Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3_TransferFunctrion_OpAmsApps

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

252.74 Кб

Скачать

☆

МАЛОСИГНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСИЛИТЕЛЕЙ

Общее положение, применяемое к любым усилителям, имеющим достаточно высокий коэффициент усиления: размах входного сигнала, как правило, много

меньше постоянного смещения на входе (т. е. постоянной составляющей входного напряжения, жизненно необходимого для любого усилителя, для того, чтобы при заданных характеристиках нагрузки рабочая точка на выходе находилась в середи-

не диапазона изменения выходного сигнала). При этом изменение крутизны входного транзистора много меньше её значения при наличии на входе только постоян-

ного смещения. Можно сказать, что крутизна входного транзистора в каскаде с достаточно высоким коэффициентом усиления постоянна и не зависит от входного напряжения. Такой режим работы усилителя называется режимом малого

входного сигнала.

Работа (необязательно усилителя) в режиме малого сигнала означает неза-

висимость как крутизны, так и других параметров схемы от входного сигнала. По-

следнее же по определению означает, что работу нелинейной системы в режи-

ме малого сигнала можно анализировать методами, предназначенными для анализа ЛИНЕЙНЫХ схем. Этот метод уже применялся выше для получения передаточных функций систем решающих систем на основе ОУ. Правомерность

использования преобразования Лапласа, т.е. аппарата анализа линейных систем,

обусловлена, во – первых, использованием в «обвязке» ОУ линейных компонентов (резисторов и конденсаторов) и, во – вторых, требованием весьма большого коэффициента К0 усиления ОУ. При выполнении второго требования даже наличие

зависимости К0 от сигнала, т.е. нелинейность ОУ, образует относительную по-

грешность результата не более, чем на 1 , и, увеличивая величину К0 , можно по-

грешность, вносимую применением преобразования Лапласа, сделать допустимо малой. Наконец, использование при анализе не просто МАЛОГО входного сигнала,

а БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО входного сигнала В ПРИНЦИПЕ устраняет возможность

любой нелинейности, и применение преобразования Лапласа является корректным.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ.

Согласно определению линейной системы, ее реакция на входной сигнал не

зависит от величины сигнала. Вследствие этого, отношение сигнала VВЫХ на вы-

ходе какой – либо линейной системы к входному VВХ , называемое передаточной

функцией, полностью характеризует систему. Поскольку для линейных систем общепринятым аппаратом анализа является преобразование Лапласа, то принято

входной сигнал VВХ (s) , выходной сигнал VВЫХ (s) и, следовательно, передаточную

функцию H (s) выражать в функции от s:

H (S ) =

(S )

b S m + b

S m−1

+ ... + b

ВЫХ

m−1

an S n + an−1S n−1 + ... + a0

V ВХ (S )

( n1)

A( n1) s+

A( n1)

i=1

i(1)

i(0)

во временной

области

соответствует

сумме

экспонент типа Τ

е− t / τ

n 2

( n 2)

Bk (1)

Bk (0)

(1.9)

A( n 2) s2

A( n 2)

s+ 1

k =1

k ( 2)

k (1)

во временной области

соответствует

сумме

слагаемых типа Τ

− t / τ

Sin(ω+t α

)

Из теории линейных цепей известно, что количество полюсов системы равно количеству в ней узлов. Практически же любая схема ОУ содержит более десятка ком-

понентов и так же достаточно много узлов и, следовательно, полюсов.

Будем под «системой» подразумевать операционный усилитель (ОУ).

Известно, что в подавляющем числе случаев ОУ используется в схемах с обратны-

ми связями (в качестве примера - повторитель на Рис. 1-5). В этом случае критич-
Вх	Вых	ным фактором является задержка фазы в петле «инверти-
		рующий вход» - «выход» - «инвертирующий вход» и зави-
		симость ее от частоты. Сигналы с частотами, близкими к

		нулю, для которых можно пренебречь инерционностью
		процессов внутри ОУ и, соответственно, отсутствует час-
		тотозависимое отставание фазы, на пути «инвертирую
			щий вход» - «выход» изменяют фазу на 180О.
Рис.1-5. Повторитель

