ЛЕКЦИЯ 6 РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ УЗЛА ГОРНОЙ
МАШИНЫ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ИЗМЕНЕНИИ НАГРУЗКИ
1.Основы расчета элементов конструкций горных машин заданной надежности
Конечным этапом расчета любой конструкции на прочность, жесткость и устойчивость и т. д. является определение надежности. Расчет заканчивается, если надежность системы выше или равна нормативной, в противном случае необходимо изменять конструктивные параметры до тех пор, пока надежность системы не станет допустимой. По характеру потери работоспособности отказы систем бывают внезапные и постепенные.
Причиной внезапных отказов являются конструктивные и технологические дефекты элементов, а также динамические нагрузки, превышающие предел текучести, выносливости или прочности элемента. Условие сохранения прочности элемента можно записать в виде неравенства
(1)
где |
— предел прочности элемента; |
|
— напряжение в элементе. |
Экспериментальными исследованиями установлено, что предел текучести, а также предел прочности основных конструкционных материалов является случайной величиной с нормальным распределением, которая при среднем качестве изготовления деталей имеет коэффициент вариации, равный 0,1, т. е.
(2)
где
— дисперсия прочностных характеристик деталей;
— математическое ожидание прочностных характеристик деталей.
Рис. 1. Нормальные законы распределения напряжений и прочностных свойств деталей
Коэффициент вариации прочностных свойств элемента существенно зависит от технологии его изготовления, температуры окружающей среды, скорости деформации, влажности воздуха и т. д. Вторым основным фактором, влияющим на уровень надежности элементов при внезапных отказах, являются напряжения, которые практически для всех горных машин имеют случайный характер. Определим вероятность безотказной работы элемента при нормальном законе распределения напряжений (рис. 1.). Этот случай имеет широкое распространение в практике и позволяет получить относительно простое решение. Использование нормального закона оправдано в случае совместного действия достаточно большого числа случайных внешних воздействий, если среди них нет преобладающего.
Рассмотрим функцию неразрушимости детали
(3)
Эта функция также является случайной нормально распределенной величиной со
средним значением |
(4) |
|
и дисперсией
(5)
Плотность вероятности функции неразрушимости имеет вид
(6)
Так как разрушение элемента наступает при равенстве нулю функции неразрушимости, вероятность безотказной работы можно найти из выражения
(7)
Отношение разности средних значений прочности деталей и напряжений к среднеквадратическому отношению функции неразрушимости называется характеристикой безопасности
(8)
Решая уравнение (6.92), после подстановки в него уравнения (6.93) получаем вероятность безотказной работы
(9)
где 
— функция Лапласа
Если вероятность безотказной работы оказывается меньше заданной, то, изменяя параметры детали, уменьшают математическое ожидание напряжений и тем самым увеличивают характеристику безопасности и уменьшают вероятность отказа.
При расчете вероятности безотказной работы элемента возможно три случая:
Первый случай (равенство нулю дисперсии прочностных свойств детали) означает, что характеристики металла, из которого изготовлен элемент, известны. Это возможно только при высоком качестве металла и технологии изготовления.
Рис. 2. Рэлеевский закон распределения напряжений и нормальный закон прочностных
свойств деталей
Второй случай означает, что нагрузка на деталь практически постоянна или определена в течение срока службы детали и принята с запасом, либо в системе имеется предохранительное устройство, точно ограничивающее нагрузку и срабатывающее с вероятностью, равной 1.
Третий случай является классическим и рассматривается в сопромате.
В некоторых случаях напряжения в деталях распределяются по закону Рэлея (рис. 2)
(10)
проводя для нормального закона распределения прочностных свойств выкладки, аналогичные предыдущим, получим выражение для определения вероятности безотказной работы:
(11)
Если законы распределения напряжений и прочностных свойств деталей отличаются от нормального, то их с достаточной для инженерной. практики точностью можно заменить взвешенной суммой нормальных законов (рис. 3). Эквивалентный фактическому распределению, выраженный через нормальные распределения закон имеет вид
(12)
Где |
— вероятность того, что имеет место распределение |
. |
Рис. 3. Произвольный закон распределения случайной величины
Каждое нормальное распределение имеет свое математическое ожидание и дисперсию . Для их определения произвольный закон распределения разбивают на равнобедренные треугольники так, чтобы при сложении их абсцисс получалась кривая, близкая к
фактической. |
(13) |
|
Дисперсия каждого распределения (рис. 3) находится из |
||
формулы |
|
|
Где |
— основание равнобедренного треугольника. |
|
Математическое ожидание и дисперсию эквивалентного распределения находят из формул:
(14)
(15)
Вероятность того, что имеет место распределение |
находится из |
формулы |
|
(16)
где |
— площадь -го треугольника. |
После определения статистических характеристик эквивалентного распределения находят вероятность безотказной работы и при необходимости корректируют параметры детали.
Далее приведен пример определения динамических нагрузок в двухмассовой, односвязной динамической системы при случайном изменении нагрузки на рабочем органе – массе m2.
После проведения вычислительного эксперимента находятся: выборочное среднее, дисперсия и коэффициент вариации динамического момента в упругом звене. Используя значения динамического момента, определяются напряжения в упругом звене , а затем по известным статистическим характеристикам прочностных характеристику безопасности и вероятность безотказной работы.