Определенный интеграл (ои) Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1.Найти массу тонкого прямолинейного стержня длины l с переменной линейной плотностью.

Решение.Стержень тонкий – это значит, что поперечные размеры его столь малы по сравнению с длиной, что ими можно пренебречь. Предположим, что зависимость плотности от расстояния точки стержня до одного из его концов известна и может быть описана некоторой функцией. Составим математическую модель задачи следующим образом. Будем интерпретировать стержень с отрезком оси ОХ длиныl, например, с отрезком [0,l]. Тогда переменная плотность масс точек стержня есть функция переменнойх[0,l], обозначим ее(х). Разобьем отрезок [0,l] наппроизвольных частей и обозначим длины этих частичных отрезковl_i,i= 1,...,n.

Будем полагать, что п достаточно велико, аl_iдостаточно малы. На каждом из этих отрезков разбиения возьмем произвольную точку_iи в силу малости длиныl_iможем предполагать, что величина плотности в пределах каждого частичного отрезка меняется незначительно и приближенно равна(_i). Тогда на каждом отрезке разбиения масса участка стержня приближенно равнаm_i(_i)l_i, а масса всего стержняи это равенство тем точнее, чем меньшеl_i(т.е. чем большеп). Поэтому естественно считать искомую массу равной

Задача 2.Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b] оси ОХ.(рис .1).

Решение.Разобьем отрезок [a, b] наппроизвольных частей точкамих₁, х₂,...,х­_п, обозначимх_iдлину частичного отрезке [x_i–1,x_i].

Рисунок 1

Построим прямоугольники с основаниями х_iи высотамиf(_i), где_i– произвольная точка из отрезка [x_i–1,x_i]. Тогда сумма площадей этих прямоугольников приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции

причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше х_i. Поэтому можно считать, что

.

Если сравнить ответы в этих задачах, можно заметить , что в каждом из них содержатся выражения одинакового характера: предел суммы произведений значений заданной функции в точках отрезков разбиения на длины этих отрезков. Оказывается, существует множество других задач, совершенно различного содержания и из различных областей науки, которые приводят к пределам подобного рода. Поэтому естественно рассмотреть соответствующую абстрактную конструкцию .

Определение и свойства определенного интеграла.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] наппроизвольных частичных частей точками

а=х₀<x₁<x₂< ... <x_n=b.

Эти точки называют точками разбиения. Обозначим длину отрезка [x_i–1,x_i] разбиения символомх_i, т.е.х_i =x_i–x_i–1, а наибольшую из этих длин обозначим_п ,т.е._п=. На каждом из частичных отрезков [x_i–1,x_i] возьмем произвольную точку_iи вычислим значение функции в этой точкеf(_i). Составим сумму, которую называютинтегральной суммой для функцииf(х), соответствующей данному разбиению и данному выбору точек_i. Если прип_п0, то соответствующую последовательность разбиений называютнормальной.

Определение 19.1.Если для всякой нормальной последовательности разбиений существует конечный предел интегральной суммы при_п0, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек_i, то это предел называютопределенным интеграломот функцииf(х) на отрезке [a, b] и обозначают.

Здесь f(х) – подынтегральная функция,f(х)dx– подынтегральное выражение,х– переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования,a, b– пределы интегрирования:a– нижний, b– верхний.

Таким образом, по определению

.

В этом случае функция f(х) называетсяинтегрируемой на отрезке[a, b].

Из определения следует, что определенный интеграл есть число.это число зависит только от вида функцииf(х) и от чиселa и b, и не зависит от переменной интегрирования, т.е.===... .

Учитывая рассмотренные ранее задачи о массе и о площади криволинейной трапеции, можно дать следующую физическую и геометрическую интерпретацию понятию определенного интеграла:

С физической точки зрения интегралчисленно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длиныl =b–a, с переменной линейной плотностью=f(x),f(x)0, гдех– расстояние от точки стержня до его левого конца;

С геометрический точки зрения интегралчисленно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функцииу=f(x),f(x)0, прямымих=аих=bи отрезком [a, b] оси ОХ.

Мы назвали функцию интегрируемой на отрезке [a, b], если для нее существует определенный интеграл на этом отрезке. Рассмотрим условия интегрируемости функции.

Теорема 1.(необходимое условие интегрируемости)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Заметим, что обратное утверждение не верно, например, функция Дирихле

ограничена на любом отрезке [a, b], но не интегрируема на нем, т.к. предел интегральной суммы зависит от выбора точек_i.

Теорема2.(достаточные условия интегрируемости)

1. Если функция непрерывна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

2. Если функция ограничена на [a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва (кусочно-непрерывная функция), то она интегрируема на этом отрезке.

3. Монотонная ограниченная на [a, b] функция интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

а) аналогичные свойствам неопределенного интеграла:

1) .

2) .

б) касающиеся отрезка интегрирования:

3) ; 4);

5) ; 6).

в) позволяющие производить оценку интеграла:

7. Если , то;

8. Если , то;

9. Существует такая, что(теорема о среднем).

г) связанные со свойствами подынтегральной функции:

7. Если f(x)четнаяфункция, то,

8. Если f(x)нечетнаяфункция, то.

9. Если f(x) периодическая функция с периодом Т, то

.