ЭЛЕКТРОТЕХНИКА / Электротехника и электроника Конюшенко 2007

61

значение. При стандартной частоте f = 50 Гц спираль 100 раз в секунду находится под максимальным напряжением

Um 2U 2 220 311 B.

Рис. 1.28

Пример 1.2.2. Полупроводниковый диод КД202Ж работает в схеме однополупериодного выпрямителя (рис 1.28) на резистор нагрузки RH, имеющим очень большое сопротивление, поэтому ток через диод в проводящем состоянии во много раз меньше допустимого для указанного изделия. Можно ли использовать этот диод для работы непосредственно от сети с номинальным напряжением U = 220 В, если в непроводящем состоянии предельно допустимая амплитуда напряжения для него Uобр.max 300 В?

Ответ. Нельзя. В отдельные моменты времени амплитудное значение синусоидального напряжения сети с номинальным (действующим) значением U = 220 В достигает величины

Um 2U 1,44 220 311 B.

Это несколько выше предельно допустимого напряжения для рассматриваемого диода, и он будет выведен из строя.

1.2.2 Способы изображения синусоидальных величин

Рассмотренные нами выше два способа изображения синусоидальных величин с помощью графиков и записи мгновенных значений в виде тригонометрических функций времени при расчетах электрических цепей неудобны. Пусть, например, в каком-то узле цепи синусоидального тока (рис. 1.29) известны значения токов i1 и i2

62

и требуется определить ток i3.

На основании первого закона Кирхгофа мгновенное значение тока

Рис. 1.29

i3 i1 i2 .

Результирующий ток также будет синусоидальным,

i3 I1m sin t 1i I2m sin t i2 I3m sin t i3

но определение I3m и i3 этого тока на основании известных тригонометри-

ческих формул требует большой вычислительной работы. Потому графические построения или тригонометрические преобразования, когда нужно складывать, вычитать или просто качественно сопоставлять величины токов, напряжений, ЭДС весьма громоздки.

Однако задача упрощается, если воспользоваться способом представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС в виде вращающихся векторов на декартовой плоскости. При этом синусоидальные величины изображают в виде векторов, то есть направленных отрезков, длина которых в выбранном масштабе соответствует амплитудным значениям. Векторы изображают неподвижными под углами начальных фаз i1 и i2 относительно оси X

(рис. 1.30), но подразумевают, что они равномерно вращаются против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекции вращающихся векторов на ось ординат в любой момент времени и при любом их положении равны мгновенным значениям i1,i2 , как это следует из записи в виде фор-

мул (1.28) и (1.29) и иллюстрации на рис. 1.30.

Если сложить I1m и I2m по правилу

геометрического суммирования векторов, то можно показать, что полученная диагональ I3m

параллелограмма, рассматриваемая как вращающийся вектор, дает проекцию на ось ординат в любой момент времени, равную сумме проекций векторов I1m и I2m или i3 i1 i2 .

Рис. 1.30 Следовательно, сложение (вычитание) мгновенных значений синусоидальных токов можно заменить геометрическим

63

сложением (вычитанием) векторов, изображающих эти токи. Геометрические построения выполняют в определенном масштабе и,

как правило, в практических расчетах оперируют с действующими значения-

ми токов (напряжений, ЭДС), которые при выбранном масштабе в 2 раз меньше длин векторов амплитудных значений. По такой векторной диаграмме, построенной в момент времени t = 0, легко определить результат сложения (вычитания) и угол сдвига фаз i3 синусоидальных величин.

Применительно к цепям постоянного тока были сформулированы первый и второй законы Кирхгофа. Эти законы, очевидно, справедливы и в применении к цепям переменного тока, но только для реально существующих в каждый момент времени мгновенных значений. Теперь показано, что на основе выражений, составленных по этим законам для мгновенных значений, составляются уравнения и формулируются законы для векторов, изображающих мгновенные значения токов, напряжений, ЭДС. Для синусоидальных токов одной и той же частоты, представляя их мгновенные значения векторами, длины которых пропорциональны действующим значениям, можно записать первый закон Кирхгофа:

n

Ik 0.

k 1

Запись второго закона Кирхгофа для контура электрической цепи, где действуют синусоидальные токи, напряжения, ЭДС, представленные вращающимися векторами, будет выглядеть так:

n

Uk 0.

k 1

Применение векторных диаграмм в дальнейшем будет показано на конкретных примерах.

1.2.3. Электрическая цепь однофазного синусоидального тока с резистивным элементом

Существуют электротехнические устройства, в которых необратимые

64

преобразования электрической энергии переменного тока в тепловую, световую или другие виды энергии не сопровождаются созданием сильных электрических или магнитных полей. Это, например, реостаты, радиотехнические резисторы, лампы накаливания, спирали бытовых нагревательных приборов и промышленных печей, провода линий электропередач и т. д.

При составлении схем замещения таких устройств обычно считают, что они обладают только одним параметром активным сопротивлением. Если проводники или спирали имеют диаметр меньше 10 мм, то можно считать, что активное сопротивление при промышленной частоте f = 50 Гц равно омическому, которое рассматривалось в цепях постоянного тока. Для больших диаметров и частот должен быть учтен известный из физики эффект вытеснения тока к поверхности проводника, приводящий к увеличению его сопротивления.

Итак, пусть к резистивному элементу (рис 1.31, а), имеющему сопротиление R, подведено переменное напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону:

u Um sin t u .

