжениям, на ось X, будем иметь:

X=_A+ sinAsin+_xcosAsin- cosAcos-_ysinAcos =0 (3.6)

Отсюда касательное напряжение на наклонной площадке будет равно:

_= ( cos² - sin²) + 2sin cos =

=  cos2 + sin2 (3.7)

Проекция сил на ось Y приведет к соотношению:

Y=_A+ cosAsin-_xsinAsin+ sinAcos-_ycosAcos=0 (3.8)

Из (3.8) получим выражение для нормального напряжения на наклонной площадке:

_=-2 sin cos + _xsin² + _ycos² = -  sin2 + (1-cos2)+(1+cos2) =

= -  sin2 + +cos2 (3.9)

Построим график зависимости _(_) , которая параметрически (параметром является угол ) определяется уравнениями (3.7) и (3.9). Таким графиком будет окружность с центром на оси _ на расстоянии от начала координат и радиусом r =(рис.3.5). Напряжения_y и , определяющие состояние на горизонтальной площадке ab, дают координаты точки M₀ на окружности, соответствующие  = 0. Напряжения _ и _ на площадке ac, повернутой на угол  относительно ab, определяют точку M_ на окружности, являющуюся концом радиуса OM_, повернутого на угол 2 относительно ОM₀.

Графическое построение, изображенное на рис.3.5, называют кругом Мора. С его помощью можно получить целый ряд соотношений.

Точки пересечения окружности о осью _ дают главные напряжения, так как при этом _ = 0. Очевидно, что эти напряжения являются минимальным и максимальным из всех нормальных напряжений, которые действуют на площадках, повернутых на различные углы 0    180°. Следовательно, они являются общей характеристикой для всех возможных ориентации элементарного параллелепипеда, т.е. главные напряжения характеризуют напряженное состояние в данной точке.

Из графика легко найдем выражения для главных напряжений через первоначально заданные величины _x, _y и :

_max = + r =+(3.10)

_min = - r =-(3.11)

А также угол _г на который следует повернуть по часовой стрелке параллелепипед, чтобы его грани стали главными площадкам:

_г = arctg(3.12)

Заметим, что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных:

_max = r = =(3.13)

При этом из рисунка 3.5 видно, что радиус ОК, соответствующий _max, повернут на угол 2 = 90° относительно оси _, на которой лежат точки, определяющие главные площадки. Таким образом максимальные касательные напряжения действуют вдоль граней, повернутых на угол  = 45° относительно главных площадок.

В общем случае трех главных напряжений ₁, ₂ и ₃ (рис.3.6) будем иметь три окружности состояний (рис.3.7), каждая из которых отвечает площадкам, получающийся вращением элементарного параллелепипеда вокруг одной из главных осей.

Состояния, получающиеся последовательным вращением вокруг двух или трех осей, лежат в заштрихованной области. Одновременные значения касательных и нормальных напряжений, определяемые точками вне заштрихованной области, не могут быть достигнуты никакими вращениями.

Из рис.3.7 следует:

_max = (3.14)

При этом площадки, в которых действуют максимальные касательные напряжения, параллельны ₂ и направлены под углами, равными 45°, к ₁ и ₃.