Электрон Метод Ресурс-Иванцов ВМ / 2-МНИД для ГП ГС ГО / МИД Пр3

КРАСНОЯРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ И ЗОЛОТА

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА И ГЕОЛОГИИ

КАФЕДРА ПОДЗЕМНОЙ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

ИВАНЦОВ В.М.

МЕТОДОЛОГИЯ

НАУЧНОЙ И ИНЖЕНЕРНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ:

ТЕМА 3. -

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ,

ОРГАНИЗУЯ ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

«ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ

090200-ПОДЗЕМНАЯ РАЗРАБОТКА МЕСТОРОЖДЕНИЙ

ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

КРАСНОЯРСК. 2003 г.

ТЕМА 3.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ,

ОРГАНИЗУЯ ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

«ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ»,

- цели и состав задания, организация практикующего занятия;

- ориентирующая основа;

- тесты и задачи для самоподготовки;

- рекомендуемая литература.

1. ЦЕЛИ И СОСТАВ ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУЮЩЕГО ЗАНЯТИЯ

1.1. ЦЕЛИ ПРАКТИКУЮЩЕГО ЗАНЯТИЯ:

- формирование системы методологических знаний как логической основы организации

деятельности;

- умение решать логические задачи, организуя правдоподобные рассуждения «от конца к началу»

- наработка навыков построения логических рассуждений.

1.2. СОСТАВ ЗАДАНИЯ:

- внимательно изучить понятийный материал ориентирующей основы;

- сделать в рабочей тетради схемы, краткие записи понятий, терминов, положений;

- решить тесты и задачи;

- ответить на вопросы, дать определения терминам и понятиям;

- представить и защитить отчет о проделанной работе.

1.3. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ

Подготовка к занятию (из часов на самостоятельную работу),1 – 2 часа:

- внимательно изучить понятийный материал ориентирующей основы;

- сделать в рабочей тетради схемы, краткие записи понятий, терминов, положений;

Входной контроль знаний в начале занятия, 25 мин.:

- ответы на вопросы, определение терминов и понятий;

- решение контрольных задач и ответы на тесты;

Выполнение индивидуальных заданий,45 мин.:

-решение задач, подготовка ответов на индивидуальные тесты, задания

Защита отчета о проделанной работе, 20 мин.

2. ОРИЕНТИРУЮЩАЯ ОСНОВА: ПРИНЦИПЫ И ПОДХОДЫ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ

МЕТОДА АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ, ОРГАНИЗУЯ ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

«ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ»

А. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

При изучении механических явлений вводится ряд понятий, например энергия, скорость, напряжение и т. п., которые характеризуют рассматриваемое явление и могут быть заданы и определены с помощью числа.

Все вопросы о движении и о равновесии формулируются как задачи об определении некоторых функций и численных значений для величин, характеризующих явление, причем при решении таких задач в чисто теоретических исследованиях законы природы и различные геометрические (пространственные) соотношения представляют в виде функциональных уравнений – обычно дифференциальных. Очень часто мы не имеем возможности постановки задачи в математическом виде, так как исследуемое механическое явление настолько сложно, что для него пока нет приемлемой схемы и нет еще уравнений движений. С таким положением мы встречаемся при решении задач в области авиамеханики, гидромеханики, в проблемах изучения прочности и деформаций и т.п. В этих случаях главную роль играют экспериментальные методы исследования, которые дают возможность установить простейшие опытные данные, которые в последующем ложатся в основу стройных теорий со строгим математическим аппаратом. Однако сами эксперименты могут осуществляться только на основе предварительного теоретического анализа. Противоречие разрешается при итерационном процессе исследования, выдвигая предположения и гипотезы и проверяя их экспериментальным путем. При этом основываются на наличие подобия явлений природы, как общего закона. Теория подобия и размерностей является в известной мере «грамматикой» эксперимента.

Единицы измерения.

Измерить какую-либо величину Q –- значит сравнить ее с другой величиной q той же физической природы, определив во сколько раз Q больше q. Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости, образуют систему единиц. В настоящее время применяется Международная система единиц (СИ). В СИ независимо одна от другой выбраны единицы измерения так называемых первичных величин – массы (килограмм, кг), длины (метр, м), времени (секунда, сек, с), сила тока (ампер, а), температуры (градус Кельвина, К) и силы света (свеча, св). Они получили название основных единиц. Единицы измерения остальных, вторичных, величин выражаются через основные. Формула, указывающая зависимость единицы измерения вторичной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины.

Размерность вторичной величины находится при помощи определительного уравнения, служащего определением этой величины в математической форме. Например, определительным уравнением для скорости является

.