Подобно тому, как это неоднократно делалось в цепях постоянного тока, выберем положительное направление тока совпадающим с положительным направлением напряжения, приложенного к резистивному элементу. Только в цепях переменного тока положительные направления имеют смысл условно положительных, так как они соответствуют действительности только в моменты времени, когда i > 0 и u > 0.

Закон Ома справедлив и в применении к цепям переменного тока, но только для малых промежутков времени t 0, в течение которых электрические величины можно считать постоянными и равными мгновенным значениям.

Рис. 1.31

65

Следовательно, закон Ома, устанавливающий соотношение между мгновенными значениями тока, напряжения и сопротивлением, запишется в виде

i Ru ,

или

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

а начальные фазы синусоид одинаковые

u i и u i 0.

Разделив левую и правую части выражения (1.20) на 2 , получим закон Ома для цепи с резистивным элементом, выраженный через действующие значения напряжения и тока:

Из выражения (1.19) следует, что ток и напряжение в рассматриваемой цепи имеют одинаковую частоту и совпадают по фазе. Это иллюстрируется графиками на рис. 1.31, б, построенными для случая шU 0

На рис. 1.31, в представлена векторная диаграмма простейшей цепи с

67

1.2.4. Электрическая цепь однофазного синусоидального тока с реальной индуктивной катушкой

Эффективная работа различных электрических машин и аппаратов трансформаторов, магнитных усилителей, электродвигателей различных типов, реле, контакторов, электромагнитов, индукторов электрических печей обычно достигается при использовании достаточно сильных электромагнитных полей. Такие магнитные поля создаются катушками с большим числом витков, когда каждый виток увеличивает общее потокосцепление, вследствие чего катушки обладают значительной индуктивностью. Из курса физики известно, что индуктивность L является коэффициентом пропорциональности в выражении ЭДС самоиндукции

eL L dtdi

и характеризует электромагнитную инерцию цепи; она задерживает всякое изменение тока во времени. Единица измерения индуктивности

1 BAc 1 ВбА 1Гн (Генри). Если такую катушку подключить к цепи перемен-

ного тока, то, очевидно, схема замещения ее должна состоять из двух идеальных элементов, включенных последовательно: резистивного элемента, учитывающего необратимые потери энергии в ней, и идеальной индуктивной катушки, учитывающей действие ЭДС самоиндукции (рис. 1.32, а).

Правило Ленца указывает, что ЭДС самоиндукции всегда противодействует изменению тока, потому соединение должно быть именно последовательным, так как ЭДС создает как бы добавочное сопротивление.

Пусть теперь в цепи с последовательным соединением резистивного элемента и катушки индуктивностью L, являющейся схемой замещения реальной индуктивной катушки, существует синусоидальный ток

Требуется установить, какое при этом должно действовать напряжение на зажимах цепи. К выводам реальной индуктивной катушки необходимо приложить напряжение, чтобы уравновесить падение напряжения на резистивном элементе и действие ЭДС самоиндукции.

68

Рис. 1.32

Уравнение на основании второго закона Кирхгофа, при указанных на рис. 1.32, а условно положительных направлениях названных выше падений напряжений и обходе контура по часовой стрелке, имеет вид

Подставив в (1.25) выражение тока (1.24), получим напряжение на зажимах цепи

U RIm sin t L dtd Im sin t RIm sin t L Im cos t

Введем обозначения:

URm RIm амплитуда падения напряжения на резистивном элементе; U Lm LIm X L Im амплитуда падения напряжения на индуктивном элементе.

Используем тригонометрические формулы приведения и преобразования выражений с помощью введения вспомогательного аргумента, после чего получим:

69

На рис. 1.32, б представлены синусоиды тока и напряжения на зажимах реальной индуктивной катушки. Два слагаемых в выражении (1.26) и иллюстрация на рис. 1.32, в показывают, что падение напряжения на резистивном элементе совпадает по фазе с током i, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол /2, а напряжение на зажимах реальной индуктивной катушки опережает ток на острый угол .

В формуле для вычисления угла сдвига по фазе заменим отношение амплитуд напряжений:

противление XL по сравнению с сопротивлением R. Наибольший угол сдвига по фазе может быть равным /2, когда R 0. В этом случае остается чисто индуктивное сопротивление переменному току, которое именуется еще реактивным сопротивлением XL = L = 2 fL, а катушка называется идеальной.

Действие индуктивности связано линейной зависимостью с частотой тока. Что же касается постоянного тока, то для него та же катушка индуктивности представляет почти короткое замыкание.

то есть напряжения на элементах R, L складываются не алгебраически, а геометрически.

Введем обозначение

Z R2 X L2 ,

где Z полное сопротивление цепи.

70

Тогда выражение закона Ома для реальной индуктивной катушки примет вид

I UZ .

Так как полное сопротивление Z определяется по формуле Пифагора, то ему соответствует треугольник сопротивлений рис. 1.33. Угол сдвига фаз

между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

cos ZR

Поскольку вектор U сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол против часовой стрелки, то этот угол имеет положительное значение. Выведем энер-

гетические соотношения в реальной индуктивной катушке.

Мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений тока и напряжения на входе цепи: p = ui. В соответствии с ранее установленными соотношениями между начальными фазами тока и напряжения запишем

Выражение (1.27) показывает, что мгновенная мощность содержит постоянную составляющую UI cos и переменную UI cos (2 t+ ), частота из-

менения которой 2 в два раза превышает частоту приложенного к цепи напряжения.

Среднее значение мгновенной мощности за период называют активной мощностью