FM_MMMFP (1) / курсяк Батаронов Киреева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

Физико-технический факультет

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы моделирования физических процессов»

Тема: Моделирование задач теплопроводности и диффузии в тонком стержне и круговом цилиндре методом конечных элементов.

Выполнил студент ТФ - 091 Ю.К. Киреева

группа подпись инициалы, фамилия

Руководитель И.Л. Батаронов

подпись инициалы, фамилия

Нормоконтроль И.Л. Батаронов

подпись инициалы, фамилия

Защищена________________ Оценка_____________________

2011г.

Воронежский государственный технический университет Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

по дисциплине «Математические методы моделирования физических процессов»

Специальность 140400: «Техническая физика»

Тема работы: Моделирование задач теплопроводности и диффузии в тонком стержне и круговом цилиндре методом конечных элементов.

Список вопросов подлежащих разработке:

1. На боковую поверхность тонкого стержня падает поток вещества j₀ и одновременно вещество испаряется со скоростью, пропорциональной концентрации, а на концах стержня поддерживается концентрация, равная 0. Найти распределение концентрации по длине стержня и максимальный уровень концентрации в стержне.

2. Нижнее основание и боковая поверхность кругового цилиндра заземлены, а потенциал верхнего основания описывается функцией V₀(R²-r²). Найти распределение электрического поля в цилиндре и отношение напряженности поля в серединах верхнего и нижнего основания.

Дата выдачи задания_______________________

Дата сдачи курсовой работы_________________

Дата защиты______________________________

Руководитель работы: И.Л. Батаронов

^{подпись инициалы, фамилия}

Задание принял студент Ю.К. Киреева

^{подпись инициалы, фамилия}

Содержание

	Введение………………………………………………………………	4
	Решение задачи № 1………………………………………………….	6
	Решение задачи № 2………………………………………………….
	Заключение……………………………………………………………
	Список использованной литературы………………………………..

Введение.

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

В процессе диффузии искомой функцией является концентрация диффундирующего вещества, которую обычно обозначают через c = c(x, y, z, t). Функция c = c(x, y, z, t) удовлетворяет уравнению

.

Положительный коэффициент D называют коэффициентом диффузии. Начальное условие

задаёт начальную концентрацию. В качестве краевых условий рассматриваются главным образом условия

,

где Г – граница области, в которой происходит диффузия. Первое условие означает, что Г является непроницаемой для диффундирующего вещества стенкой, а второе условие задаёт концентрацию на границе Г .

Уравнения параболического типа получается при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости.

К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных (не меняющихся во времени) процессов различной физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока), потенциальное движение несжимаемой жидкости, стационарные тепловые поля и др. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа . В отличие от уравнений параболического и гиперболического типов краевые задачи для эллиптического уравнения характеризуются отсутствием начальных условий. В зависимости от типа краевых условий для уравнения Лапласа различают: первую краевую задачу – задачу Дирихле – при , вторую краевую задачу – задачу Неймана – при , третью краевую задачу, если , где – некоторые функции, заданные на границе Σ области, в которой ищется решение уравнения Лапласа.

Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче, – это значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс, а затем:

1. вывести дифференциальное уравнение для этой функции;

2. установить для неё граничные условия;

сформулировать начальные условия.

Решение задачи № 1.

На боковую поверхность тонкого стержня падает поток вещества j₀ и одновременно вещество испаряется со скоростью, пропорциональной концентрации, а на концах стержня поддерживается концентрация, равная 0.

Уравнение для нашей задачи будет иметь следующий вид вид: div(k×grad(С))+source-a*c = dt(С).

TITLE 'My Problem 1' { the problem identification }

COORDINATES cartesian1 { coordinate system, 1D,2D,3D, etc }

VARIABLES { system variables }

c(threshold=10) { choose your own names }

DEFINITIONS { parameter definitions }

K=0.1

a=1

L=10

j0=3

source=j0

INITIAL VALUES

c=0

EQUATIONS { PDE's, one for each variable }

div(K*grad(c))+source-a*c=dt(c) { one possibility }

BOUNDARIES { The domain definition }

region 1

start (0) point value(c)=0 { Walk the domain boundary }

line to (L) point value(c)=0

time 0.0 to 12 by 0.01

PLOTS { save result displays }

for t = 0.0 by 0.5 to (5)

elevation(c) from (0) to (L) range=(0,2) as "Axis Conc"

elevation(-k*grad(c)) from(0) to (L)

histories

history(c) at (0.1*L) (0.25*L) (0.5*L) (0.75*L) (0.9*L) (0.95*L)

END

K=3;

K=1

Решение задачи № 2.

Нижнее основание и боковая поверхность кругового цилиндра заземлены, а потенциал верхнего основания описывается функцией V₀(R²-r²)

Для решения задачи будем использовать специальное приложение FlexPDE 5. Уравнение дя ее решения будет иметь вид: div(k×grad(pot)= 0.

TITLE 'My Problem 2' { the problem identification }

COORDINATES Ycylinder ("R", "Z") { coordinate system, 1D,2D,3D, etc }

VARIABLES { system variables }

pot { choose your own names }

DEFINITIONS { parameter definitions }

K=1

R0=1

R1=1

H=1

V0=1

INITIAL VALUES

pot=0

EQUATIONS { PDE's, one for each variable }

div(K*grad(pot))=0 { one possibility }

BOUNDARIES { The domain definition }

region 1

Start (0,0) value (pot)=0 { Walk the domain boundary }

line to (R1,0)

line to (R1,R0)

value (pot)=V0*(R1*R1-R*R)

line to (0,R0)

natural (pot)=0

line to close

PLOTS { save result displays }

CONTOUR(pot)

Surface(pot)

END

RO=5

R1=5

Заключение.

В данной курсовой курсовой работе мы моделировали уравнения диффузии и теплопроводности с помощью приложения FlexPDE. В задаче теплопроводности решалось уравнение параболического типа, и в итоге были получены графики распределения температур круга, в котором действует объемный источник тепла, а поверхность охлаждается по закону Ньютона. По картине стационарного распределения была определена минимальная температура нагрева круга.

Во второй задаче решалось сферическое уравнение диффузии с поверхности сферы. В итоге была получена картина установившегося распределения диффузанта и следы концентрационных поверхностей.

Список используемой литературы.

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. – 2-е изд. – М.: Наука, 1969. – 288 с.

2. Интернет источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_диффузии

3. Уравнение теплопроводности: Методические указания/ ГОУВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. Сост. А.К. Ратыни.– Иваново, 2007.– 21 с.