FAIT1_1 / Algebra 2
.docИндивидуальное задание по линейным пространствам и линейным преобразованиям
Задача №1 Является ли линейным пространством множество:
-
всех векторов V3 , если + = , = .?
-
всех дифференцируемых функций = f(t), = g(t), если + = f(t) .g(t), = f(t)?
-
всех векторов V3 , лежащих на оси OZ, с обычными операциями сложения и умножения на число?
-
всех линейных функций = f(t), = g(t), если + = f(t) .g(t), =f(t)?
-
всех векторов V3 , параллельных заданной прямой, с обычными операциями сложения и умножения на число?
-
всех функций= f(t),= g(t), принимающих отрицательные значения, если += –f(t) .g(t), == f(t)?
-
симметрических матриц второго порядка?
-
всех нечётных функций = f(t), = g(t), заданных на отрезке [-1,1], если + = f(t) + g(t), = f(t)?
-
всех векторов V3 , концы которых лежат на данной прямой?
-
множество чисел вида а +, где а и b– рациональные числа, с обычными операциями сложения и умножения на число?
-
всех чётных на [-1,1] функций = f(t), = g(t), если + = f(t) + g(t), = f(t)?
-
всех непрерывных на [0,1] функций= f(t), = g(t), если + = f(t) + g(t), = f(t)?
-
всех невырожденных квадратных матриц= Ап, = Вп, если + = Ап.Вп, = Ап?
-
непрерывных на [0,1] функций, если a + b = f(t) + g(t), a = f(t)?
-
Множество всех многочленов, удовлетворяющих условию Р(0) = 1?
Задача№2 Выяснить, является ли линейно независимой заданная система векторов указанного пространства. Если нет, выразить один из векторов этой системы через остальные.
1. a) пространства R3 a1 = [2,-3,1], a2 = [3,-1,5], a3 = [1, - 4, 3].
-
пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, sin2x на
(–; ).
2. a) пространства R3 a1 = [5,-6,1], а2 = [3,-5,-2], а3 = [2,-1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1/x, x, 1 на (0; 1) .
(использовать определитель Вронского).
3. a) пространства R3 a1 = [1,1,1], a2 = [1,2,3], a3 = [1, 3, 6].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, cos2x на (–; ). (использовать определитель Вронского).
4. a) пространства R3 a1 = [3,2,-4], а2 = [4,1,-2], а3 = [5,2,-3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1 + x2, 1+2x2, 1+3x2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
5. a) пространства R3 a1 = [1,-1,2], а2 = [-1,1,-1], а3 = [2,-1,1].
-
пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 3x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
6. a) пространства R3 a1 = [2,1,0], а2 = [-5,0,3], а3 = [3,4,3].
b)пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , xex , x2ex на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
7. a) пространства R3 a 1 = [1,2, 3], a 2 = [6,5,9], a 3 = [7, 8, 9].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 1 + x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
8. a) пространства R3 a 1 = [7,1, -3], a 2 = [2,2,-4], a 3 = [3, -3, 5].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, tgx, ctgx на (0; ) .
(использовать определитель Вронского).
9. a) пространства R3 a 1 = [0,1,1], a 2 = [1,0,1], a 3 = [1,1,0].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, ex , (ex – e–x )/2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
10. a) пространства R3 a 1 = [1,2, 3], a 2 = [4,5,6], a 3 = [7, 8, 9].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, 2x, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
11. a) пространства R3 a 1 = [1, -1, 2], a 2 = [-1,1,-1], a 3 = [2, -1, 1].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, x2, (1+x)2 на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
12. a) пространства R3 a = [5,3,4], b = [3,3,2], c = [8,1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, sinx на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
13. a) пространства R3 a = [1,1,1], b = [1,0,1], c = [2,1,2].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , e2x , e3x на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
14. a) пространства R3 a 1 = [2,-3,1], a 2 = [3,-1,5], a 3 = [1,-4,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, cosx на (- ¥ ; + ¥ ) (использовать определитель Вронского).
15. a) пространства R3 a = [1,4,6], b = [1,-1,1], c = [1,1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций sinx, cosx, tgx на
(–; ). (использовать определитель Вронского).
Задача №3 В базисе Б1: {а1 а2 а3} задано 4 вектора b1, b2, b3 , х :
а) образуют ли векторы b1, b2, b3 базис L3?
