1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 4 / Ярусов срс4 Ярусова Николая 8512
.doc1. Сформировать задачу раскроя материалов (см. решение СРС 3) с матрицей условий размерностью [2;5]
Ограничивающие условия:
По изделию C: ;
По изделию B: ;
;
Целевая функция: .
2. Решить задачу ЛП размерностью [2;5] геометрически в пространстве условий, когда уравнения ограничений записаны в канонической форме (в виде равенства)
;
.
2.1. Проекция сечения конуса плоскостью :
Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи конуса и плоскости .
Таблица 1. Точки встречи конуса и плоскости .
-
Значение
Значение
1400
466,66
5600
1400
560
280
933,33
466,66
466,66
233,33
Cечение конуса плоскостью .
2.2. Проекция сечения конуса плоскостью :
Таблица 2. Точки встречи конуса и плоскости .
-
Значение
Значение
1198
399,33
299,5
299,5
2995
599
1797
599
3594
599
Cечение конуса плоскостью .
2.3. Определение структуры опорного плана (базиса) на основе геометрического представления.
Опорный план:
U3 = x2 + x3 + x4 + x5
U1 = x2 + 5x3 + 3x4 + 6x5
U2 = 4x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5
Остальные лучи, а именно, луч, соответствующий переменной x1, является линейно зависимым, то есть выражается через другие лучи (другие переменные).
Найдем координаты точек Q и q: (сечение U1=b1)
Для этого найдем точки пересечения прямой U2 = 1198 с прямой x4x2, x5x2
(U2 – U2x4)/(U2x2 – U2x4) = (U3 – U3x4)/(U3x2 – U3x4), где
U2 = 1198; U2x2 = 5600; U2x4 = 933.33
U3 – ?
U3x2 = 1400; U3x4 = 466.66, тогда:
(1198 – 933.33) * (1400 – 466.66) = (5600 – 933.33) * (U3 – 466.66)
U3 = 519.6, тогда Q = {1198; 519.6}
(U2 – U2x5)/(U2x2 – U2x5) = (U3 – U3x5)/(U3x2 – U3x5), где
U2 = 1198; U2x5 = 466.66; U2x2 = 5600
U3 – ?
U3x5 = 233.33; U3x2 = 1400 тогда
(1198 – 466.66) * (1400 – 233.33) = (5600 – 466.66) * (U3 – 233.33)
U3 = 399.54, тогда q = {1198; 399.54}
Найдем координаты точек Q и q: (сечение U2=b2)
Для этого найдем точки пересечения прямой U1 = 1400 с прямой x2x4, x2x5
(U1 – U1x2)/(U1x4 – U1x2) = (U3 – U3x2)/(U3x4 – U3x2), где
U1 = 1400; U1x2 = 299.5; U1x4 = 1797
U3 – ?
U3x2 = 299.5; U3x4 = 599, тогда
(1400 – 299.5) * (599 – 299.5) = (1797 – 299.5) * (U3 – 299.5)
U3 = 519.6, тогда Q = {1400; 519.6}
(U1 – U1x2)/(U1x5 – U1x2) = (U3 – U3x2)/(U3x5 – U3x2), где
U1 = 1400; U1x5 = 3594; U1x2 = 299.5
U3 – ?
U3x5 = 599; U3x2 = 299.5 тогда
(1400 – 299.5) * (599 – 299.5) = (3594 – 299.5) * (U3 – 299.5)
U3 = 399.54, тогда q = {1400; 399.54}
2.4. Значения базисных переменных оптимального плана.
Значения переменных находим из системы уравнений с двумя неизвестными.
Для максимизации целевой функции:
x2 + 3x4 = 1400
4x2 + 2x4 = 1198
Решая данную систему уравнений, найдем, что x2 = 79.4, а x4 = 440.2. Целевая функция будет равна соответственно Z(x) = 519.6.
Для минимизации целевой функции:
x2 + 6x5 = 1400
4x2 + 2x5 = 1198
Решая данную систему уравнений, найдем, что x2 = 199.45, а x5 = 200.09. Целевая функция будет равна соответственно Z(x)=399.54.
3. Решить задачу (max, min) для задачи, когда ограничения записаны в форме неравенства ():
;
.
При максимизации целевой функции: x2 = 79.4, x4 = 440.2, а целевая функция Z(x) = 519.6.
При минимизации целевой функции все . Так как минимум будет в нулевой точке пересечения координат.
4. Возможные варианты:
4.1. – единственное решение задачи линейного программирования. Данный случай демонстрируется выше.
4.2. – бесконечное множество решений. Все векторы линейно зависимы, при этом вектор ограничения должен пройти строго через полученную прямую. На проекции данный случай представляет точку.
При этом и минимум, и максимум целевой функции будут совпадать.
4.3. – нет решения, целевая функция не ограничена сверху либо снизу. Проекция - незамкнутая фигуру либо сверху, либо снизу.
4.4. – система условий несовместна. На проекции вектор ограничений не пересекается (проходит мимо) выпуклой фигуры.