Эконометрика как наука

Джеймс Лайтхилл, английский математик и экономист, коротко так раскрывает этот термин: “Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений”. Такой анализ производится с целью выработки рекомендаций по повседневным проблемам делового мира. Естественно, что при этом целесообразно придерживаться выводов и решений, которые обоснованы количественно. Именно этим и занимается наука эконометрика.

Чтобы продемонстрировать основные принципы эконометрики, рассмотрим пример из страхового бизнеса (страхование автомобилей). Здесь основная проблема возникает вследствие сложного характера зависимости размера страховой премии от множества переменных факторов, ряд из которых невозможно учесть. Так, очевидно, что годовой пробег автомобиля — это важный фактор, но пользоваться им как оценочным затруднительно. Практическое решение состоит в определении ряда легко наблюдаемых факторов — мощности машины, возраста (владельца страхового полиса и машины), географического положения, износа, каждый из которых имеет некоторую связь с истинным риском, в свою очередь определяющим фактический размер страховой премии. Предположим, например, что используются пять таких факторов и каждый из них измеряется на пяти уровнях. Это приводит к 5⁵ = 3215 отдельным классификационным требованиям. Если застраховано 100 000 машин, то в каждом классе будет в среднем по 32 машины. Поскольку вероятность страхового требования порядка 10% в год, данные в каждом разряде подвергались бы слишком большим колебаниям вследствие случайных ошибок выборки и было бы трудно оценить истинную связь между тем, что происходит в разных разрядах. Более того, заниматься таким большим числом отдельных групп было бы сложно и дорого.

Для преодоления этих сложностей разрабатывают классификационную систему, основанную на выяснении относительной важности каждого фактора. Тогда классификационную формулу можно построить на аддитивной или мультипликативной основе, когда каждый фактор оценивается баллами, а формула в целом дает относительный уровень риска.

Таким же образом строятся многие экономические модели, когда наблюдаемые значения величины Y зависят линейным или более сложным образом от значений многих других наблюдаемых величин, т. е.:

Y = а₁х₁ + а₂х₂ + . . . + е. (1)

В этом уравнении е — остаток, устраняющий разность между Y наблюдавшимся и полученным по набору х_i расчетным образом. Основная задача эконометрического анализа заключается в отыскании значений коэффициентов а, обеспечивающих наименьшую величину е, а следовательно, наилучшую точность прогноза.

Из приведенного примера видно, что эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения только характерных черт. Наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа экономики “затраты — выпуск”. Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Таким образом, объектом эксперимента стали не только многократно воспроизводимые явления и процессы, но и системы и изменения в них, реально в практике трудно либо вообще неосуществимые.

Описание экономических систем математическими методами, или эконометрика, дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Вместе с тем, чтобы сделать вывод о том, какие из полученных результатов являются достоверными, а какие сомнительными или просто необоснованными, необходимо уметь оценивать их надежность и величину погрешности. Все перечисленные аспекты и составляют содержание эконометрики как науки.

Развитость любого научного направления в современном мире принято оценивать числом нобелевских лауреатов. И если первоначально Нобелевские премии присуждались прежде всего в области естественных наук, то впоследствии эти границы существенно расширились. В частности, в 1968 г., в год 300-летия существования Шведского банка, им была учреждена Нобелевская премия и в области экономических наук (читай — в области эконометрики). Первыми лауреатами Нобелевской премии в 1969 г. стали два экономиста-математика — голландец Ян Тинберген и норвежец Рангар Фриш, заслугой которых признана разработка математических методов анализа экономических процессов. С тех пор подобного мирового признания удостоены многие ученые, в число которых вошли представители ряда стран, включая Россию:

в 1970 г. — Пол Антони Самуэльсон — за учебник “Экономикс” с официальной формулировкой “за вклад... в повышение общего уровня анализа в экономической науке”;

в 1973 г. — Василий Васильевич Леонтьев, американский экономист российского происхождения, — за разработку метода прогнозного экономического анализа “затраты — выпуск”;

в 1975 г. — Леонид Витальевич Канторович, советский экономист и математик, — за введение в экономическую науку моделей линейного программирования и разработку подходов к оптимизации использования ресурсов.

Перечисленные ученые наряду с другими экономистами и математиками и создали эконометрику как науку.

