24

Лекция №2 Тема 1. Введение (продолжение)

3. Задачи безусловной оптимизации

1. Постановка и схема решения задачи

Как отмечалось ранее, задачи безусловной оптимизации имеют вид:

.

Такая постановка математической задачи подразумевает, что из содержания экономической задачи не вытекает никаких ограничений на допустимое множество, т.Е. Что .

Замечание. Понятно, что не всякая функция определена на всем пространстве , т.е. возможны случаи, что . Однако в таких случаях ограничения (физические или экономические) на естественную область определения должны вытекать из ограничений реальной экономической задачи. В противном случае построенная математическая модель будет неадекватной исследуемой экономической задаче.

Далее будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на области определения.

Схема решения задачи может выглядеть следующим образом:

1⁰. Выясняется, имеет лиглобальный максимум (минимум) на. Если бы множествобыло непусто, ограничено и замкнуто, то можно было бы воспользоваться теоремой Вейерштрасса. Таким образом, теоремой Вейерштрасса непосредственно воспользоваться не удается. В этом случае может помочь оценка характера поведения функции при стремлении ее аргументов к бесконечности. Так, например, если призначение функции стремится к, то глобального максимума (минимума) заведомо не существует.

Если же удается выделить ограниченное замкнутое множество , в некоторой точкекоторой значение функции больше (соответственно, меньше), чем в любой точке из оставшейся частимножества, то она имеет глобальный максимум (соответственно, минимум) на множестве, причем он будет расположен в множестве(Рис. 1). Этот вывод непосредственно вытекает из теоремы Вейерштрасса.

Рис. 1. Множествозамкнуто;

Если выясняется, что глобального максимума (минимума) нет, то задача не имеет решения, и нужно пересмотреть ее постановку. Если выясняется, что глобальный максимум (минимум) существует, следует перейти к его отысканию.

2⁰. Находятся все точки локального максимума (минимума).

3⁰. Вычисляются значения функцииво всех найденных точках локального максимума (минимума) и выбираются точки с наибольшим (наименьшим) значением функции. Они и составят решение задачи.

Замечание. На самом деле для нахождения точек глобального максимума (минимума) достаточно найти все стационарные точки (т.е. точки, в которых) и выбрать те из них, в которых значение функции максимально. При этом не обязательно устанавливать наличие и вид экстремума в стационарных точках. Дело, правда, осложняется, если стационарных точек окажется бесконечное множество.

2. Признаки локального экстремума

Вспомним определение экстремума.

Максимум – это наибольшее значение функции на рассматриваемом множестве, минимум – наименьшее. Пусть рассматриваемое множество есть . Тогда точкабудет точкой максимума функции, если. В случае минимума знак неравенства следует заменить на противоположный.

В случае глобального экстремума множество совпадает со всем допустимым множеством:.

В случае локального экстремума :

Определение:– точка локального максимума функции, если:.

В случае минимума знак неравенства заменяется на противоположный. В случае строгого экстремума знак неравенства заменяется на строгий.

Для безусловного экстремума , а значит.

В рассматриваемом случае все точки допустимого множества внутренние, т.е. они входят в допустимое множество с некоторой своей окрестностью. Дальнейшие утверждения относятся к случаю локального экстремума во внутренних точках произвольного допустимого множества, не обязательно совпадающего со всем пространством, в том числе и содержащего граничные точки.

Итак, рассмотрим задачу нахождения локальных экстремумов во внутренних точках области определения функции, т.е. точках, некоторая окрестность которых целиком содержится в .