1sem15-10-2013 / Математика. Группа СБ 13-01

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

1. Матрицы, действия над ними.

2. Определители n-го порядка. Определение, свойства, вычисление определителей.

3. Обратная матрица. Определение, теорема существования и единственности обратной матрицы.

4. Теорема Крамера, формулы Крамера.

5. Линейные операции над векторами в R ₃. Базис и координаты вектора в трехмерном пространстве. Теорема о разложении по базису.

6. Скалярное произведение векторов в R₃ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

7. Векторное произведения векторов в R ₃ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

8. Смешанное произведение векторов в R ₃ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

9. Определение и примеры линейных пространств.

10. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства. Базис, размерность, координаты в n-мером пространстве.

11. Определение евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Длина, угол и расстояние между векторами в евклидовом пространстве.

12. Ортогональные системы векторов евклидова пространства, их свойства.

13. Теорема существования и свойства ортонормированного базиса.

14. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

15. Теорема Кронекера-Капелли. Общая схема решения системы линейных алгебраических уравнений.

16. Свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения однородной системы уравнений.

17. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной системами уравнений. Структура общего решения неоднородной системы уравнений.

18. Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования. Действия над линейными преобразованиями.

19. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.

20. Квадратичная форма, приведение ее к каноническому виду.

21. Плоскость как алгебраическая поверхность 1-го порядка. Векторное и общее уравнения плоскости.

22. Прямая на плоскости как алгебраическая линия 1-го порядка. Векторное и общее уравнения.

23. Прямая в пространстве. Векторное уравнение, общие, канонические уравнения прямой.

24. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

25. Эллипс (каноническое уравнение, вид кривой, свойства).

26. Гипербола (каноническое уравнение, вид кривой, свойства).

27. Парабола (каноническое уравнение, вид кривой, свойства).

28. Поверхности вращения.

29. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Метод параллельных сечений.

30. Система комплексных чисел.

31. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

32. Действия над комплексными числами в тригонометрической (показательной) форме.

33. Многочлены и их корни, теорема Безу и основная теорема алгебры.

34. Многочлены с действительными коэффициентами, разложение на множители.