б) если да, то найти
в) найти координаты х в Б2.
-
b1 = (1,1,4/5), b2 = (- 4, -1, 0), b3 = (-1,1,1), х = (5,- 5, - 4 ).
-
b1 = (1,1,-4), b2 = (4/5,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (7, -5, 10).
-
b1 = (-1,-1,3), b2 = (3/4, -1, 0), b3 = (1,-1,1), х = (- 1,- 4, 8 ).
-
b1 = (1,1,-3), b2 = (3/4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1, - 4, 8).
-
b1 = (1,1,-2), b2 = (2/3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (2, 6, -3).
-
b1 = (1,1,8), b2 = (8/7,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (-1, 7, 14).
-
b1 = (1,1,7/6), b2 = (7,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (-12,6,1).
-
b1 = (1,1,7), b2 = (7/6, -1, 0), b3 = (-1,1,1), х = ( 4, 1, 13).
-
b1 =(1,1,6/5), b2 = (6,-1,0), b3 = (-1,1,1),х = (10,5,1).
-
b1 = (1,1,5), b2 = (5/4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,4,8).
-
b1 = (1,1,4/3), b2 = (4,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (6,3,1).
-
b1 = (1,1,4), b2 = (4/3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,3,6).
-
b1 = (1,1,3/2), b2 = (3,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (2,4,1).
-
b1 = (1,1,3), b2 = (3/2,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (1,2,4).
-
b1 = (1,1,2), b2 = (2,-1,0), b3 = (-1,1,1), х = (6,-1,3).
Задача №4 В некотором базисе Б1: {а1, а2, а3} заданы три вектора g1, g2, g3:
а) образуют ли они базис Б2?
б) является ли этот базис ортонормированным?
в) построить по базису Б2 : {g1, g2, g3} ортонормированный базис {е1, е2, е3}.
|
|
Задача №5 В пространстве V2 задана декартова система координат. Базис {i , j}
повернули на угол в указанном направлении. Нужно:
а) записать матрицу преобразования и формулы преобразования координат
б) найти координаты вектора х в новом базисе {i, j}.
-
.= 135о по часовой стрелке, х = -2i + j
-
=135о против часовой стрелки, х = i – 3j
-
=60о (против часовой стрелки.), х = 3i -2j
-
= - 60о (против часовой стрелки.), х =2i + 3j
-
=270о против часовой стрелки., х = i – 3j
-
=210о против часовой стрелки, х = 2i -3j
-
=150о по часовой стрелке, х = i -2j
-
=150о против часовой стрелки, х = i+2j
-
=210о по часовой стрелке, х = -3i +2j
-
=60о против часовой стрелки, х = (2,-3)
-
=60о по часовой стрелке, х = (-2,-3)
-
= 45о против часовой стрелки, х = (-1,3)
-
=45о по часовой стрелке, х = (2,4)
-
=30о по часовой стрелке, х = (-1,3)
-
=30о против часовой стрелки, х = (1,-1)
Задача №6 Заданы преобразования А, В, С пространства R3.
-
проверить линейность А, В, С
-
найти образ вектора х при заданном преобразовании
-
в каноническом базисе е1=[1,0,0] , е2=[0,1,0] , е3=[0,0,1] составить матрицу одного линейного преобразования. В каноническом базисе Б1 и базисе Б2: {а1, а2, а3}, где а1=[1,1,1] , a2=[1,1,0] , a3=[1,0,0] , составить матрицы одного линейного преобразования. Показать, что эти матрицы подобны.
-
Аx = [x32, 1 + x2, x1 ], Вx = [x2 + 2x3, x1, x2 ], Сx = [2x2 , - x3 , x1], (В (В - С))x
-
Аx = [2x1 + x2 , 3x3, x1 ], Вx = [x2, 1 + x1, x3 + x2], Сx = [x3 , - 2x1, x2], (2С + АС)x.
-
Аx = [x2 + 2x3, x1, x1 - x3 ], Вx = [x2 , 2x1, x3 ], Сx = [x2 ,x12 , 1 + x3], (А (2В - А ))x.
-
Аx = [x12 , 2x3 , x1 +2 ], Вx = [x3, x1 + 2x2, x1 – x3], Сx = [x2 , 2x3, x1], (В2 - С)x.
