Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
04.06.2015
Размер:
169.98 Кб
Скачать

Индивидуальное задание по линейным пространствам и линейным преобразованиям

Задача №1 Является ли линейным пространством множество:

  1. всех векторов V3 , если  + =, = .?

  2. всех дифференцируемых функций = f(t), = g(t), если  + = f(t) .g(t), = f(t)?

  3. всех векторов V3 , лежащих на оси OZ, с обычными операциями сложения и умножения на число?

  4. всех линейных функций = f(t), = g(t), если  + = f(t) .g(t), =f(t)?

  5. всех векторов V3 , параллельных заданной прямой, с обычными операциями сложения и умножения на число?

  6. всех функций= f(t),= g(t), принимающих отрицательные значения, если += –f(t) .g(t), == f(t)?

  7. симметрических матриц второго порядка?

  8. всех нечётных функций = f(t), = g(t), заданных на отрезке [-1,1], если  + = f(t) + g(t), = f(t)?

  9. всех векторов V3 , концы которых лежат на данной прямой?

  10. множество чисел вида а +, где а и b– рациональные числа, с обычными операциями сложения и умножения на число?

  11. всех чётных на [-1,1] функций = f(t), = g(t), если  + = f(t) + g(t), = f(t)?

  12. всех непрерывных на [0,1] функций= f(t), = g(t), если  + = f(t) + g(t), = f(t)?

  13. всех невырожденных квадратных матриц= Ап, = Вп, если  + = Ап.Вп, = Ап?

  14. непрерывных на [0,1] функций, если a + b = f(t) + g(t), a = f(t)?

  15. Множество всех многочленов, удовлетворяющих условию Р(0) = 1?

Задача№2 Выяснить, является ли линейно независимой заданная система векторов указанного пространства. Если нет, выразить один из векторов этой системы через остальные.

1. a) пространства R3a1 = [2,-3,1], a2 = [3,-1,5], a3 = [1, - 4, 3].

  1. пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, sin2x на

(–; ).

2. a) пространства R3a1 = [5,-6,1], а2 = [3,-5,-2], а3 = [2,-1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1/x, x, 1 на (0; 1) .

(использовать определитель Вронского).

3. a) пространства R3a1 = [1,1,1], a2 = [1,2,3], a3 = [1, 3, 6].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, cos2x на (–; ). (использовать определитель Вронского).

4. a) пространства R3a1 = [3,2,-4], а2 = [4,1,-2], а3 = [5,2,-3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1 + x2, 1+2x2, 1+3x2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

5. a) пространства R3a1 = [1,-1,2], а2 = [-1,1,-1], а3 = [2,-1,1].

  1. пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 3x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

6. a) пространства R3a1 = [2,1,0], а2 = [-5,0,3], а3 = [3,4,3].

b)пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , xex , x2ex на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

7. a) пространства R3a 1 = [1,2, 3], a 2 = [6,5,9], a 3 = [7, 8, 9].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 1 + x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

8. a) пространства R3a 1 = [7,1, -3], a 2 = [2,2,-4], a 3 = [3, -3, 5].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, tgx, ctgx на (0; ) .

(использовать определитель Вронского).

9. a) пространства R3a 1 = [0,1,1], a 2 = [1,0,1], a 3 = [1,1,0].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, ex , (ex – ex )/2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

10. a) пространства R3a 1 = [1,2, 3], a 2 = [4,5,6], a 3 = [7, 8, 9].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, 2x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

11. a) пространства R3a 1 = [1, -1, 2], a 2 = [-1,1,-1], a 3 = [2, -1, 1].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, x2, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

12. a) пространства R3a = [5,3,4], b = [3,3,2], c = [8,1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, sinx на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

13. a) пространства R3a = [1,1,1], b = [1,0,1], c = [2,1,2].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , e2x , e3x на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

14. a) пространства R3a 1 = [2,-3,1], a 2 = [3,-1,5], a 3 = [1,-4,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, cosx на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).

15. a) пространства R3a = [1,4,6], b = [1,-1,1], c = [1,1,3].

b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций sinx, cosx, tgx на

(–; ). (использовать определитель Вронского).

Задача №3 В базисе Б1: {а1 а2 а3} задано 4 вектора b1, b2, b3 , х :

а) образуют ли векторы b1, b2, b3 базис L3?

б) если да, то найти

в) найти координаты х в Б2.

  1. b1 = (1,1,4/5), b2 = (- 4, -1, 0), b3 = (-1,1,1), х = (5,- 5, - 4 ).

  2. b1 = (1,1,-4), b2 = (4/5,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (7, -5, 10).

  3. b1 = (-1,-1,3), b2 = (3/4, -1, 0), b3 = (1,-1,1), х = (- 1,- 4, 8 ).

  4. b1 = (1,1,-3), b2 = (3/4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1, - 4, 8).

  5. b1 = (1,1,-2), b2 = (2/3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (2, 6, -3).

  6. b1 = (1,1,8), b2 = (8/7,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (-1, 7, 14).

  7. b1 = (1,1,7/6), b2 = (7,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (-12,6,1).

