1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 12 / Ашурок И. гр.8511-СРС №12 (2)-

Ашурок И. гр. 8511-СРС№12**

Записать дополнительное ограничение на замкнутый маршрут коммивояжера (гамильтонов контур), включающий все города, используя переменные X_ij и параметры U_i, U_j- номера шагов, на которых посещает коммивояжер города i и j соответственно.

U_i - U_j + N  X_i j  N-1, i, j = 1...N, i  j

, где

U_i, U_j – номера шагов, на которых посещает коммивояжер города i и j соответственно;

N – Число городов;

X_i j – компонент матрицы переходов.

Доказательство:

Применим метод доказательства от противного.

Предположим, что данное условие выполняется для некоторого подмаршрута T из R городов, где R<N. Сложив все неравенства вдоль этого подмаршрута, получим

.

Так как

,

то N  R  (N -1), где R<N, R  0.

Следовательно, не существует замкнутого подмаршрута с числом городов меньшим, чем N.

Покажем, что существует U_i, которое для замкнутого маршрута, начинающегося в некотором начальном пункте, удовлетворяют условию. При всех X_{i j} (j-й город не посещается после i-го) в неравенстве имеем U_i - U_j  N - 1, что допустимо в силу произвольных U_i и U_j.

Пусть на некотором R - ом шаге i - й город посещается перед j-м, то есть X_i j = 1. В силу произвольности значений U_i и U_j положим U_i = R, а U_j = R + 1, тогда:

U_i - U_j + N  X_{i j}  R - (R - 1) + N = N - 1

Итак, существуют такие конечные значения для U_i и U_j, что для маршрута, содержащего N городов, условие удовлетворяется как неравенство или строгое равенство.