1 семестр_1 / МА / МП-12_Николаев_Олег_Практ_11 / Prakt_11_Gimadutdinov_MP-17
.docxОтчет к практикуму 11.
Исследование функций и построение графиков
|
Нахождение нулей функции |
|
Минимизация функций. Нахождение точек перегиба |
Упражнение 1. Найти корни уравнения
принадлежащие промежутку
Результаты сохранить в текстовом файле.
>> ezplot('sin(x)-x^2*cos(x)')
>> x1=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',-5) x1 = -4.7566
>> x2=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',0) x2 = 0
>> x3=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',-2) x3 = -1.8539
>> x4=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',5) x4 = 4.6665
SCRIPT (p11u1):
[F, mes]=fopen('p11u1.txt','w');
x=[x1;x2;x3;x4];
M=[x];
fprintf(F,'КОРНИ УРАВНЕНИЯ SIN(X)=X^2*COS(X)\r\n');
fprintf(F,' |%7.4f |\r\n',M);
fclose(F);
p11u1.txt
КОРНИ УРАВНЕНИЯ SIN(X)=X^2*COS(X)
|-4.7566 |
| 0.0000 |
|-1.8539 |
| 4.6665 |
Упражнение 2. Набрать в командном окне команды x1=fzero('cos',[-10,10]) и x1=fzero('sin',[-10,10]). Объяснить результат.
>> ezplot('cos(x)',[-10 10])
>> grid on; hold on
>> line([-10,0;10,0],[0,-1.25;0,1.25],'color','black')
>> ezplot('sin(x)',[-10 10])
>> grid on; hold on
>> line([-10,0;10,0],[0,-1.25;0,1.25],'color','black')
>> x1=fzero('cos',[-10,10])
??? Error using ==> fzero at 293
The function values at the interval endpoints must differ in
sign.
??? Ошибка использования ==> fzero при 293
Значения функции на интервале конечные точки должны отличаться
подписаться.
>> x1=fzero('sin',[-10,10])
x1 = 0
Упражнение 3. Найти все корни
уравнения
на отрезке
Ответ записать в текстовый файл.
SCRIPT (p11u3):
ezplot('sin(x)-x^2*cos(x)',[-10 10])
grid on; hold on;
line([-10,0;10,0],[0,-50;0,100],'color','black')
x1=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',-8);
x2=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',-5);
x3=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',-2);
x4=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',0);
x5=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',5);
x6=fzero('sin(x)-x^2*cos(x)',8);
[F, mes]=fopen('p11u3.txt','w');
x=[x1;x2;x3;x4;x5;x6];
M=[x];
fprintf(F,'КОРНИ УРАВНЕНИЯ sin(x)-x^2*cos(x)=0\r\n На промежутке [-10 10]\r\n');
fprintf(F,' |%7.4f |\r\n',M);
fclose(F);
p11u3.txt:
КОРНИ УРАВНЕНИЯ sin(x)-x^2*cos(x)=0
На промежутке [-10 10]
|-7.8701 |
|-4.7566 |
|-1.8539 |
| 0.0000 |
| 4.6665 |
| 7.8377 |
Упражнение 4. Найти локальные
максимум и минимумы для функции
на промежутке
Ответ записать в текстовый файл.