  8. b1 = (1,1,7), b2 = (7/6, -1, 0), b3 = (-1,1,1), х = ( 4, 1, 13).

  9. b1 =(1,1,6/5), b2 = (6,-1,0), b3 = (-1,1,1),х = (10,5,1).

  10. b1 = (1,1,5), b2 = (5/4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,4,8).

  11. b1 = (1,1,4/3), b2 = (4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (6,3,1).

  12. b1 = (1,1,4), b2 = (4/3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,3,6).

  13. b1 = (1,1,3/2), b2 = (3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (2,4,1).

  14. b1 = (1,1,3), b2 = (3/2,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,2,4).

  15. b1 = (1,1,2), b2 = (2,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (6,-1,3).

Задача №4 В некотором базисе Б1: {а1, а2, а3} заданы три вектора g1, g2, g3:

а) образуют ли они базис Б2?

б) является ли этот базис ортонормированным?

в) построить по базису Б2 : {g1, g2, g3} ортонормированный базис {е1, е2, е3}.

  1. g1=(1,0,0), g2=(0,1,-1), g3= (-1,-1,-1).

  2. g1=(4,3,0), g2=(0,-2,1), g3=(0,1,-1).

  3. g1=(-2,-1,0), g2=(0,2,-1), g3=(1,0,1).

  4. g1=(0,2,1), g2=(-1,0,2), g3=(1,1,0).

  5. g1=(2,1,0), g2=(0,1,-1), g3=(1,0,4).

  6. g1=(1,0,1), g2=(2,1,-1), g3=(0,-1,1).

  7. g1=(0,2,1), g2=(-1,0,2), g3=(1,1,0).

  8. g1=(2,0,1), g2=(0,-1,2), g3=(1,1,0).

  1. g1=(1,0,1), g2=(0,1,1), g3=(0,0,2).

  2. g1=(1,2,-3), g2=(0,-2,0), g3=(1,-1,0).

  3. g1=(1,2,3), g2=(0,1,0), g3=(0,0,2).

  4. g1=(2, 1,3), g2=(2,0,1), g3=(0,0,3).

  5. g1=(3,1,2), g2=(0,0,2), g3=(3,0,1).

  6. g1=(1,2,-3), g2=(0,-2,2), g3= (0,0,-3).

  7. g1=(1,2,3), g2=(0,2,0), g3=(0,0,3).

Задача №5 В пространстве V2 задана декартова система координат. Базис {i , j}

повернули на угол  в указанном направлении. Нужно:

а) записать матрицу преобразования и формулы преобразования координат

б) найти координаты вектора х в новом базисе {i, j}.

  1. .= 135о по часовой стрелке, х = -2i + j

  2. =135о против часовой стрелки, х = i – 3j

  3. =60о (против часовой стрелки.), х = 3i -2j

  4. = - 60о (против часовой стрелки.), х =2i + 3j

  5. =270о против часовой стрелки., х = i – 3j

  6. =210о против часовой стрелки, х = 2i -3j

  7. =150о по часовой стрелке, х = i -2j

  8. =150о против часовой стрелки, х = i+2j

  9. =210о по часовой стрелке, х = -3i +2j

  10. =60о против часовой стрелки, х = (2,-3)

  11. =60о по часовой стрелке, х = (-2,-3)

  12. = 45о против часовой стрелки, х = (-1,3)

  13. =45о по часовой стрелке, х = (2,4)

  14. =30о по часовой стрелке, х = (-1,3)

  15. =30о против часовой стрелки, х = (1,-1)

Задача №6 Заданы преобразования А, В, С пространства R3.

  1. проверить линейность А, В, С

  2. найти образ вектора х при заданном преобразовании

  3. в каноническом базисе е1=[1,0,0] , е2=[0,1,0] , е3=[0,0,1] составить матрицу одного линейного преобразования. В каноническом базисе Б1 и базисе Б2: {а1, а2, а3}, где а1=[1,1,1] , a2=[1,1,0] , a3=[1,0,0] , составить матрицы одного линейного преобразования. Показать, что эти матрицы подобны.

  1. Аx = [x32, 1 + x2, x1 ], Вx = [x2 + 2x3, x1, x2 ], Сx = [2x2 , - x3 , x1], (В (В - С))x

  2. Аx = [2x1 + x2 , 3x3, x1 ], Вx = [x2, 1 + x1, x3 + x2], Сx = [x3 , - 2x1, x2], (2С + АС)x.

  3. Аx = [x2 + 2x3, x1, x1 - x3 ], Вx = [x2 , 2x1, x3 ], Сx = [x2 ,x12 , 1 + x3], (А (2В - А ))x.

  4. Аx = [x12 , 2x3 , x1 +2 ], Вx = [x3, x1 + 2x2, x1 – x3], Сx = [x2 , 2x3, x1], (В2 - С)x.

  5. Аx = [2x2 , x1 + x2 , - x3 ], Вx = [x2 - 1, x1, 2x3], Сx = [x2 , 2x3, x1], (А(А - С ))x.

  6. Аx = [x1 + x3 , x1 , x1 - x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], Сx = [x2 × x3, x3, x1], (А(В - А ))x.

