1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 12 / Солнцева Светлана, гр. 8512_СРС 12

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №12

Задача о коммивояжере

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

Решить задачу о коммивояжере, используя венгерский метод и алгоритм Флада. Необходимо найти маршрут коммивояжера, который бы включал в себя все города, при этом представлял из себя один единственный обход, т.е. в каждый город коммивояжер будет въезжать и выезжать один раз. Минимизировать транспортные издержки С.

ХОД РАБОТЫ

1. Задача в формальном виде выглядит следующим образом:

при условиях

Запишем матрицу транспортных издержек Сij, используя код ФИО:

g	1	2	3	4	5	6
1	∞	16 (О)	13 (Л)	15 (Н)	24 (Ц)	6 (Е)
2	3 (В)	∞	19 (С)	3 (В)	6 (Е)	20 (Т)
3	13 (Л)	1 (А)	∞	1 (А)	19 (С)	6 (Е)
4	18 (Р)	4 (Г)	6 (Е)	∞	3 (В)	15 (Н)
5	1 (А)	19 (С)	16 (О)	13 (Л)	∞	24 (Ц)
6	6 (Е)	3 (В)	1 (А)	19 (С)	3 (В)	∞

Этап 1: подготовительный этап, использующий венгерский метод (алгоритм Флада):

1. Переход g => g´ (ищем в каждой строке матрицы g минимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

2. Переход g´ => g´´ (ищем в каждом столбце матрицы g´ минимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

3. Операции (1) и (2) этапа 1 обеспечили в каждой строке и в каждом столбце появление хотя бы одного ноля.

4. Подсчитываем в матрицеg´´ для получившихся нулей их оценку, которая складывается из суммы минимальных элементов в строке i и в столбце j, соответствующих позиции ноля.

   g	1	2	3	4	5	6			g'	1	2	3	4	5	6		g''	1	2	3	4	5	6
   1	∞	16	13	15	24	6	6		1	∞	10	7	9	18	0		1	∞	10	7	9	18	0/12
   2	3	∞	19	3	6	20	3		2	0	∞	16	0	3	17		2	0/0	∞	16	0/0	3	17
   3	13	1	∞	1	19	6	1		3	12	0	∞	0	18	5		3	12	0/1	∞	0/0	18	5
   4	18	4	6	∞	3	15	3		4	15	1	3	∞	0	12		4	15	1	3	∞	0/3	12
   5	1	19	16	13	∞	24	1		5	0	18	15	12	∞	23		5	0/12	18	15	12	∞	23
   6	6	3	1	19	3	∞	1		6	5	2	0	18	2	∞		6	5	2	0/5	18	2	∞
   					Σ	=	15			0	0	0	0	0	0
   													Σ	=	0

5. Находим элемент с максимальной оценкой и вычеркиваем строку и столбец, на пересечении которых он расположен и составляем заново таблицу. Таким образом, ноль, имеющий максимальную оценку, равную 12, находится на позиции i = 5, j = 1. Следовательно, вычеркиваем строку №5 и столбец №1, а также позиции С₁₅ присваиваем ∞.

6. Так как все минимальные элементы по строкам и столбцам в матрице g''⁽¹⁾ равны нолю, следовательно, матрица не пересчитывается. Поэтому мы только находим оценки нолей в матрице g''⁽¹⁾ и находим элемент с максимальной оценкой, это элемент с максимальной оценкой, равной 12, находящийся в позиции i = 1, j = 6. Следовательно, вычеркиваем строку №1 и столбец №6, а также позиции С₆₅ присваиваем ∞.

   g''(1)	2	3	4	5	6
   1	10	7	9	∞	0/12	0
   2	∞	16	0/3	3	17	0
   3	0/1	∞	0/0	18	5	0
   4	1	3	∞	0/3	12	0
   6	2	0/5	18	2	∞	0
   	0	0	0	0	0
   				Σ	=	0

7. Так как все минимальные элементы по строкам и столбцам в матрице g''⁽²⁾ равны нолю, следовательно, матрица не пересчитывается. Поэтому мы только находим оценки нолей в матрице g''⁽²⁾ и находим элемент с максимальной оценкой, это элемент с максимальной оценкой, равной 5, находящийся в позиции i = 6, j = 3. Следовательно, вычеркиваем строку №6 и столбец №3, а также позиции С₃₅ присваиваем ∞.

   g''(2)	2	3	4	5
   2	∞	16	0/3	3	0
   3	0/1	∞	0/0	18	0
   4	1	3	∞	0/4	0
   6	2	0/5	18	∞	0
   	0	0	0	0

8. Так как все минимальные элементы по строкам и столбцам в матрице g''⁽³⁾ равны нолю, следовательно, матрица не пересчитывается. Поэтому мы только находим оценки нолей в матрице g''⁽³⁾ и находим элемент с максимальной оценкой, это элемент с максимальной оценкой, равной 4, находящийся в позиции i = 4, j = 5. Следовательно, вычеркиваем строку №4 и столбец №5, а также позиции С₃₄ присваиваем ∞.

   g''(3)	2	4	5
   2	∞	0/3	3	0
   3	0/1	0/0	∞	0
   4	1	∞	0/4	0
   	0	0	0

9. Получаем конечные пункты маршрута: i = 2, j = 4 и i = 3, j = 2.

g''(4)	2	4
2	∞	0
3	0	∞

Таким образом, маршрут обхода выглядит следующим образом:

Построим дерево решений:

Проверив методом обратного хода, полученное дерево решений, сделаем вывод, что методом зондирования мы с первого раза получили наивысший результат. Следовательно,

Z (X)_min = 1 + 6 + 1 + 3 + 3 + 1 = 15