При увеличении частоты к имеющемуся сдвигу фазы в 180О добавляется отставание фазы, определяемое инерционностью про-

цессов внутри ОУ. При достаточно большом отставании фазы, приближающемся к 180О, общий сдвиг фазы в цепи обратной связи приближается к 360О, что в лучшем случае ухудшает переходные характеристики ОУ (в передаточной характеристике

появляются комплексные полюса, поэтому во временной области появляются колебательные компоненты), а в худшем – нарушает устойчивость его работы. Разница между предельным сдвигом фазы (равном 360О) и фактическим (между 270О и

360О) называется «запасом фазы». Очевидно, что чем больше частота, тем меньше

запас фазы. Величина запаса фазы критична только на частотах, когда усиление ОУ еще больше единицы, т.е. для частот ω <ω E , где ω E - круговая частота,

при которой модуль коэффициента усиления равен единице. Полностью неприем-

лемым является случай, когда при ω =ω	E запас фазы равен нулю. При этом в
		B
выражении (1.7) существует хотя бы одно слагаемое типа			(во временной
		S2 + A2
области соответствует слагаемому типа Ω	Sin(ω t) ) и наблюдаются незатухаю-

щие колебания с частотой, определяемой конкретной схемой ОУ и частотными характеристиками элементов. Идеальной с точки зрения качества характеристик

ОУ является его передаточная функция типа	H (s) =	∏	n	Ki	= K	n	1		с
				Ki			1
				A s+ 1			A s+	1
				A s+ 1	∏0	i=1	A s+	1
		i=1		i		i=1	i
действительными полюсами ( Ki - коэффициенты усиления последовательно
включенных субсистем 1–го порядка, K0 = ∏n	Ki ). В этом случае систему вполне
i=1

корректно представить как совокупность пассивных интегрирующих RC-цепочек, разделенных идеальными буферами с единичным усилением. (Рис.1.6). Очевидно, что в разомкнутой подобной системе никаких проблем с устойчивостью нет. Про-

блемы возникают только в схемах с обратной связью.

Вх Ko	1		R2		RN		Вых
	R	1		1		1
	С1	1		1		1

Рис.1.6. Эквивалентное представление многополюсной системы без обратных связей с многими ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ полюсами.

			Lg(ω	)
ω 1	ω H1	ω H 2	…..
Рис.1.7. ЛАЧХ многополюсной системы
	с действительными полюсами

Основные усилия разработчиков

ОУ направлены на разработку та-

ких схем, при которых ОУ можно представить эквивалентной схемой на Рис.1.6.

Типичный вид ЛАЧХ подобной системы приведен на Рис.1.7. Известно, что усилительная система как

минимум второго порядка на высоких частотах имеет сдвиг фазы,

приближающийся к 180О, что при достаточно высоком коэффициенте отрицательной обратной связи яв-

ляется достаточным условием как нежелательных колебаний в переходном процессе, так и появления незатухающих колебаний.

Проведем анализ системы с действительными полюсами при следующем предположении, упрощающем математические выкладки: выделим особо самый низ-

кочастотный полюс, называемый основным, с собственной частотой ω	1 , ос-
тальные же, более высокочастотные полюса, с частотами ω H1, ω H 2 ,	... , на-

зываемые неосновными, заменим одним, эффективным неосновным полю-

сом, с собственной частотой ω эфф , и имеющим такой же эффект влияния на

фазу системы, как от всех заменяемых им неосновных полюсов.

Имея это в виду, рассмотрим подробнее усилительную систему с передаточной

функцией

H (s) в разомкнутом состоянии и с передаточной функцией Hβ (s) при

наличии отрицательной обратной связи с коэффициентом β

(s) :

Пусть Hβ (s) =

H (s)

;

H (s) =

(1.10)

1+ β

(s) * H (s)

pэфф

где

p1 =

и pэфф =

- действительные

полюса, а полюс

имеет наи-

R1C1

RэффCэфф

низшую собственную частоту ω

1 =

Сi

- соответственно выход-

R C

(s) ≡ β

ные сопротивление и емкость i – го узла. Пусть для простотыβ

=const -

действительное число.

