Задание для Сесси / М-1-Мат анализ
.docМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Преподаватель – д-р тех.наук, зав. каф. МиЕНД Шишов Сергей Алексеевич
Контрольные вопросы
1. Основные числовые множества. Свойства множества действительных чисел.
2. Окрестность точки на числовой прямой.
3.Определение функции одной переменной.
Графики основных элементарных функций.
4.Основные характеристики функции: четность/ нечетность, монотонность,
Ограниченность.
5. Определение обратной функции.
6. Определение сложной функции.
7. Определение числовой последовательности и ее характеристика.
8. Определение предела числовой последовательности, его геометрический смысл.
9. Определение предела функции в бесконечности, его геометрический смысл.
10. Определение предела функции в точке, его геометрический смысл.
11. Односторонние пределы функции в точке. Связь между ними и пределом функции в точке.
12.Определение и свойства бесконечно больших и бесконечно малых величин, связь между ними..
13.Три определения непрерывности функции в точке.
14.Классификация точек разрыва.
15.Непрерывность функции в интервале и на отрезках.
16.Теоремы Вейерштрасса и Больмана –Коши о свойствах функции, непрерывной на отрезке.
17.Определение производной функции.
18.Геометрический смысл производной функции. Определение касательной и нормали к плоской кривой, вывод их уравнений.
19.Определение односторонних производных функции в точке, их связь с производной функции в этой точке.
20.Теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.
21.Производные высших порядков.
22.Теоремы о производных сложной, обратной функции, суммы, произведения, частного.
23.Дифференциал функции: определение, геометрически смысл.
24.Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности [0/0].
25.Формула Тейлора для многочлена.
26.Теоремы о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.
27.Определение экстремумов. Теоремы о необходимых и достаточных условиях экстремумов.
28.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
29.Определения выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
30.Теоремы и достаточных условиях выпуклости(вогнутости.
31. Теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.
32. Определение - окрестности точек.
33.Определение функции нескольких переменных.
34.Определение линии уровня.
35.Определние предела функции нескольких переменных.
36.Определения непрерывности функции нескольких переменных.
37.Полное и частные приращения функций двух переменных.
38.Определение частных производных функции дух переменных.
39.Определение градиента.
40.Определение локальных экстремумов функции двух переменных.
41. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных.
42. Определение первообразной и неопределенного интеграла.
43.Свойства неопределенного интеграла.
44.Формулы замены переменных в неопределенных интегралах.
45.Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
46. Определение определенного интеграла. Его геометрический смысл.
Формула Ньютона-Лейбница.
47.Свойства определенного интеграла.
48.Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольной системе координат.
49.Несобственный интеграл второго рода: определение, геометрический смысл, признаки сравнения.
50.Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка. Теорема Коши.
51.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: вид, схема решения.
52. Однородные дифференциальные уравнения: вид, схема решения.
53.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: вид, схема решения.
54. Дифференциальные уравнения второго порядка: вид, схема решения.
55.Определение числового ряда, частичной суммы, суммы, сходимости.
56.Свойства рядов.
57.Теорема о необходимом признаке сходимости ряда.
58. Расходимость гармонических рядов.
59.Признаки сравнения рядов с положительными членами.
60.Признак Даламбера.
61.Радикальный признак Коши.
62.Интегральный признак Коши.
63.Ряд Дирихле. Условия сходимости.
64.Признак Лейбница.
65.Условия и абсолютная сходимость знакопеременных рядов, признак абсолютной сходимости.
66.Степенные ряды: радиус, интервал, область сходимости.
67.Свойства степенных рядов.
68.Ряды Тейлора и Маклорена.
Литература
1. Высшая математика для экономистов.Учебник для ВУЗов. Под ред.Н.Ш. Кремера. – М,: ЮНИТИ-ДАНА. 2008.
2. Живетин В.Б. Высшая математика. Конспект лекций. –М.: РГГУ, 2002.
3. Живетин В.Б. Высшая математика. Практикум. –М.: РГГУ, 2003.
4. Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник. – М.: Высшая школа. 1998.
5. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.А. Курс математического анализа. – М.:
Физмат. 2003.