Графики функций y=e^(-x)*sin(3*pi*x) и y=-e^(-x)*sin(3*pi*x)
SCRIPT (p11u4):
set(ezplot('-exp(-x)*sin(3*pi*x)',[0 2]),'color','green','LineWidth',2)
grid on; hold on;
set(ezplot('exp(-x)*sin(3*pi*x)',[0 2]),'color','red','LineWidth',2)
axis([0 2 -1 1])
syms x;
x1=fminbnd('-exp(-x)*sin(3*pi*x)',0.1,0.2);
x2=fminbnd('exp(-x)*sin(3*pi*x)',0.1,0.2);
x3=fminbnd('-exp(-x)*sin(3*pi*x)',0.8,0.9);
x4=fminbnd('exp(-x)*sin(3*pi*x)',0.8,0.9);
x5=fminbnd('-exp(-x)*sin(3*pi*x)',1.4,1.6);
x6=fminbnd('exp(-x)*sin(3*pi*x)',1.4,1.6);
[F, mes]=fopen('p11u4.txt','w');
x=[x1 x2;x3 x4;x5 x6];
M=[x];
fprintf(F,'ЛОКАЛЬНЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ e^(-x)*sin(3*pi*x)\r\n На промежутке [0;2]\r\n');
fprintf(F,' ___Max______Min___\r\n')
fprintf(F,' |%7.4f |%7.4f |\r\n',M);
fclose(F);
p11u3.txt:
ЛОКАЛЬНЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ e^(-x)*sin(3*pi*x)
На промежутке [0;2]
___Max______Min___
| 0.1554 | 0.8221 |
| 1.4888 | 0.1000 |
| 0.9000 | 1.5999 |
Упражнение 5. Найти точки перегиба для функций:
а)
на промежутке
б)
на промежутке
SCRIPT:
set(ezplot('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',[-10 10]),'color','green','LineWidth',2)
grid on; hold on; syms x;
set(ezplot('sin(x)-x^2*cos(x)',[-10 10]),'color','red','LineWidth',2)
axis([-10 10 -50 100])
x1=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',-8);
x2=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',-6);
x3=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',-3);
x4=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',-1);
x5=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',1);
x6=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',3);
x7=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',5);
x8=fzero('x^2*cos(x) - sin(x) - 2*cos(x) + 4*x*sin(x)',8);
x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8]
x =
-8.3253 -5.4058 -2.7161 -0.5154 0.6992 2.6576 5.3648 8.3025
Упражнение 6. Построить графики функции. Найти нули функции, точки экстремума и значения в них, точки перегиба, значения в них, значения тангенса угла наклона касательной в точке перегиба, найти односторонние пределы в точках разрыва, уравнения асимптот. Обозначить на графике экстремумы, построить касательные в окрестностях точек перегиба, асимптоты.
а)
б)
а)
set(ezplot('(x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)'),'color','red','LineWidth',2); %график функции
grid on; hold on;
line([-30,0;30,0],[0,-30;0,30],'color','black'); %оси координат
plot([1 1],[-30 30],'m:','LineWidth',2); %строим асимптоту
plot([-1 -1],[-30 30],'m:','LineWidth',2);%строим асимптоту
syms x;
k=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)/x,Inf);
b=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)-k*x,Inf);
x=[-6 7];
y=k*x+b;%уравнение асимптоты
plot(x,y,'m:','LineWidth',2);%строим асимптоту
legend('y',1)
text(2.1,4.3,'d1')
syms;
x1=fzero('(x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)',-0.5);
x2=fzero('(x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)',0);
x3=fzero('(x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)',4);
ZerosFunction=[x1 x2 x3] %точки пересечения графика функции с ОХ
d1=diff((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)); %находим первую производную функции
set(ezplot('(2*x*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(-3*x^2+6*x+3)/(x^2-1)'),'color','green','LineWidth',2); %график первой производной
xd11=fzero('(2*x*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(-3*x^2+6*x+3)/(x^2-1)',-1.5);
yd11=subs((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),xd11);
xd12=fzero('(2*x*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(-3*x^2+6*x+3)/(x^2-1)',0.5);
yd12=subs((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),xd12);
TochkiExtr=[xd11 yd11;xd12 yd12] %Находим координаты точек экстремума
plot(xd11,yd11,'*','LineWidth',3);
plot(xd12,yd12,'*','LineWidth',3);
d2=diff((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),2); %вторая производная функции