Будем указывать размерность величины при помощи взятого в квадратные скобки символа этой величины, тогда

, или ,

где [L], [T] – соответственно размерности длины и времени.

Определительным уравнением для силы можно считать второй закон Ньютона

Тогда размерность силы будет иметь следующий вид

[F]=[M][L][T].

Определительное уравнение и формула размерности работы соответственно будут иметь вид

A=Fs и [A]=[M][L][T].

В общем случае будем иметь взаимосвязь

[Q]=[M][L][T] (1).

Обратим внимание на запись взаимосвязи размерностей, это еще нам пригодится.

Теорема Букингема

Становление теории подобия в историческом аспекте характеризуют ее три основные теоремы.

Первая теорема подобия формулирует необходимые условия и свойства подобных систем, утверждая, что подобные явления имеют одинаковые критерии подобия в виде безразмерных выражений, которые есть мера отношения интенсивности двух физических эффектов, существенных для исследуемого процесса.

Вторая теорема подобия (П-теорема) доказывает возможность приведения уравнения к критериальному виду, не определяя достаточности условий для существования подобия.

Третья теорема подобия указывает на пределы закономерного распространения единичного опыта, ибо подобными явлениями будут те, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии.

Таким образом, методологическая суть теории размерностей заключается в том, что всякую систему уравнений, заключающую в себе математическую запись законов, управляющих явлением, можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Определяющие критерии составляются из независимых между собой величин, которые входят в условия однозначности: геометрические соотношения, физические параметры, краевые (начальные и граничные) условия. Система определяющих параметров должна обладать свойствами полноты. Некоторые из определяющих параметров могут быть физическими размерными постоянными, их будем называть фундаментальными переменными, в отличие от других - регулируемых переменных. Пример, ускорение силы тяжести. Она фундаментальная переменная. В земных условиях – постоянная величина и - переменная в космических условиях.

Для правильного применения анализа размерностей исследователь должен знать характер и число фундаментальных и регулируемых переменных в его эксперименте.

В этом случае имеет место практический вывод из теории анализа размерностей и он заключается в том что, если экспериментатору действительно известны все переменные исследуемого процесса, а математической записи закона в виде уравнения пока еще нет, то он вправе преобразовать их, применив первую часть теоремы Букингема: «Если какое-либо уравнение однозначно относительно размерностей, то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций величин».

Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбора основных единиц.

Примером является известное уравнение Фэннинга для коэффициента трения Р = (L/D)V²/2g. Входящие в него величины могут выражаться в футах и секундах, метрах и часах или в любых других соразмерных единицах. И наоборот, уравнение Дюлонга и Пти q/A=C(1,0077)^T для теплового потока через единицу площади q/A от источника, имеющего температуру Т, не является однородным, так как, выражая Т в градусах Кельвина, получим совсем другую формулу, чем при использовании Т в градусах Ренкина. Правильная формула для этого случая была найдена позже. Она имеет вид q/A=T⁴, где  — некоторый размерный коэффициент.

Действительно, сомнительно, чтобы какое-либо естественное явление можно полно описать с помощью неоднородного уравнения. Такое описание может быть лишь приближенным или ошибочным.

PS. Эмпирические закономерности, как правило, приближенные. Это описания в виде неоднородных уравнений. В своей конструкции они имеют размерные коэффициенты, «работающие» только в определенной системе единиц измерений. В последующем, с накоплением данных, мы выходим на описание в виде однородных уравнений, т. е. независимых от системы единиц измерения.

Безразмерные комбинации, о которых идет речь, представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности сокращаются. При этом произведения нескольких размерных величин различной физической природы образуют комплексы, отношение двух размерных величин одной физической природы – симплексы.

В случае уравнения Фэннинга можно составить три безразмерные комбинации: Р/(V²/2g) f и L/D. Теорема Букингема не является столь тривиальной, как это может показаться при рассмотрении этого простого примера, и ее доказательство довольно сложно.

Выше отмечалось, что неоднородные уравнения не могут дать полного математического описания естественного явления или процесса. Можно не знать всех переменных, влияющих на эксперимент, но необходимо представлять себе, что эти переменные и связывающее их безразмерное уравнение существуют независимо от того, известны они или нет. Если не удается получить систему безразмерных комбинаций, то это является верным признаком того, что было что-то пропущено.

