Лекция №7 Тема 3. Задача линейного программирования (окончание)

5. Анализ чувствительности оптимального решения к параметрам задачи линейного программирования

При постановке реальных задач линейного программирования параметры задачи (константы ограничений, коэффициенты целевой функции) зачастую не имеют жестких значений и в некотором диапазоне могут выбираться лицом, принимающим решение. Так, например, запасы ресурсов, которыми располагает фирма-производитель, могут быть увеличены путем дополнительной закупки за счет имеющихся финансовых резервов. Цены, устанавливаемые на выпускаемую продукцию, также в некотором диапазоне могут варьироваться производителем. В связи с этим возникает вопрос о целесообразности и размерах изменения выбранных (из каких-либо соображений) параметров. При этом целесообразность, естественно, определяется соображениями оптимизации значения целевой функции.

При решении задач линейного программирования графическим методом мы видели, что некоторые ограничения являются активными в оптимальной точке, а другие – могут не являться активными. Очевидно, если изменить константу ограничения, то соответствующая граница переместится параллельно исходному состоянию. Если такое изменение произвести для активного ограничения, то оптимальная точка может сместиться. Если же изменять константу ограничения у неактивного ограничения в достаточно малом диапазоне, то на решение задачи это не повлияет – см. рис.14 (у ограничения 3 изменили константу, после чего соответствующая граница переместилась в положение 3'; очевидно, на положении оптимальной точки это не отразилось).

Изменение коэффициентов целевой функции приводит к изменению угла наклона ее линии (поверхности) уровня – она начинает "качаться". Если решение задачи единственно, т.е. достигается в одной вершине, то небольшие изменения коэффициентов не изменят оптимальной точки – см. рис.4.15, но могут изменить оптимальное значение целевой функции.

Рассмотрим эти вопросы подробнее и проиллюстрируем на примере задач с двумя переменными.

Пусть имеем задачу линейного программирования вида (4.1):

и пусть - функция, задающая оптимальные значения задачи (4.1) в зависимости от значений констант ограничений. Можно доказать, что эта функция в определенных пределах существует и является кусочно-линейной, а кроме того,, где- соответствующий множитель Лагранжа (двойственная переменная).

Из последнего равенства можно вывести приближенное равенство: . Это равенство можно трактовать так: увеличение константына мелкую единицу влечет увеличение значения целевой функции наединиц. Таким образом, чем больше значение множителя Лагранжа(двойственной переменной), тем выгоднее увеличивать запас ресурса.

Если все и целевая функция измеряются в одних и тех же единицах (например, в рублях), тогда выведенное условие означает, что если, то увеличивать запас целесообразно (прирост дохода превышает издержки на приобретение дополнительной единицы ресурса). Если же, - то не целесообразно.

Отметим еще один момент. Как нетрудно видеть, градиенты всех функций в задаче линейного программирования постоянны, т.е. не зависят от рассматриваемой точки и от констант ограничений, так как они выражаются только через коэффициенты:Поэтому в различных точкахс одинаковым составом активных ограничений(даже если константы ограничений изменились) разложение градиента целевой функции по градиентам активных ограниченийимеет одинаковые коэффициенты.

Назовем состав активных ограничений в оптимальной точке базисом разложения градиента целевой функции, или просто базисом. Тогда приведенные рассуждения можно сформулировать следующим образом: изменение констант ограничений не вызывает изменения двойственных переменных (множителей Лагранжа), пока не происходит смены базиса.

Из сказанного вытекает следующий практический вывод. Пусть мы располагаем резервом средств для приобретения дополнительных ресурсов. Решая двойственную задачу, мы можем определить (по отношению величин к стоимости единицы соответствующего ресурса), какой из видов ресурса целесообразно увеличить. При этом увеличение с постоянной выгодой (указанное отношение не изменяется) можно производить до тех пор, пока не произойдет смены базиса, т.е. пока не изменится состав активных ограничений. После подключения нового активного ограничения или исключения старого величина коэффициентовизменяется и, если еще остались резервы для закупки дополнительных ресурсов, нужно искать новое направление изменения констант ограничений.