Учебное пособие / Метематические основы машинной графики / exilim / 1.13.asp-ThemeID=1

Двумерные преобразования - 1.13. Точки бесконечности A.l:link { text-decoration: none; font-size: 8pt; color: 666666; } A.l:hover { text-decoration: none; font-size: 8pt; color: 666666; } A.l:active { text-decoration: none; font-size: 8pt; color: 666666; } A.l:visited { text-decoration: none; font-size: 8pt; color: 666666; } A.std:link { text-decoration: none; font-size: 11pt; font-weight: bold; color: 8E5717; } A.std:hover { text-decoration: none; font-size: 11pt; font-weight: bold; color: 7F0000; } A.std:active { text-decoration: none; font-size: 11pt; font-weight: bold; color: 8E5717; } A.std:visited { text-decoration: none; font-size: 11pt; font-weight: bold; color: 8E5717; } A.li:link { text-decoration: none; font-size: 10pt; font-weight: bold; color: 666666; } A.li:hover { text-decoration: none; font-size: 10pt; font-weight: bold; color: 666666; } A.li:active { text-decoration: none; font-size: 10pt; font-weight: bold; color: 666666; } A.li:visited { text-decoration: none; font-size: 10pt; font-weight: bold; color: 666666; } A.lil:link { text-decoration: none; font-size: 11pt; color: 666666; } A.lil:hover { text-decoration: none; font-size: 11pt; color: 7F0000; } A.lil:active { text-decoration: none; font-size: 11pt; color: 666666; } A.lil:visited { text-decoration: none; font-size: 11pt; color: 666666; } Алгоритмические

основы Математические

основы Flash 5 CorelDraw 10 3D Studio Max3 [программа] [тесты] [лабораторные] [вопросы] [литература]

1. Двумерные преобразования

1.13. Точки бесконечности Однородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности. Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями x + y = 1

2x - 3y = 0 Прямые пересекаются в точке с координатами x = 3/5, y = 2/5. Запишем уравнение в виде х + y - 1 = 0, 2x - 3y = 0 и представим их в матричной форме [x  y  1] =   1   2  

 1  -3  

-1   0    = [0  0] или [X][M'] = [R] Если матрица [М'] квадратная, то пересечение может быть получено путем обращения матрицы. Изменим систему исходных уравнений следующим образом: x + y - 1 = 0

2x - 3y = 0

1 = 1 или в матричной форме [X][M] = [R] т.е. [x  y  1] =   1   2   0

 1  -3   0

-1   0   1  = [0  0  1] Квадратная матрица, обратная данной, имеет следующий вид: [M]-1 =   3/5   2/5   0

 1/5  -1/5   0

 3/5   2/5   1  =  1

5    3   2   0

 1  -1   0

 3   2   1 Умножая обе части уравнения на [M]-1 и учитывая, что [М][М]-1 = [I] является тождественной матрицей, получим [x  y  1] =  1

5  [0  0  1]   1   2   0

 1  -3   0

-1   0   1  = [3/5  2/5  1] Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты х = 3/5, y = 2/5. Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом: х + y = 1

х + y = 0. По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной форме, [x  y  1] =   1   1   0

 1   1   0

-1   0   1  = [0  0  1] Однако несмотря на то что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две ее строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим ее, переписывая систему уравнений следующим образом: x + y - 1 = 0

x + y = 0

x = x или в матричной форме [x  y  1] =   1   1   1

 1   1   0

-1   0   0  = [0  0  x] В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей [M]-1 =   0   0  -1

 0   1   1

1  -1   0 Умножая обе части выражения на обратную матрицу, получаем [x  y  1] = [0  0  x]   0   1  -1

 0   1   1

1  -1   0  = [x  -x  0] = x[1  -1  0] Результирующие однородные координаты [1  -1  0] определяют точку пересечения двух параллельных прямых, т.е. точку бесконечности. В частности, они представляют данную точку в направлении [1  -1] двумерного пространства. В общем виде двумерный координатный вектор [а  b  0] представляет точку бесконечности прямой аy - bx = 0. Приведем несколько примеров: [1  0  0] - точка на положительной оси х,

[-1  0  0] - точка на отрицательной оси х,

[0  1  0] - точка на положительной оси у,

[0  -1  0] - точка на отрицательной оси у,

[1  1  0] - вдоль прямой y = х в направлении [1  1]. Вектор с однородной компонентой h = 0 действительно представляет точку бесконечности и может быть также интерпретирован как движение к пределу (табл. 1). hx*y*XY 14343 1/28643 1/312943 ....... 1/10403043 ....... 1/10040030043 ....... Таблица 1. Однородные координаты для точки [4  3]. Рассмотрим прямую y* = (3/4)x* и точку [X  Y  h] = [4  3  1]. Напомним, что в однородных координатах не существует единственного представления координатного вектора (табл. 1). Точка [4  3  1] представлена в однородных координатах по всем направлениям. Заметим, что в этой таблице при h => 0 отношение x*y* остается равным 3/4, как и требуется для сохранения уравнения. Кроме этого, обратим внимание на то, что следующая пара (x*y*), все точки которой располагаются на линии y* = (3/4)x*, быстро приближается к бесконечности. Таким образом, предел при h => 0 и есть точка бесконечности, заданная в однородных координатах как [X  Y  h] = [4  3  0]. назад | содержание | вперед © ОСУ АВТФ