В случае уравнения Фэннинга для коэффициента трения в его наиболее общем виде обычно представляет интерес величина Р. Известно, что эта величина зависит от длины трубы L , диаметра D и скорости потока V. Все эти величины являются независимыми переменными. Хотя ускорение силы тяжести практически величина постоянная, его также необходимо рассматривать. Легко убедиться, что такие свойства жидкости, как плотность и вязкость, являются независимыми переменными (зависящими от вида жидкости и ее температуры). Изучение внутренних поверхностей различных труб показывает, что высота неровностей поверхности е также является переменной величиной. Итак, имеем восемь фундаментальных переменных, и общее уравнение можно записать в следующем виде:

P=(L, D, V, , , e, g) (1)

Согласно теореме Букингема, это функциональное соотношение (если оно однородно) можно выразить через безразмерные комбинации величин. Из опыта известно, что такое соотношение имеет следующий вид:

(2)

Можно показать, что эти комбинации являются безразмерными, если используются совместимые единицы. Экспериментатору значительно легче найти функцию  ₁ в формуле (2), чем функцию  в формуле (1). Вместо того чтобы варьировать поочередно каждую из семи переменных, причем изменение некоторых из них может вызывать затруднения, исследователь может варьировать лишь каждую из трех комбинаций. Это обстоятельство существенно упрощает эксперимент и позволяет представить в графической форме и проанализировать полученные данные гораздо быстрее и с большей точностью.

Рассмотрим теперь простой способ нахождения комбинаций величин, входящих в формулу (2). Используем так называемый релеевский метод решения размерных систем. Выразим сначала размерность переменных, описывающих систему с потерями на трение, по отношению к трем основным единицам, массы М, времени  и длины L. Перечень формул размерностей для основных величин приводится в приложении А.

Название переменной	Обозначение	Формула размерности
Потери тепла в трубе		L
Длина трубы	L	L
Диаметр трубы	D	L
Скорость потока жидкости	V	L/
Вязкость жидкости		M-1L-1
Плотность жидкости		ML-3
Высота неровностей поверхности-	e	L
Ускорение силы тяжести	g	L-2

Допустим теперь, что между этими величинами существует следующее соотношение:



Подставим сюда вместо символов размерности из таблицы:

[. (3)

Чтобы данное уравнение было однородным относительно размерностей, должны выполняться следующие соотношения между показателями степени:

Для M: 0=

Для L: 1=,

Для ,

Имеем три уравнения с семью неизвестными. Упростим их, исключив . Тогда , и . Подставляя эти соотношения для показателей степени в формулу (3), получаем

.

Объединяя члены с одинаковыми показателями степени, легко составить безразмерные комбинации

. (5)

Восемь первоначальных переменных задачи дают пять безразмерных комбинаций. Применяя анализ размерностей, мы далеко продвинулись в решении задачи. Теперь необходимо приступить к проверке фактической функции, в которую входят эти комбинации, и найти выражение, описывающее движение жидкости в трубе с потерями на трение. Эксперименты в области ламинарного потока дают следующую функцию

.

Окончательным результатом является известное уравнение для потерь на трение при ламинарном потоке в круглой трубе

(6)

В данном случае имеется всего три безразмерные комбинации (четыре в случае турбулентного потока), хотя к этому выводу невозможно прийти лишь с помощью анализа размерностей. Однако совершенно очевидно, что анализ размерностей позволяет упростить эксперимент.

-теорема

Рассмотрим гидродинамическую систему, изображенную на Рис. 1: подводная лодка с характеристическим размером d движется с различной скоростью в вязкой жидкости, испытывая силу лобового сопротивления D. В данном примере используются те же самые основные единицы: массы, времени и длины. Таблица переменных имеет следующий вид:

Название переменной	Обозначение	Формула размерности
Скорость жидкости	V	L-1
Характеристический размер	D	L
Плотность жидкости		ML-3
Вязкость жидкости		M-1L-1
Сила лобового сопротивления	D	ML-2

Поскольку в качестве основных единиц выбраны единицы массы, времени и длины, размерность силы выводится по формуле для второго закона Ньютона.

Рис. 1. Схема эксперимента с подводной лодкой.

Как будет показано далее, при желании исследователь может рассматривать единицу силы также как основную. Как и ранее,

 (V ^a, d ^b,  ^c,  ^d ) = D (7)

и

 [(L  ^-1 )^a , L^b ,( M L^-3 )^c , ( M  ^-1 L ^–1 ) ^d ] = ML ^-2 .

Получим следующие соотношения для показателей степени

для M: c + d = 1 ,

для L: a + b – 3c – d = 1 ,

для : - a – d = - 2 .

Из этих формул выразим показатели степени через d:

c = - d + 1 , b = 2 – d и a = 2 – d .