Контрольная работа
Р А З Д Е Л Ы З А Д А Н И Я
|
N п.п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1.1. |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
2 |
1.1. |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
3 |
1.1 |
2.3 |
3.3. |
4.3 |
5.3 |
|
4 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
5 |
1.1 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
6 |
1.1 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
|
7 |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
8 |
1.1 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
9 |
1.2 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
|
10 |
1.2 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
11 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
12 |
1.2 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
|
13 |
1.2 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
14 |
1.2 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
15 |
1.2 |
2.3 |
3.5 |
4.3 |
5.3 |
|
16 |
1.2 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
17 |
1.3 |
2.2 |
3.1 |
4.2 |
5.2 |
|
18 |
1.3 |
2.3 |
3.2 |
4.3 |
5.3 |
|
19 |
1.3 |
2.1 |
3.3 |
4.1 |
5.1 |
|
20 |
1.3 |
2.2 |
3.4 |
4.2 |
5.2 |
|
21 |
1.3 |
2.3 |
3.5 |
4.3 |
5.3 |
|
22 |
1.3 |
2.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
|
23 |
1.3 |
2.2 |
3.2 |
4.2 |
5.2 |
|
24 |
1.3 |
2.3 |
3.3 |
4.3 |
5.3 |
|
25 |
1.1 |
2.1 |
3.4 |
4.1 |
5.1 |
|
26 |
1.1 |
2.2 |
3.5 |
4.2 |
5.2 |
|
27 |
1.1 |
2.3 |
3.1 |
4.3 |
5.3 |
|
28 |
1.1 |
2.1 |
3.2 |
4.1 |
5.1 |
|
29 |
1.1 |
2.2 |
3.3 |
4.2 |
5.2 |
|
30 |
1.1 |
2.3 |
3.4 |
4.3 |
5.3 |
|
31 |
1.1 |
2.1 |
3.5 |
4.1 |
5.1 |
|
32 |
1.1 |
2.2 |
3.1 |
4.2 |
5.2 |
|
33 |
1.1 |
2.3 |
3.2 |
4.3 |
5.3 |
|
34 |
1.1 |
2.1. |
3.3 |
4.1 |
5.1 |
|
35 |
1.1 |
2.2 |
3.4 |
4.2 |
5.2 |
|
36 |
1.1 |
2.3 |
3.5 |
4.3 |
5.5 |
ЧАСТЬ 1.
1. Используя метод разложения найти интегралы:
__
( 2Ö x +1
1.1. õ -------------- dx
__
х Ö x
x2 -16
1.2. õ -------------- dx
__
Ö x +2
х2
1.3. õ -------------- dx
х2 +4
2. Используя метод замены переменных найти интегралы:
dx
2.1. õ --------------
________
Ö 4 x2 +1
3x +2
2.2. õ -------------- dx
x2 - 4x +3
dх
2.3. õ -------------- dx
9х2 +6x +5
3. Найти интегралы методом интегрирования по частям :
3.1. õ ln(1-x) dx
3.2. õ x 2 e-x/2 dx
3.3. õ x sin 3x dx
4. Интегрирование тригонометрических функций:
4.1 õ sin 9x sin x dx
dx
4.2. õ --------------
sin x – cos x
1+tg x
4.3. õ ------------ dx
1 - tg x
5. Вычислить определенные интегралы:
8 ___ ___
5.1. õ ( Ö 2x + 3Ö x ) dx
0
- 3 dx
5.2 õ ---------------
0 _______
Ö(25 +3x)
P
5.3. õ x sin x dx
0
2
-
õ x2 ln x dx
1
1 _
-
õ ln ( 1 + √x ) dx
0
ЧАСТЬ 2.
1. Найти решение уравнения c разделяющимися переменными:
1.1. (3x -1) dy + y2dx = 0
1.2. xy’ + 2y = 2xy y’
1.3. y’ = ( x+ y) 2
2. Найти решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка:
2.1. xy’ = y ln (x/y).
2.2. y – xy’ = x + yy’
2.3. ( y +2) dx = ( 2x+y -4) dy
3. Найти решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
3.1. xy’ + 2y + x5 y3 ex = 0
3.2. 1- 2xyy’ = y3y’
3.3. ( y2+ x) y’ = 1
4. С помощью признаков сравнения исследовать сходимость рядов;
____
4.1. 2n/ (3n2 -5) при n =1, оо
____
4.2. (2n +7) / ( 3 n3 +1) при n =1, оо
____
4.3. ln( n +3) / n2 при n =1, оо
5. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов:
____
5.1. n(n+1) / 3n при n =1, оо
_____
5.2. n ! / 10n при n =1, оо
____
5.3. nn / n ! при n =1, оо