МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

Физико-технический факультет

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы моделирования физических процессов»

Тема: Моделирование задач теплопроводности и деформации мембраны в цилиндрической трубе и прямоугольнике конечно-элементным методом.

Выполнил студент ТФ-081 В. С. Шацких

группа подпись инициалы, фамилия

Руководитель И.Л. Батаронов

подпись инициалы, фамилия

Нормоконтроль И.Л. Батаронов

подпись инициалы, фамилия

Защищена_____________________ Оценка_______________________

2010

Воронежский государственный технический университет Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

по дисциплине «Математические методы моделирования физических процессов»

Специальность 140400: «Техническая физика»

Тема работы: Моделирование задач теплопроводности и деформации мембраны в цилиндрической трубе и прямоугольнике конечно-элементным методом.

Список вопросов подлежащих разработке:

1. Труба внутреннего радиуса R и толщины H нагрета до температуры U₀. Найти распределение температуры в трубе, если ее поверхности под­дер­живаются при температуре, равной нулю.

2. Найти форму равновесия и прогиб однородной прямоугольной мемб­ра­ны, закрепленной по краям, если к мембране приложено нор­маль­ное давление P.

Дата выдачи задания

Дата сдачи курсовой работы

Дата защиты

Руководитель работы: И.Л. Батаронов

^{подпись инициалы, фамилия}

Задание принял студент В. С. Шацких

^{подпись инициалы, фамилия}

Содержание

	Задание	2
	Введение	4
	Решение задачи № 1	6
	Решение задачи № 2	9
	Заключение	12
	Список использованной литературы	13

Введение

Уравнение теплопроводности. Процесс передачи тепло­ты от более нагретых частей тела к менее наг­ре­тым связан с изменением температуры u в различных частях тела. Поэтому описание такого процесса в мак­ро­скопической теории в общем случае сводится к определению нестационарного температур­ного поля в теле.

Рассмотрим одномерный процесс передачи теплоты тепло­проводностью в плоском слое изотропного материала (рис.1), считая, что температура u = u(х, t) является функцией лишь одного пространственного переменного х.

Плотность р материала, его удельную массовую теп­лоем­кость с и коэффициент теплопроводно­сти k в общем слу­чае неоднород­ной среды будем считать также зави­ся­щи­ми только от одной прос­транственной координаты х.

При построении математиче­ской модели процесса будем пред­полагать, что среда неподвижна, а изменение объема материала, связанное с изменением темпера­туры, пренебре­жи­мо мало. В этом случае можно считать, что про­цесс теплопро­водности не связан с совершением механи­ческой ра­боты.

В рассматриваемом слое материала в качестве некоторой термодинамической системы выделим объем V в виде цилиндра с площадью основания ΔS и осью, параллельной координатной оси Ох (см. рис. 1).

Из первого закона термодинамики, записанного для выде­ленного объема V, следует, что

(1)

где U - внутренняя энергия системы, которая может быть най­дена интегрированием объемной плотности внутренней энергии ε(х, t) по объему цилиндра, т.е.

Поэтому изменение внутренней энергии системы за единицу времени

(2)

Тепловой поток Q₁ через всю замкнутую поверхность Σ выделенного цилиндра, т.е. коли­чество теплоты, отдаваемое через эту поверхность за единицу времени, можно найти, инте­грируя по поверхности Σ нормальную составляющую плотности теплового потока . Поэтому

где - единичная внешняя нормаль к Σ.

Согласно физическому закону Фурье, при передаче тепло­ты теплопроводностью . Так как в рассматрива­емом случае вектор плотности теплового потока имеет лишь одну составляющую , то тепловой поток от выделенного объема проходит лишь через основания цилиндра, причем

(3)

Внутри выделенного объема вследствие протекания эндо- или экзотермических реакций, про­хож­дения электрического тока, испарения влаги в пористом материале и других при­чин может выделяться или поглощаться теплота. Если под F(х, t) пони­мать объемную плот­ность (удельную мощность) тепловых ис­точников, то за единицу времени в рассмат­ри­ваемом объеме выделится (F > 0) или поглотится (F < 0) количество теплоты

(4)

Подставив выражения (2) - (4) в уравнение (1), получим

(5)

В силу произвольности выбора координат х₁ и x₂ основа­ний цилиндра равенство нулю интеграла в уравнении (5) воз­можно лишь при равенстве нулю подынтегральной функции.

