2. Необходимый признак сходимости.

В приложениях обычно применяются сходящиеся ряды. Поэтому важно знать признаки, по которым можно было бы судить, сходится данный ряд или нет.

Попробуйте установить связь между поведением общего члена ряда на бесконечности и сходимостью ряда, опираясь на результаты выполнения упр. 1.

Подтверждают или опровергают ряды, рассмотренные в упр. 1, следующие гипотезы:

а) Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю при .

б) Если последовательность членов ряда стремится к нулю при , то ряд сходится?

Подтверждение Ваших предположений найдете на следующей странице.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при. Действительно, пусть ряд сходится, т.е. последовательность его конечных сумм имеет конечный предел при. Тогда для этой последовательности выполняется условие Коши: С учетом равенства , последнее выражение является определением того, что последовательностьстремится к нулю при.

Подчеркнем, что мы установили лишь необходимый признак сходимости, т.е. такой, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать лишь расходимость ряда.

Упражнение 2. Установить, расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости (по Вашему желанию: «вручную» или используя MATLAB):

а) ; б).

Упражнение 3. Приведите два примера расходящихся числовых рядов (отличные от рассмотренных в упр. 3), общий член которых стремится к нулю. Используя M-функцию из упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.

Сделав упр. 3, Вы проиллюстрировали, что стремления общего члена ряда к нулю недостаточно для сходимости ряда.

3. Общие свойства рядов.

1) Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. 2) Если ряды исходятся, а их суммы соответственно равныи, то сходится и ряд, причем его сумма равна. 3) Если ряд сходится и его сумма равна, то сходится и ряд, причем его сумма равна.

Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).

А что получится, если складывать расходящиеся ряды?

Упражнение 4.

а) Пусть ряд сходится,расходится. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.

б) Пусть ряды ирасходятся. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.

4. Признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и(2) , с положительными членами, причем. Тогда 1) если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится; 2) если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится.

Например, рассмотрим ряд , полученный из ряда(упр. 1, п. 5) отбрасыванием первых двух членов. Его можно сравнить с рядом, сходимость которого ранее доказана (упр. 1, п.6). Так каки «больший» ряд сходится, то сходится и «меньший» ряд, а, значит, и ряд.

Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда ис положительными членами таких, что существует конечный предел,. Тогда 1) если один из рядов сходится, то сходится и другой; 2) если один из рядов расходится, то расходится и другой.

Докажем, что расходится (гармонический) ряд (упр. 1 п. 4). Используем для сравнения ряд. Заметим, чтои найдем частичные суммы ряда:. Отсюда следует, что, т.е. рядрасходится. Но, значит, из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует предел, то ряд сходится в случаеи расходится в случае.

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует предел, то ряд сходится в случаеи расходится в случае.

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Пусть функция определена для, положительна, монотонно убывает и для всехимеет место равенство. Тогда для сходимости числового ряданеобходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл(иными словами рядсходится или расходится одновременно с).

Выясним, при каких сходится ряд. Положим(). Функцияположительна, монотонно убывает. Поэтому рядсходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл. Этот интеграл сходится прии расходится при. Значит, и рядсходится прии расходится при.

Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд расходится; б) рядсходится;

в) ряд расходится; г) рядсходится.