Математические основы ТАУ / КУРСОВАЯ
.docКУРСОВАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
(методические указания для студентов заочной формы обучения)
Цель работы - закрепление теоретических знаний, полученных в процессе изучения спецраздела курса математики.
При выполнении работы необходимо:
-
составить дифференциальное уравнение для электрической цепи при заданном входном воздействии,
-
применить к полученному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях,
-
решить дифуравнение операторным методом,
-
построить переходный процесс,
-
записать выражения и построить частотные характеристики цепи (амплитудно-частотную, фазо-частотную, действительно-частотную, мнимо-частотную и амплитудно-фазовую).
-
получить математическое описание в терминах пространства состояний
Курсовая работа выполняется в соответствии со стандартом ИрГТУ на листах формата А4, расчеты и графику желательно выполнять на компьютере, используя стандартные пакеты прикладных программ (например, MathCad). ,
При составлении дифференциального уравнения используются известные из
и законы Кирхгоффа.
курса физики соотношения:
Пример расчета.
Задача №1.
Пусть задана электрическая цепь со следующими исходными данными
Дифференциальное уравнение решить при нулевых начальных условиях и скачкообразном входном воздействии 10В.
Для данной цепи
можно записать:
После преобразования получим:
После подстановки параметров цепи имеем:
Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, тогда
Передаточная функция запишется:
а выражение для изображения выходной величины:
Так как в правой части полученного уравнения присутствует производная от скачкообразного входного воздействия, то решить это уравнение классическим методом невозможно. Применяем операторный метод.
Применив обратное преобразование Лапласа, получим решение уравнения:
Изменяя время в пределах от 0 до 100с, строим график переходного процесса при скачкообразном входном воздействии:
Частотные характеристики могут быть получены из передаточной функции путем формальной замены оператора р на jw, где j - мнимая единица, равная w -круговая частота, изменяющаяся теоретически от 0 до ∞. Таким образом, при заданной передаточной функции частотные характеристики определяются следующими выражениями:
АФЧХ –
АЧХ –
ФЧХ –
(при вычислении следует учитывать квадрант, в котором находится угол, т.е. учитывать знаки числителя и знаменателя).
ДЧХ –
МЧХ –
Задача №2.
R
a
R2=5
C1=4
C2=2
После подстановки параметров цепи имеем:
Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, тогда:
Передаточная функция запишется:
а выражение для изображения выходной величины:
Применив обратное преобразование Лапласа в MathCAD’e, получим решение уравнения:
Изменяя время в пределах от 0 до 100с, строим график переходного процесса при скачкообразном входном воздействии:
Частотные характеристики могут быть получены из передаточной функции путем формальной замены оператора р на jw, где j - мнимая единица, равная w -круговая частота, изменяющаяся теоретически от 0 до ∞. Таким образом, при заданной передаточной функции частотные характеристики определяются следующими выражениями:
АФЧХ –
АЧХ –
ФЧХ –
ДЧХ –
МЧХ –