set(ezplot('(6*x-6)/(x^2-1)+(2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(8*x^2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^3+(4*x*(-3*x^2+6*x+3))/(x^2-1)^2'),'LineWidth',2); %график второй производной
text(2,-13,'d2')
xd21=fzero('(6*x-6)/(x^2-1)+(2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(8*x^2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^3+(4*x*(-3*x^2+6*x+3))/(x^2-1)^2',-3);
yd21=subs((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),xd21);
xd22=fzero('(6*x-6)/(x^2-1)+(2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^2-(8*x^2*(-x^3+3*x^2+3*x))/(x^2-1)^3+(4*x*(-3*x^2+6*x+3))/(x^2-1)^2',5);
yd22=subs((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),xd22); %Находим координаты точек перегиба
TochkiPeregiba=[xd21 yd21;xd22 yd22]
plot(xd21,yd21,'*r','LineWidth',3)
ezplot(1.0447*x-2.4879,[-6 0]);%строим касательную в точке перегиба1
axis([-5 6 -20 20]);
tg1=1.0447
title('y=(x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1)')
lim1=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),x,-1,'left')
lim2=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),x,-1,'right')
lim3=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),x,1,'left')
lim4=limit((x^3-3*x^2-3*x)/(x^2-1),x,1,'right') %находим пределы в точках разрыва
ZerosFunction =
-0.7913 0 3.7913 Нули функции
TochkiExtr =
-1.6044 -4.4718 В левом столбике координаты Х, в правом – координаты Y
-0.5114 -0.8340
TochkiPeregiba =
1.0e+015 *
-0.0000 -0.0000
0.0000 -5.6295
tg1 = 1.0447
lim1 = -Inf Предел в точке -1 (слева)
lim2 = Inf Предел в точке -1 (справа)
lim3 = Inf Предел в точке 1 (слева)
lim4= -Inf Предел в точке 1 (справа)
б)
Графики функции и её первой производной
Графики функции и её второй производной
TochkaExtr = 0; 0.3679
TochkiPeregiba =
-0.7598 0.0939
0.7598 0.0939
tg1 = 0.7984
tg2 = -0.7984
lim1 = Inf
lim2 = 0
lim3 = 0
lim4 = Inf
set(ezplot('exp(1/(x^2-1))'),'color','red','LineWidth',2); %график функции
grid on; hold on;
line([-30,0;30,0],[0,-30;0,30],'color','black'); %оси координат
plot([1 1],[-30 30],'m:','LineWidth',2); %строим асимптоту
plot([-1 -1],[-30 30],'m:','LineWidth',2);%строим асимптоту
syms x;
k=limit(exp(1/(x^2-1))/x,Inf);
b=limit(exp(1/(x^2-1))-k*x,Inf);
x=[-6 6];
y=k*x+b;%уравнение асимптоты
plot(x,y,'m:','LineWidth',2);%строим асимптоту
legend('y',1)
d1=diff('exp(1/(x^2-1))'); %находим первую производную функции
set(ezplot('-(2*x*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^2'),'color','green','LineWidth',2); %график первой производной
xd11=fzero('-(2*x*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^2',0);
yd11=subs('exp(1/(x^2-1))',xd11);
TochkaExtr=[xd11 yd11] %Находим координаты точек экстремума
plot(xd11,yd11,'*','LineWidth',3);
d2=diff('exp(1/(x^2-1))',2); %вторая производная функции
set(ezplot('(8*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^3 - (2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^2 + (4*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^4'),'LineWidth',2); %график второй производной
xd21=fzero('(8*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^3 - (2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^2 + (4*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^4',-0.75);
yd21=subs('exp(1/(x^2-1))',xd21);
xd22=fzero('(8*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^3 - (2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^2 + (4*x^2*exp(1/(x^2 - 1)))/(x^2 - 1)^4',0.75);
yd22=subs('exp(1/(x^2-1))',xd22); %Находим координаты точек перегиба
TochkiPeregiba=[xd21 yd21;xd22 yd22]
plot(xd21,yd21,'*r','LineWidth',3)
plot(xd22,yd22,'*r','LineWidth',3)
ezplot('0.7984*(x+0.7598)+0.0939',[-2 1]);%строим касательную в точке перегиба1
ezplot('-0.7984*(x-0.7598)+0.0939',[-1 2]);%строим касательную в точке перегиба2
axis([-3 3 -5 5]);
tg1=0.7984
tg2=-0.7984
title('y=exp(1/(x^2-1))')
syms x
lim1=limit('exp(1/(x^2-1))',x,-1,'left')
lim2=limit('exp(1/(x^2-1))',x,-1,'right')
lim3=limit('exp(1/(x^2-1))',x,1,'left')
lim4=limit('exp(1/(x^2-1))',x,1,'right') %находим пределы в точках разрыва