  7. Аx = [2x1 + x3 , x1, x2 - x3 ], Вx = [x2, 2x1, x3 ], Сx = [x1 × x3, x2 , x3], (А(2В - А)x.

  8. Аx = [x2 – x3, x1, x1 + x3 ], Вx = [2x1 , x22, x3 ], Сx = [x2 ,2x3 , x1], (А(А +С))х.

  9. Аx = [x2 – x3 , x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], xС = [x3 +1, x1, x2,], (2В - А2)x

  10. Аx = [3x1 , x3, x2 + x3 ], Вx = [x3, 2x2, x1 ], Сx = [x1 + 1, x22 , 3x3], (А(А + В))х.

  11. Аx = [x1 , x1 - 2x2 – 3, 4x1 ], Вx = [2x2 + x3, x1 , x3 + x1], Сx = [2x3, x1, x2 ], (ВС) x

  12. Аx = [1 + x1 × x2 , x2 , x1+x3 ], Вx = [x2 – x3, x1 , x2 + x1], Сx = [x2, 2x3, x1], (СВ)x

  13. Аx = [x2 – x3 , x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], Сx = [x12, x2, x3], (А2 - В)x

  14. Аx = [2x2 – x1 x3 , x2+x3 ], Вx = [1 – x1, x1 + х2, x3], Сx = [x3, 2x2, x1], (АВ + А)x.

  15. Аx= [x2 – x3, x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3, x1], Сx = [x1, x22, x3+x1], (В А)x.

Задача №7 В некотором базисе Б1 : {a1, a2, a3} пространства L3 задана матрица А преобразования А и вектор b:

1) используя определение, доказать, что b – собственный вектор А. Найти соответствующее собственное значение 

2) найти все собственные значения и собственные векторы.

  1. найти ортонормированный базис, в котором матрица А имеет диагональный вид. Записать эту матрицу. Сделать проверку.

  1. А = , b = (–2, 1, –2)

  2. А = , b = (2, 1, 2)

  3. А = , b = (2, 1, 2)

  4. А = , b = (1, – 4, 1)

  5. А = , b = (-2, 1, -2)

  6. А = , b = (–1, 1, –2)

  7. А = , b = (2, –1, –2)

  8. А = , b = (2, 1, 1)

  1. А = , b = (3, 3, 2)

  2. А = , b = (2, 1, 2)

  3. А = , b = (2, 2, 1)

  4. А = , b = (2, 1, –2)

  5. А = , b = (1, 1, 1)

  6. А = , b = (2, 1, 2)

  7. А = , b = (–2, –2, 1)

Задача №8 В декартовой системе координат V3 задано уравнение кривой 2-го порядка. Требуется:

  1. используя теорию квадратичных форм, привести уравнение к каноническому виду

  2. записать формулы преобразования координат (х,у)

  3. построить кривую.

  1. 3x2 - 4xy + 3y2 + 4x + 4y + 1 = 0.

  2. 5x2 + 4xy + 8y2 - 32x - 56y + 80 = 0.

  3. 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = 0.

  4. 2x2 - 2xy + 2y2 + 6x - 6y - 6 = 0.

  5. 3x2 + 10xy + 3y2 - 2x - 14y - 13 = 0.

  6. 29x2 - 24xy + 36y2 + 82x - 96y - 91 = 0.

  7. 50x2 - 8xy + 35y2 + 100x - 8y + 67 = 0

  8. 25x2 - 14xy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0.

  9. 11x2 - 20xy - 4y2 – 20x - 8y + 1 = 0.

  10. 5x2 + 24xy - 5y2 + 6x + 4y + 13 = 0

  11. -3x2 + 4xy - 3y2 – 6x + 4y + 2 = 0.

  12. 4xy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0

  13. 7x2 + 60xy + 32y2 – 14x - 60y + 7 = 0

  14. 14x2 + 24xy + 21y2 – 4x + 18y – 139 = 0

  15. 3x2 + 10 xy + 3y2 – 2x – 14y – 13 = 0.

Дополнительная задача

В пространстве V3 задана декартова система координат и

преобразование А . Требуется:

а) проверить линейность А .

б) составить матрицу А в базисе {i , j , k}.

  1. А – зеркальное отражение относительно плоскости y + z = 0.

  2. А – проектирование на плоскость x + z = 0.

  3. А – проектирование на плоскость x + y = 0.

  4. А – проектирование на плоскость y +z = 0

  5. А – зеркальное отражение относительно плоскости x + z = 0.

  6. А – зеркальное отражение относительно плоскости х – z = 0.

  7. А – проектирование на плоскость x - z = 0.

  8. А – проектирование на плоскость x + y = 0.

  9. А – зеркальное отражение относительно плоскости y - z = 0.

  10. А – проектирование на плоскость x – y = 0

  11. А – проектирование на плоскость y = x

  12. А – проектирование на плоскость y - z = 0

  13. А – зеркальное отражение относительно плоскости x - у = 0

  14. А – зеркальное отражение относительно плоскости z – у = 0.

  15. А – зеркальное отражение относительно плоскости у – x =0

7

Соседние файлы в папке Все работы по ИД МАТАНУ FAIT1