Уравнение (7) примет тогда вид

 (V ^{2 - d}, d ^{2 - d},  ^{1 – d},  ^d) = D ,

следовательно,

,

или в более обычной форме

С_d =  ^‘ (N _Re) ,

где C_d -— известный коэффициент лобового сопротивления, зависящий только от числа Рейнольдса. Таким образом, для описания поведения подводной лодки нет необходимости вычерчивать графики зависимости лобового сопротивления от каждого из параметров V, d, ,  в отдельности, а достаточно построить лишь одну кривую зависимости С_d от N _Re. Как видно из Рис. 2 , в этом случае потребуется меньший объем данных.

Рис. 2. Без проведения анализа размерностей для представления данных о движении подводной лодки потребуется несколько кривых, подобных А и В. При использовании безразмерных комбинаций потребуется только одна кривая С.

Заметим, однако, что полученная кривая будет справедлива только для геометрически подобных подводных лодок. Единственный характеристический размер d дает представление лишь о величине подводной лодки, но ничего не говорит о ее форме, конусности, обтекаемости и т. д. Чтобы получить общее выражение, справедливое для подводных лодок любой формы, потребовалось бы большое число размерных отношений и огромный объем экспериментальной работы.

Поэтому исследователь должен стараться не делать слишком общих выводов при анализе размерностей и не пытаться применять эти результаты без должной осторожности.

Задача о трении жидкости в трубе и задача о лобовом сопротивлении иллюстрируют вторую часть знаменитой теоремы Букингема, используемой для проверки результатов анализа размерностей. Это так называемая

-теорема: «Если существует однозначное соотношение

(А_1, А₂, ..., А_п) = О

между п физическими величинами, для описания которых используется  основных единиц, то существует также соотношение

 (₁ , ₂ , ₃ , , _n-k) = 0

между (п —k} безразмерными комбинациями, составленными из этих физических величин».

Для обоих рассмотренных примеров эта теорема справедлива. В задаче о коэффициенте трения рассматривалось восемь физических величин, и были выбраны три основные единицы. Согласно

-теореме, число безразмерных комбинаций равно (8 — 3) = 5. Данное число комбинаций получено математически, хотя в процессе эксперимента потребовались лишь три — четыре комбинации. В задаче о лобовом сопротивлении имеется пять переменных и три основные единицы, поэтому число безразмерных комбинаций равно двум и, как оказалось, обе комбинации необходимы.

Чтобы достаточно успешно использовать анализ размерностей в научно - исследова-тельской деятельности инженеру еще необходимо внимательно освоить и такие действия как :

-выбор безразмерных комбинаций и переменных;

-последовательное исключение размерностей,

-выбор основных размерностей;

-особенности применения анализа размерностей при проведении экспериментов.

Кратко прокомментируем их, отослав к списку рекомендуемой литературы.

Выбор безразмерных комбинаций и переменных

На первый взгляд может показаться, что применение анализа размерностей и аналитического метода Релея относительно несложно, но, к сожалению, часто это бывает не так, особенно когда приходится иметь дело с новыми или необычными экспериментами.

При работе с системой уравнений из степенных показателей в формулах размерностей обратим внимание на то, что различные показатели можно выражать через другие. От этого получаем различные по составу комбинации. При их внимательном анализе и знании физики процесса заметим, что некоторые комбинации не очень удобны в применении, а некоторые вообще не имеют физического смысла в данной конкретной ситуации.

Таким образом, при наличии нескольких (больше одной) размерных систем может быть несколько решений, и хотя все решения будут формально правильными, их ценность неодинакова. Кроме того, выбор того или иного набора комбинаций может определяться наличием ошибки или неопределенности.

Пытливого исследователя вправе заинтересует, почему рассматриваются те или иные переменные при проведении эксперимента. Почему, например, ускорение силы тяжести используется в задаче о движении жидкости в трубе, но не рассматривается в задаче о лобовом сопротивлении? А вдруг какая-нибудь важная переменная опущена? А что, если ошибочно включены ненужные переменные?

Будем помнить, что задавать эти и им подобные вопросы и получать надлежащие ответы нам необходимо для соблюдения одной из первых наших посылок - необходимости полного описания исследуемой системы.

Метод последовательного исключения размерностей

Метод Релея нахождения безразмерных комбинаций часто дополняется применением определителей, особенно когда уравнения для показателей степени являются сложными. Благодаря применению определителей можно также достигнуть более полного понимания всех сложностей и неожиданностей, связанных с анализом размерностей. Не менее эффективный способ предложил Ипсен, назвавший его поэтапным методом. При использовании данного метода основные размерности последовательно «исключаются» путем составления комбинаций переменных. Этот метод довольно прост, и его применение лучше всего проиллюстрировать на примере.