Таким образом, в описываемом процессе передачи теплоты локально, т.е. в каждой точке пространства, должно выполнять­ся следующее дифференциальное соотношение:

(6)

Заметим, что объемная плотность внутренней энергии рас­сматриваемой несжи­мае­мой среды ε = ε (и) зависит от температуры, а производная , определяет объемную теп­лоем­кость материала. Поэтому

Тогда из выражения (6) получаем дифференциальное уравне­ние

(7)

Для однородного материала с независящими от температу­ры теплофизическими ха­рак­теристиками ρ, с и k уравнение (7) можно записать в виде

(8)

где a² = k/(ρс) - постоянная, которую называют коэффициен­том температуропроводности мате­риала; .

Уравнения (7) и (8) являются дифференциальными урав­нениями в частных произ­вод­ных параболического типа. Они лежат в основе математических моделей, описы­ваю­щих процесс передачи теплоты в неоднородных и однородных телах с одно­мерным темпе­ра­турным полем. Эти уравнения называются уравнениями теплопроводности.

Решение задачи № 1.

Труба внутреннего радиуса R и толщины H нагрета до температуры U₀. Найти распределение температуры в трубе, если ее поверхности поддер­жива­ют­ся при температуре, равной нулю.

Для решения задачи будем использовать специальное приложение FlexPDE 5.0.9.

Предположим, что коэффициент теплопроводности равен K = 2 Вт/(м*К), внутренний радиус R = 5 м, толщина H = 4 м, а труба нагрета до темпе­ра­ту­ры U₀ = 100 К.

select

nodelimit=100

coordinates

cartesian1

variables

temp(threshold=100)

definitions

k =2

cp = 1

R = 5

H = 4

initial value

temp = 100

equations

div(k*grad(temp))= cp*dt(temp)

boundaries

region 1

start(R) point value(temp) = 0

line to (R+H) point value(temp) = 0

time 0.0 to 6 by 0.1

monitors

for t = 0.0 by 0.5 to (R+H)

elevation(temp) from (R) to (R+H) range=(0,150) as "Surface Temp"

plots

elevation(-k*grad(temp)) from(R) to (R+H)

histories

history(temp) at (5) (6) (7) (8) (9)

end

Рисунок1. Распределение температуры в начальный момент времени

Рисунок 2. Распределение температуры в конечный момент времени

Рисунок 3. Направления потока температуры

Рисунок 4. Изменение поля во времени в отдельных точках

Решение задачи № 2.

Найти форму равновесия и прогиб однородной прямоугольной мембраны, закрепленной по краям, если к мембране приложено нормальное давление P.

Предположим, что приложенное к мембране давление source = 4.

Для решения задачи будем использовать специальное приложение FlexPDE 5.0.9:

select

stages = 3

errlim = staged(1e-3,1e-4,1e-5)

autostage=off

Variables

Temp

definitions

K = 1

source = 4

Initial values

Temp = 0

equations

div(K*grad(Temp)) + source = 0

boundaries

REGION 1

START(0,0)

value(Temp)=0

LINE TO (2,0) TO (2,1) TO (0,1) TO CLOSE

monitors

contour(Temp)

plots

contour(Temp)

surface(Temp)

vector(-K*dx(Temp),-K*dy(Temp)) as "Heat Flow"

end

Рисунок 5. Распределение давления

Рисунок 6. Поверхность распределения давления

Рисунок 7. Направления потока давления

Заключение.

В данной работе мы моделировали уравнения деформации и теплопроводности с помощью приложения FlexPDE. В задаче тепло­про­вод­ности решалось уравнение параболического типа, и в итоге были получены графики распределения температур трубы, поверхность которой поддер­жива­лась при температуре, равной нулю.

Во второй задаче решалось эллиптическое уравнение деформации поверх­ности мембраны. В итоге была получена картина установившегося распределения давления.

Список используемой литературы

1. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство МГТУ имени Баумана, 2006 – 60 с.

13