Подставляя выражение для H (s) в выражение для

Hβ (s) с учетом выражений для

по и p2 , получаем:

Hβ (s) =

K0 +1

(1.12)

(R1C1 ) + (RэффCэфф)

(R1C1 )(RэффCэфф)

1+ s

+ s2

β K0 +1

Исследуем условия, при которых Hβ (s) имеет действительные полюса.

Пусть

(R1C1 ) = M (RэффCэфф ) . Тогда дискриминант квадратного уравнения от-

носительно s в знаменателе Hβ (s) положителен при

M +

≥ 4

β K + 2

(1.13)

Пусть M >> 1 и β K0 >> 1.

Тогда из (1.13) следует, что M ≥

4β K0 , а если

β = 1 ,

то

M ≥ 4K0

(1.14) .

Итак, для того, чтобы система с отрицательной обратной связью имела действи-

тельные полюса, необходимо, чтобы:

• полюса очень сильно отличались по частоте, т.е.

p	эфф	≡ ω	эфф	=	1			>> p ≡ ω	=	1	;
					R	C				R C
							эфф	1	1
					эфф					1 1

• второй, более высокочастотный, эффективный неосновной полюс имел соб-

ственную частоту ω	эфф , на которой ω эфф ≥ 4ω E (при условии β ≥ 1).
Здесь ω E = 2π fE	- частота единичного усиления.

Неизбежный вывод: все неосновные полюса операционного усилителя со всеми действительными полюсами должны иметь собственные частоты при усилении, меньшем единицы!

МЕТОДИКА ЗАМЕНЫ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ НЕОСНОВНЫХ ПОЛЮСОВ ОДНИМ «ЭФФЕКТИВНЫМ» НЕОСНОВНЫМ ПОЛЮСОМ

Пусть в ОУ кроме основного полюса p1

имеются два неосновных, p2 и p3 :

H (s) =

(1.15)

Рассмотрим произведение 1

Поскольку расматривается СТА-

ЦИОНАРНАЯ ситуация, то s = jω

, и произведение равно

ω 2

F(ω

) 1 + ωj

F(ω

) = 1 −

)

ω 1 *ω

3 Fω (

где

2 .

Пусть ω

= m *ω

= m

*ω

. Тогда F(ω

E ) =

1 −

m1 * m2

Поскольку m1

больше единицы в несколько раз,

то произведение

m1 * m2 >> 1 ,

F(ω

E ) ≈

1 . Отсюда следует, что на критичной частоте

1 +

произведение

1 +

, где

ω ω E

заменяется на

pэфф

≡

(1.16a) .

pэфф

эфф

Доказательство легко распространить на большее количество полюсов, а также на случай наличия НУЛЕЙ на частотах ω Z >ω E .

Предлагаем без доказательства утверждение:

	1		Np	1	Nzp	1	Nzn	1	(1.16б)
		=			+		−			.
ω		=			+		−
ω	эфф		ω	pi	ω	zpi	ω	zni
	эфф		i=1	pi	i=1	zpi	i=1	zni

Здесь:

ω pi - круговая частота i – го неосновного полюса;

zpi - круговая частота i – го нуля в ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ полуплоскости;

zni - круговая частота i – го нуля в ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ полуплоскости.

Противоположное влияние на ω эфф нулей в положительной и отрицательной полу-

плоскостях отражает тот факт, что при наличии нулей в отрицательной полуплоско-

сти система является минимальнофазовой и наоборот, при нулях в положительной полуплоскости система неминимальнофазовая (повторить Теорию Линейных

Цепей)

РАСЧЕТ ЗАПАСА ФАЗЫ ОУ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ПОЛЮСАМИ

Передаточная функцией ОУ является комплексное число: H (s) = A + jB . Фаза φ

этого числа:

φ =

. Запас фазы РМ есть PM = 180O

−φ . Для расчета РМ

передаточная функция представляется в виде H ( jω ) =

1 + j

+ j

эфф

где значение ω эфф рассчитывается согласно (1.16).

