Индивидуальное задание по векторной алгебре

(номер задачи из каждого задания соответствует номеру варианта, например, для варианта № 4 берутся задачи 1.4, 2.4, 3.4, и. т.д.

Задание 1.

Задать векторы и . Построить векторы

1. 3, , +2, –

2. –2, 3–, +

3. -3, 2–, –

Дана треугольная пирамида АВСD. Построить (найти) векторы

4. ,

5. ,

6. ,

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ построить

7. ,

8. ,

Построить равнодействующую сил, изображенных на рисунке

1. 9. 1.10.

Задание 2.

1. В параллелограмме ABCD рассмотрены и . Доказать, что векторы и образуют базис в R² . Найти в этом базисе координаты векторов , и 2– 3, где М – точка пересечения диагоналей.

2. В параллелограмме ABCD обозначены , . Доказать, что эти векторы образуют базис в R² . Найти в этом базисе координаты векторов где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

3. В параллелограмме ABCD обозначены: О – точка пересечения диагоналей, Р – середина стороны ВС, , . Доказать, что векторы и образуют базис в R² . Найти в этом базисе координаты векторов .

4. В параллелограмме ABCD обозначены: О – точка пересечения диагоналей, Р – середина стороны ВС, , . Доказать, что векторы и образуют базис в R² . Найти в этом базисе координаты векторов .

5. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ обозначены: М – середина ребра DD₁, . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

6. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ обозначены: М – середина ребра CC₁, P – середина BC_1, . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

7. В треугольной призме АВСА₁В₁С₁ обозначены . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

8. В тетраэдре ABCD точки К и Р – соответственно середины ребер AC и BD, . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания ABCD, . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания ABCD, . Доказать, что эти векторы образуют базис в R³ . Найти в этом базисе координаты векторов .

Задание 3.

Построить вектор с началом в точке А.

, А(2, –1) , А(–3, 4) , А(2,–2) , А(3,–4) , А(–1,5)

, А(0,4) , А(–2,0) , А(0,5) , А(1,–4) , А(-1,-3)

Задание 4.

Даны точки А, В, С, D. Найти координаты вектора ­­.

1. А(-1,0 ,2 ), В( 1,2 ,1 ), С(3 , 7,-1 ), D(4 ,6 ,5 ),

2. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4),

3. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2),

4. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6),

5. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5),

6. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0),

7. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0),

8. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2),

9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),

10. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),

Задание 5.

Даны векторы и . Найти : а) ( ,); б) орт вектора ; в) направляющие косинусы вектора ; г) ; д) проверить ортогональность, коллинеарность векторов и .

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задание 6.

Найти работу силы F при перемещении точки А в положение В.

1. , А(-1,2,0), В(2,1,3)

2. , А(1,2,-3), В(2,-1,3)

3. , А(3,-2,-1), В(4,-5,3)

4. , А(1,-2,4), В(0,2,2)

5. , А(3,2,1), В(1,2,3)

6. , А(1,3,-5), В(1,0,3),

7. , А(-3,4,1), В – начало координат

8. , А(1,2,-1), В – начало координат

9. , А(3,2,1), В – начало координат

10. , А(-2,4,3), В(1,3,2)

Задание 7.

В начале координат приложены силы F₁, F₂, F₃. Найти угол, который равнодействующая этих сил образует с указанной осью. Сделать чертеж.

1. , ОХ

2. , ОУ

3. , OZ

4. , OZ

5. , ОУ

6. , ОУ

7. , ОХ

8. , ОХ

9. , ОХ

10. , OZ

Задание 8.

Найти площадь, периметр и углы треугольника АВС

1. А(1,-1,2), В(5,-6,2), С(1,3,-1)

2. А(2,-1,1), В(2,-6,5), С(-1,3,1)

3. А(3,5,-1), В(1,2,-1), С(-1,1,-3)

4. А(3,2,-1), В(1,2,5), С(2,-3,0)

5. А(0,-3,2), В(4,0,1), С(5,1,-1)

6. А(4,-1,0), В(2,3,4), С(6,-2,0)

7. А(1,2,2), В(-3,3,6), С(6,0,2)

8. А(7,0,1), В(2,-5,3), С(1,0,0)

9. А(1,2,4), В(3,-4,6), С(1,2,-5)

10. А(3,-2,4), В(3,2,-6), С(3,-1,1)

Задание 9.

Сила F приложена к точке А. Найти момент этой силы относительно точки В

F(2,- 4,5), А(4,-2,3), В(3,2,-1) F(5,-4,2), А(3,-2,4), В(-1,2,3) F(4,-1,2), А(-4,2,3), В(4,-5,3) F(0,-3,1), А(3,-3,1), В(5,7,8) F(2,0,5), А(-3,7,0), В(1,2,3)

F(2,2,0), А(-3,4,5), В(1,-1,7) F(3,-4,5), А(-1,2,-1), В(7,1,3) F(2,1,-6), А(1,9,10), В(4,11,-6) F(2,2,4), А(1,-3,5), В(7,8,9) F(3,-1,1), А(3,-2,4), В(-1,2,3)

Задание 10.

Используя свойства скалярного и векторного произведений векторов, упростить выражения (a,b,c  произвольные векторы).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задание 11.

Доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости

1. А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1), D(2,1,3)

2. А(0,1,1), В(1,1,0), С(2,1,-1), D(2,3,1)

3. А(1,1,0), В(2,3,1), С(- 4,3,1), D(0,-1,-1)

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , ,

4. 

5. 

6. 

7. 

Установить, образуют ли векторы , , базис в R³

8. 

9. 

10. 

Дополнительные задачи:

Номера дополнительных задач к вариантам:

№ 5,16, 18 № 1, 11, 14 № 2, 5, 15 № 3, 12, 16 № 4, 10, 6

№ 9, 13, 11 № 8, 10, 18 № 5, 12, 17 № 3, 11,16 № 2, 7, 17

1. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3,-3) равно 5.

2. Три силы F, P, S приложены к одной точке и имеют взаимно перпендикулярные направления. Найти величину их равнодействующей , если |F| = 2, |P| = 10, |S| = 11.

3. Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны, и || = 4, || = 2, || = 3. Вычислить ^...

4. Найти |c| , если с = 3–, если ||=4, ||=2, (^) =.

5. Вычислить |[+,2–]|, если ||=2, ||=3, (^) =.

6. Доказать, что для любых векторов векторы компланарны.

7. Доказать тождество

8. Векторы – не компланарные. Доказать, что векторы , , компланарны.

9. Найти вектор х, образующий со всеми базисными ортами равные острые углы, если |х | = .

10. Найти координаты вектора х, если известно, что он перпендикулярен векторам =(4,-2,-3), =(0,1,3) , образует с ортом j тупой угол и |х | =26.

11. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2– и 4–5, где и – единичные векторы, (^) =.

12. Вне плоскости параллелограмма АВСD взята точка О. В базисе найти координаты вектора , где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

13. А(-2,6) и В(2,8) – две смежные вершины параллелограмма, Р(2,2) – точка пересечения его диагоналей. Найти две другие вершины.

14. AD, BE, CK – медианы треугольника АВС. Доказать AD + BE + CK = 0.

15. Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из вершины D , если А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8).

16. Даны векторы . Подобрать числа , ,  так, чтобы векторы и образовывали замкнутую ломаную.

17. Три ненулевых вектора связаны соотношением =[,], =[,] , =[,]. Найти длины этих векторов и углы между ними.

18. Даны векторы . Проверить , верно ли равенство.