§ 3. Методы решения систем линейных и нелинейных уравнений

accel1:=x-f/d1-der2(x)*f*f/(2*d1 3)

end.

Метод Эйткена - Стеффенсона.Если функцияF(x)не­­пре­рывна итрижды непрерывно диф­фе­рен­ци­руема на от­рез­ке [a, b], причем|F'(x)| < 1, тосхо­ди­мость ите­ра­ци­он­ного про­цесса может быть зна­чи­тельно уве­ли­че­на, если использовать сле­­ду­ю­­щий алгоритм. На каж­дом ша­ге вы­чис­ле­ния про­­во­дятся в три этапа:на­хо­дим,затем на ос­но­верас­считываеми далее по трем зна­че­ни­ямхn ,,оп­ре­де­ляем при­бли­же­ниепо сле­ду­ю­­щей фор­муле:

. (1.21)

Итерации заканчиваются, когда знаменатель ста­­­но­вит­ся близ­ким к нулю. Описанный ал­го­ритмвы­чис­ления сле­ду­ю­ще­го приближения уже по име­ю­ще­му­ся ре­а­ли­зо­ван в про-

­це­дуре-функ­ции accel2.Зна­че­ние и тип па­рамет­ров яс­ны из тек­с­та про­це­ду­ры-функ­ции accel2, ко­то­рая, в свою оче­редь, об­ра­ща­ет­ся к функции, воз­вра­ща­ю­щей зна­че­ниеF(x).

Function accel2(x:real) : real;

var f1,f2 : real;

begin

{ ** func вычисляет значение функции в точке x **}

f1:=func(x);

f2:=func(f1);

accel2:=(x*f2-f1*f1)/(f2-2*f1+x)

end; { *** accel2 ***} .

Сравнительные расчеты, выполненные с ис­поль­­зо­ва­ни­­емпроцедурaccel1, accel2 (по формулам 1.20 и 1.21)иnewt, ре­а­ли­з­у­ющей метод Ньютона (1.19),по­­ка­зали, что при ис­поль­зовании "ускоряющих" про­цедур для не­ко­то­рых функ­ций удается до­бить­ся ускорения схо­ди­мости в 3 - 5 раз.

§3. Методы решения систем линейных и нелинейных уравнений

Система mлинейных алгебраических ура­в­не­ний сnне­известными в общем виде может быть за­­­писана сле­ду­ющим образом:

(1.22)

или в матричном виде AX = B, гдеA - прямоу­голь­­­ная мат­рица размерности m´n, X- век­торn-го по­ряд­ка,B - век­торm-го порядка.Ре­ше­нием сис­­темы(1.22) на­зы­ва­ет­ся такая упо­­ря­до­ченная со­­во­куп­ность чиселкоторая об­ра­ща­ет все уравнения сис­­те­мы в вер­ные ра­­вен­ства. Две системы называютсяэк­­ви­ва­лентными (рав­но­­силь­ны­ми), если множества их ре­ше­­ний сов­­падают.

Система линейных уравнений называется сов­­­мест­­­­ной,ес­ли она имеет хотя бы одно ре­ше­ние, ине­­сов­­мест­ной -в про­тивном случае. Сов­мест­­ная сис­­те­ма на­зы­ва­ет­­сяопределенной, если она имеет един­ст­вен­ное ре­ше­ние, ине­оп­ре­де­лен­ной- в про­тив­­ном слу­чае. Система яв­ля­­ется опре­де­­ленной, ес­­ли rang A = rang B,где матри­цаB,по­­лученная из матрицы Aдобавлением стол­бца сво­бод­ных чле­­нов, на­зы­­вается рас­ши­рен­ной.

Если матрица A - квадратная и det A №0,то она на­зы­­ваетсянеособенной (невырожденной), при этом сис­те­ма уравнений, имеющая не­о­со­бен­ную мат­ри­цуA,сов­мес­­тна и имеет единственное ре­­шение.

Eсли уравнения (1.22) являются не­ли­ней­­­ными от­но­си­тельно неизвестного вектора Х,то со­от­вет­с­т­ву­ю­щая сис­тема, записанная в век­тор­ной форме

(1.23)

на­­­зы­вается системой нелинейных уравнений. Она мо­жет быть также представлена в ко­орди­натном виде:

1 < k < n.

Многообразие численных методов решения сис­­­тем ли­нейных алгебраических уравнений мож­­­­но раз­де­лить на два класса: прямые (илиточ­­ные) иит­е­ра­ционные(илипри­ближенные) ме­то­ды. В на­сто­ящем па­раграфе рас­смат­ри­­ваются на­и­­более эф­фективные ал­горитмы, ре­ализующие ряд методов из обоих клас­сов. Однако за­ме­тим, что не­ли­ней­­­ные системы ре­шают толь­ко ите­ра­ци­онными ме­то­­да­ми, один из ко­торых (ме­­тод Нью­то­на) рас­смат­ривается в на­­сто­я­щем параграфе.

Соседние файлы в папке GLAVA1_1