III. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление

1. Комплексные числа и действия над ними

1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисели, для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если , (1)

(2)

_. (3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами: . Особую роль играет число, которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства

,

,

.

Итак, каждое комплексное число можно представить в виде. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а– мнимой частью комплексного числа. Для них приняты следующие обозначения:

.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа. Очевидно, , причем,, тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений и равенства

.

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению.

Если ,, 

то 

.

Пример 1. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел

Решение. ,

,

1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор(рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где– длина вектора, а– угол между действительной осью и вектором, отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числаи обозначается так:. Для числааргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что.

Угол определяется с точностью до, где– целое число. Значение аргумента, заключенное междуи, называется его главным значением и обозначается. Таким образом,.

При этом

Из рис.1 видно, что

Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде

(4)

Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если , то по формуле (4) имеем .

Комплексное число обозначается символом , то есть функциядля любого вещественного числаопределяется формулой Эйлера:

_. (5)

Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа

.

Пример 2. Записать в показательной и тригонометрической формах число .

Решение. Здесь

.

Так как точка лежит в третьей четверти и, то.

.

Пример 3. Найти .

Решение. ,

,

,

.

Заменим нав равенстве (5):

. (6)

Складывая и вычитая равенства (5) и (6) получаем формулы Эйлера:

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы числобыло действительным.

Отметим основные из них:

(7)

(8)

. (9)

Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:

.

С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления

комплексных чисел, записанных в показательной форме:

,

Пример 4. Найти и, если,.

Решение. ;

Пример 5. Найти .

Решение. Пусть . Тогда.

; ;

;

Корень из комплексного числа имеетразличных значений и находится по формуле:

где

Пример 6. Найти значение .

Решение. Запишем подкоренное комплексное число в показательной форме: Тогда

При получаем ; при ;

при .

Логарифм комплексного числа определяется по формуле

Пример 7. Найти .

Решение. Здесь ,

; .

Комплексная степень комплексного числа определяется по формуле.

Пример 8. Найти .

Решение. Здесь . Тогда ;

, .