В эконометрике, как и в любой научной дисциплине, познание развивается в соответствии с общим научным методом, предполагающим:

1. формулировку гипотезы с учетом соотношений между наблюдаемыми данными;

2. сбор статистических данных и представление гипотезы в сжатой или математической форме;

3. модификацию или улучшение гипотезы.

Таким образом, сердцевиной познания в экономике является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.

Эконометрика как наука

Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эконометрика связывает между собой экономическую теорию и экономическую статистику и с помощью математико-статистических методов придает конкретное количественное выражение  общим закономерностям, устанавливаемым экономической теорией.

Предметом эконометрики являются массовые экономические явления. Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, которая представляет собой либо одно уравнение; либо систему уравнений. Эконометрика изучает массовые явления в экономике через статистические совокупности, а последние через признаки, которыми характеризуются единицы этой совокупности.

Признаки могут находиться в связи между собой. Взаимосвязанные признаки могут выступать в одной из ролей:

- роли признака-результата (аналог зависимой переменной ( y) в математике);

- роли признака-фактора, значения которого определяют значение признака-результата (аналог независимой переменной ( x) в математике).

Связи классифицируют по степени тесноты, направлению, форме, числу факторов.

По степени тесноты связи делят  на статистические (стохастические) и функциональные.

Статистическая (стохастическая) связь – это такая связь между признаками, при которой для каждого значения признака-фактора х признак-результат (y ) может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями; при этом его статистические (массовые) характеристики (например, среднее значение) изменяются по определенному закону.

Статистическая связь обусловлена:

1) тем, что на результативный признак оказывают влияние не только фактор (факторы), учтенные в модели, но и неучтенные или неконтролируемые факторы; 2) неизбежностью ошибок измерения значений признаков. Модель статистической связи может быть представлена в общем виде уравнениями:   y_i =f(x 1 _i,u_i ) (i=1,2,…, n) - для модели с одним фактором,  y_i =f(x 1 _i,...,xm_i ,u_i), (i =1,2,…, n) – для модели с множеством факторов, где y_i - фактическое значение результативного признака для i-ой единицы статистической совокупности;

f (x1 _i,...,xm_i ) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (xj_i ,  j=1;m); u_i - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием неконтролируемых или неучтенных факторов, а также ошибок измерения признаков.

Противоположной статистической связи является функциональная. Функциональной называется такая связь, когда каждому возможному значению признака-фактора  (х) соответствует одно или несколько строго определенных значений результативного признака (y ). Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков х1, х2,…,х m. модель функциональной связи в общем виде можно представить уравнением:

y_i =f(x 1 _i,...,xm_i ).

По направлению изменений результативного и факторного признаков связи делят на прямые и обратные.

По форме связи (виду функции f) связи делят на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные).

По количеству факторов в модели связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Линейный парный регрессионный анализ

Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ. Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

1. выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);

2. оценку параметров уравнения;

3. оценку качества аналитического уравнения регрессии.

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид:  . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения  x и y. Результатом такой оценки является уравнение:   , где  ,  - оценки параметров a и b, - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение). Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена ( u) и независимой переменной (x ). Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем: получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - y_i от расчетных  значений –  минимальна. Формально критерий МНК можно записать так: .

Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений ( x_i ,y_i,  i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.

Математическая запись данной  задачи:

.

Значения y_i и x_i  i=1; n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - , . Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е.

.

В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:

Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм  (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).

Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.

Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b>0, связь прямая, если b <0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.

Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - r_x,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть  определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r_{x, y}>0, то связь прямая; если r_{x, y}<0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице ê r_{x , y} ê =1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то r_x,y близок к 0.

Для расчета r_{x , y} можно использовать также таблицу 1.

Таблица 1

N наблюдения	x i	yi	x i ∙yi
1	x 1	y 1	x 1·y1
2	x 2	y 2	x 2·y2
...
n	xn	yn	xn·yn
Сумма по столбцу	å x	å y	å x·y
Среднее значение

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R²_yx:

,

где d ² – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;

e ²- остаточная (необъясненная  уравнением регрессии) дисперсия y;

s ² _y  - общая (полная) дисперсия y .

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R²_yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R²_yx характеризует долю дисперсии y,  вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов  и ошибками спецификации.

При парной линейной регрессии R ²_yx=r² _yx.