5.2. Гипербола

Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы через и, постоянную, о которой говорится в определении, – через. Тогда

гиперболе. (5.8)

Введем систему координат. Пусть ось проходит через точкии, ось– через середину отрезкаперпендикулярно оси.

Пусть (рис. 5.5).

Точка принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда

или

. (5.9)

Преобразуем (5.9). Дважды возведя в квадрат обе части и приведя подобные слагаемые, придем к равенству

. (5.10)

Вразность двух сторон меньше третьей стороны:, т.е.и . Тогда , обозначим. Уравнение (5.10) примет вид, или

. (5.11)

Пусть точка такова, чтоиудовлетворяют уравнению (5.11), тогда

, (5.12)

и имеем

.

Сравним абсолютные величины и .

Из уравнения (5.11) , т.е., тогда, отсюда.

Аналогичные преобразования дают

Таким образом,

или и точкапринадлежит гиперболе, следовательно, уравнение (5.11) – уравнение гиперболы.

Уравнение (5.11) называется каноническим уравнением гиперболы, числа ив уравнении (5.11) - соответственно «действительной» и «мнимой» полуосями гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Утверждение 3. Гипербола имеет две оси симметрии и центр симметрии.

Всамом деле, еслипринадлежит гиперболе, топринадлежит гиперболе (так каквходит в уравнение (5.11) в четной степени) ипринадлежит гиперболе (так каквходит в уравнение (5.11) в четной степени), но тогда ипринадлежит гиперболе, а это и означает, что гипербола симметрична относительно осейи, а также начала координат(рис. 5.6).

Определение 4. Две взаимно перпендикулярные оси симметрии гиперболы называются главными осями гиперболы, а центр симметрии - центром гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с одной из главных осей называются вершинами гиперболы: ,. Та из главных осей гиперболы, которая имеет с ней общие точки, называетсядействительной осью, другая – мнимой.

Замечание. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

Так как для точек гиперболы , в области(в полосе, ограниченной прямыми), точек гиперболы нет.

Как и для эллипса, прямоугольник, ограниченный прямыми и, называетсяосновным прямоугольником. Его диагонали задаются уравнениями .

Определение 5. Пусть для функции существует такая прямая, чтопри бесконечном удалении точкиот начала координат, тогда эта прямая называется асимптотой графика функции.

Утверждение 4. Прямые являются асимптотами гиперболы.

Ограничимся рассмотрением области ,(I четверть), так как имеет место осевая симметрия.

Из уравнения (5.11)

. (5.14)

Зафиксируем (рис. 5.7), точкалежит на гиперболе, а– на прямой,.

.

Имеем

,

следовательно, прии в соответствии с определением 5 прямая– асимптота гиперболы (5.11).

Построим гиперболу (5.11) в I четверти и затем воспользуемся установленной симметрией относительно осей и.

Из (5.14) следует, что при возрастании отдопеременнаявозрастает отдо.

Суммируя все приведенные соображения, получим «эскиз» гиперболы вначале в I четверти, а затем на всей плоскости (рис. 5.8).