Итак:

			− j		ω				− j		ω
		1					1

				ω		1				ω
H ( jω	) = K0										эфф	(1.17)
			1 +	ω		2		1	+ ω		2


						2					2
				ω					ω
						1					эфф

				ω	E		+ω	E
					E		+ω	E
tgϕ	ω =ω E	=		ω	1		ω	эфф
				ω	1		ω	эфф
			1 −				ω	2
								2
								Е
						ω 1 ω		эфф

Учтем, что

1 =

= m

E , подставляем в (1.17), вы-

эфф

деляем действительную и мнимую части комплексной передаточной функции

H ( jω ) и сокращаем на ω

E .

K0 +

tgϕ

=ω

mэфф

В этом случае

1 −

K0 .

mэфф

Поскольку K0 ,

как правило, значительно больше 1000, а mэфф < 10 то

tgϕ

ω =ω E

≈

−

mэфф

(1.18) .

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО УСИЛИТЕЛЯ КАК БАЗОВОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УЗЛА СИСТЕМ АНАЛОГОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛА.

Операционный усилитель (ОУ) является ядром схем, выполняющих матема-

тические операции с аналоговыми сигналами. Приведем простые примеры использования ОУ в решающих системах и получения с помощью уравнений Кирхгофа передаточных функций этих систем. Пусть ОУ имеют конечные дифференциальные коэффициенты усиления К0 .

НЕИНВЕРТИРУЮЩИЙ УСИЛИТЕЛЬ

ВХ

ВЫХ

VВЫХ (s) = K0 [VВХ (s) −VA

(s)]

(1.1)

VA (s) = VВЫХ (s)

+ R2

Рис.1-1. Неинвертирующий

усилитель

H (s) = VВЫХ (s)

(1.2)

Решая систему, получаем:

V (s)

ВХ

+ R

Если же К0 >>1, то

H (s) ≈ 1+

(1.3)

АКТИВНЫЙ ИНВЕРТИРУЮЩИЙ ИНТЕГРАТОР

Если К0 ∞ ,

то Vout(t) = −

Vin(t)dt

Или в s – области:

Vout(s) = −

Vin(s)

(1.4)

Рис.1-2.

Активный

инвертирующий интегратор

Если необходимо учитывать конечность величины К0 , система уравнений следую-

щая (все напряжения и токи – функции от s):

H (s) = −

≈

Vin −V

Отсюда

1 + sK

(RC)(1 +

)

= sC(VA −Vout)

(1.5)

VOUT

≈ −

(1.6)

VA = −

1 + sKO (RC)

Твердо запомнить содержание cледующего раздела:

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ПАССИВНОЙ ИНТЕГРИРУЮЩЕЙ RC ЦЕПОЧКИ

Рис.1.3. Пассивная интегрирующая RC цепочка

VIN −VOUT = sCVOUT .

Vin(t) −Vout(t)

= C

d(Vout)

Vout(t) =

Vin(t)dt +

Vout(t)dt

Или в s – области:

Отсюда

H (s) = VOUT (s)

(1.7)

+ s(RC)

VIN (s)

Определим модуль и фазу передаточной функции. Для этого переменная s заменяется на jω:

H ( jω ) =		1	=	1− jω (RC)	=		1	− j	ω RC
	1	+ jω (RC)		1+ω( RC)2		1+ω ( RC)2			1ω+ ( RC)2

ω =	1	Log(ω )
	RC

H ( jω

)

Log(

H(jω ))

-45

+ (ω CR)2

(1.8)

Phase

tgφ =ω (RC)

-900

Рис.1.5. Логарифмические Амплитудно-

Частотная Характеристика (ЛАЧХ) и

ФазоЧастотная Характеристика (ЛФЧХ)

Соседние файлы в папке PDF

#
05.06.2015258.01 Кб761_SimpleAmplifier.pdf
#
05.06.2015192.66 Кб732_SmallSignalCirCMOSAmp.pdf
#
05.06.2015252.74 Кб753_TransferFunctrion_OpAmsApps.pdf
#
05.06.2015363.2 Кб734_SC_Types.pdf
#
05.06.2015325.91 Кб745_ARC_SC_Biquad.pdf
#
05.06.2015404.43 Кб736_Noises.pdf
#
05.06.2015132.52 Кб747_Discretization_Z-TransferTheory.pdf
#
05.06.20151.05 Mб74KRUGLOV.pdf