attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 10 Пар 8 Пред посл обобщ фун

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0 . Поэтому, начиная

Далее, поскольку 2k 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

288.51 Кб

Скачать

☆

§8 Предел последовательности обобщённых функций.

Определение 8.1. Скажем, что последовательность fn n

обобщѐнных функций (безразлично, из D (G) , или из S ( n ) ) сходится к

обобщённой функции f, и напишем fn f , или lim fn f , если

n n

fn , f , для любой основной функции (из D(G), или из S( n ) ).
n
Пример 8.2. (n x)		1 в D (		)	и в S ( ) , где (x) – функция
	n
Хевисайда.
Доказательство – упражнение.
Справка. Оливер Хевисайд, физик; 1850–1925, Великобритания.
Пример 8.3. (x xn )			0 в D (		) и в S (	) .
		xn
Доказательство – упражнение.
Пример 8.4.	1			i (x) P 1		в D ( ) .

	x i 1
	x i 1	n			x
	n

Доказательство. Для удобства будем далее говорить о пределе при 0 вместо n ∞. Имеем в виду, что параметр принимает произвольные значения, стремящиеся к 0, а не только 1/n.

Функции f (x)

локально интегрируемы в

так как они

непрерывны (знаменатели не обращаются в 0). Поэтому

f ,

(x)

x i

(учитываем, что supp [-a, a])

(x)dx

(x)

(0) dx

dx (0) .

( )

Второй интеграл в правой части ( ) равен

(0) i 1 arctg

dx (0)

(0) 0

(0) 2i

arctg

i (x), (x) при 0.

Поэтому он стремится к

(0) i

(**)

Рассмотрим теперь интеграл

(x) (0)

dx . В каждой точке

x [-a, a] подынтегральная функция стремится к

(x) (0)

при 0. В то же

время

x i

(x) (0)

x i

(x)

(0)

x2 2

(x) (0)

x2 2

(x) (0) . Полученная функция непрерывна на сегменте [-a, a], кроме x

устранимого разрыва в нуле. Поэтому она интегрируема на [-a, a]. По теореме о предельном переходе под знаком интеграла имеем

(x) (0)

a (x) (0)

lim

(x) (0) dx

V .p.

a x

(x)

P 1x ,(x) 0 .

V .p.

dx V .p.

(0)

(***)

i (x), (x) P 1x , (x)

Следовательно,

lim f , ( ) ( )

По определению 8.1, lim

(x) lim

i (x) P 1 .

(67)

0 x i

Определение 8.5. Формулы (67) называются формулами Сохоцкого.

Справка. Сохоцкий Юлиан Васильевич, 1842–1927, Россия.

Лемма 8.6. Пусть обобщѐнные функции h, hk, где k

, таковы, что для

любой основной функции φ существует предел

lim hk , (h,) . Пусть также

lim hk , k 0 .

s 0 .

Тогда

Доказательство. Предположим противное. Тогда, переходя, если надо, к

подпоследовательностям, и перенумеровывая их члены заново, можем считать,

что

hk , k

D n

c 0 . Учитывая, что s 0 и снова переходя, если

нужно, к подпоследовательности, можем считать, что

2k ( )

2 k при

k, k .

(*)

D n

hk , 2k k

hk ,

2k c

Стало быть, 2k k 0 , но

. (**)

Ниже, для краткости, обозначаем числа вида hk ,2m m ,

h,2m m

символами (k, m), соответственно, (h, m). По (**) можно найти такой номер k(1),

что k(1), k(1) 2 .

с некоторого номера N0, будет выполняться			k(1), k	2 (2 1) (k > N0). В то же
с некоторого номера N0, будет выполняться			k(1), k	2 (2 1) (k > N0). В то же
время k, k(1)		h, k(1) , и поэтому при k > N1 > N0		будет справедливо
	k

k,k(1) h,k(1) 1. Опять пользуясь (**), найдѐм номер k(2) > N1 такой, что

k(2), k(2) h, k(1) 2 2 .

На следующем шаге, аналогично учитывая сходимости

k( j), k

0 ,

k,k( j) h,k( j) , j = 1,2, можем найти номер N такой, что при k > N будет

верно

k( j), k

2 (3 j) ,

k,k( j)

h,k( j)

1, j = 1,2. Опять пользуясь (**)

найдѐм номер k(3) > N такой, что

k(3), k(3)

h, k(1)

h, k(2)

2 3.

Аналогично продолжая это построение неограниченно, получим

последовательность hk (m) :m такую, что

k( j), k(m)

2 (m j) , j = 1,2,…m – 1,

(***)

k(m), k(m)

h, k(1)

h, k(m 1)

2 m .

(****)

Теперь рассмотрим функцию (x) 2k (m) k (m) . В силу (*) это

		m
основная функция и hk (m) , (k(m), k(m))			(k(m), k( j)) . Отсюда,
			j \m
учитывая (*), (**), и	h,k( j)	k(m),k( j)		1 при	j m , получаем
учитывая (*), (**), и	h,k( j)	k(m),k( j)		1 при	j m , получаем

(k(m),

Видим, что

k(m))

hk (m)

hk (m) ,	(k(m), k(m))	(k(m), k( j))


		j \m

(k(m), k( j)) (k(m), k( j)) m 1 2m j

j m		j m	j m
,	вопреки условию hk (m) ,		(h, ) .

	m		m

m .

■

Теорема 8.7.(О полноте пространства D ( n ) ). Пусть обобщѐнные

функции hk, k , таковы, что для любой основной функции φ существует
предел lim	hk , (h, ) . Тогда h – тоже обобщѐнная функция.
k
Доказательство. Линейность h сразу следует из соотношения
lim hk , (h, ) и линейности операции предельного перехода. Покажем, что
k
h непрерывно.
Пусть	D n	0 . Если это не так, то для
	k 0 . Покажем, что (h, k )
	k	k

бесконечного числа номеров k выполнено		(h, k )	2a , где a > 0. Но
бесконечного числа номеров k выполнено		(h, k )	2a , где a > 0. Но
(h, k ) lim	hm, k , а значит, для каждого такого k найдѐтся номер m(k)
m

такой, что при m > m(k) будет (hm, k ) a . Перенумеровывая теперь обобщѐнные функции по правилу gk hm(k ) 1 , получаем противоречие с леммой 8.6. ■

1)	Что такое функция Хевисайда и функция (n–x)?
2)	Почему непрерывная функция локально интегрируема?
3)	Почему разрыв функции (x) (0) устраним?
	x

4)Какая теорема о предельном переходе под знаком интеграла имеется в виду?

5)Почему верно неравенство (*) в лемме 8.6?

6)Как не свихнуться, изучая доказательство леммы 8.6?

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015288.51 Кб15Лекц 10 Пар 8 Пред посл обобщ фун.pdf
#
30.05.2015354.1 Кб16Лекц 11 Пар 9 Диф обобщ фун.pdf
#
30.05.2015449.3 Кб16Лекц 12 Пар 10 Прям произв об ф.pdf
#
30.05.2015338.29 Кб16Лекц 13 Пар 10 Осн свва прям пр.pdf
#
30.05.2015326.76 Кб15Лекц 17 Пар 12 Фурье Обобщ (испр).pdf
#
30.05.2015326.65 Кб14Лекц 17 Пар 12 Фурье ОБОБЩ.pdf