-
Аx = [2x2 , x1 + x2 , - x3 ], Вx = [x2 - 1, x1, 2x3], Сx = [x2 , 2x3, x1], (А(А - С ))x.
-
Аx = [x1 + x3 , x1 , x1 - x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], Сx = [x2 × x3, x3, x1], (А(В - А ))x.
-
Аx = [2x1 + x3 , x1, x2 - x3 ], Вx = [x2, 2x1, x3 ], Сx = [x1 × x3, x2 , x3], (А(2В - А)x.
-
Аx = [x2 – x3, x1, x1 + x3 ], Вx = [2x1 , x22, x3 ], Сx = [x2 ,2x3 , x1], (А(А +С))х.
-
Аx = [x2 – x3 , x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], xС = [x3 +1, x1, x2,], (2В - А2)x
-
Аx = [3x1 , x3, x2 + x3 ], Вx = [x3, 2x2, x1 ], Сx = [x1 + 1, x22 , 3x3], (А(А + В))х.
-
Аx = [x1 , x1 - 2x2 – 3, 4x1 ], Вx = [2x2 + x3, x1 , x3 + x1], Сx = [2x3, x1, x2 ], (ВС) x
-
Аx = [1 + x1 × x2 , x2 , x1+x3 ], Вx = [x2 – x3, x1 , x2 + x1], Сx = [x2, 2x3, x1], (СВ)x
-
Аx = [x2 – x3 , x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3 , x1], Сx = [x12, x2, x3], (А2 - В)x
-
Аx = [2x2 – x1 x3 , x2+x3 ], Вx = [1 – x1, x1 + х2, x3], Сx = [x3, 2x2, x1], (АВ + А)x.
-
Аx= [x2 – x3, x1 , x1+x3 ], Вx = [x2, 2x3, x1], Сx = [x1, x22, x3+x1], (В А)x.
Задача №7 В некотором базисе Б1 : {a1, a2, a3} пространства L3 задана матрица А преобразования А и вектор b:
1) используя определение, доказать, что b – собственный вектор А. Найти соответствующее собственное значение
2) найти все собственные значения и собственные векторы.
-
найти ортонормированный базис, в котором матрица А имеет диагональный вид. Записать эту матрицу. Сделать проверку.
|
|
Задача №8 В декартовой системе координат V3 задано уравнение кривой 2-го порядка. Требуется:
-
используя теорию квадратичных форм, привести уравнение к каноническому виду
-
записать формулы преобразования координат (х,у)
-
построить кривую.
-
3x2 - 4xy + 3y2 + 4x + 4y + 1 = 0.
-
5x2 + 4xy + 8y2 - 32x - 56y + 80 = 0.
-
19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = 0.
-
2x2 - 2xy + 2y2 + 6x - 6y - 6 = 0.
-
3x2 + 10xy + 3y2 - 2x - 14y - 13 = 0.
-
29x2 - 24xy + 36y2 + 82x - 96y - 91 = 0.
-
50x2 - 8xy + 35y2 + 100x - 8y + 67 = 0
-
25x2 - 14xy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0.
-
11x2 - 20xy - 4y2 – 20x - 8y + 1 = 0.
-
5x2 + 24xy - 5y2 + 6x + 4y + 13 = 0
-
-3x2 + 4xy - 3y2 – 6x + 4y + 2 = 0.
-
4xy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0
-
7x2 + 60xy + 32y2 – 14x - 60y + 7 = 0
-
14x2 + 24xy + 21y2 – 4x + 18y – 139 = 0
-
3x2 + 10 xy + 3y2 – 2x – 14y – 13 = 0.
Дополнительная задача
В пространстве V3 задана декартова система координат и
преобразование А . Требуется:
а) проверить линейность А .
б) составить матрицу А в базисе {i , j , k}.
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости y + z = 0.
-
А – проектирование на плоскость x + z = 0.
-
А – проектирование на плоскость x + y = 0.
-
А – проектирование на плоскость y +z = 0
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости x + z = 0.
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости х – z = 0.
-
А – проектирование на плоскость x - z = 0.
-
А – проектирование на плоскость x + y = 0.
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости y - z = 0.
-
А – проектирование на плоскость x – y = 0
-
А – проектирование на плоскость y = x
-
А – проектирование на плоскость y - z = 0
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости x - у = 0
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости z – у = 0.
-
А – зеркальное отражение относительно плоскости у – x =0